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    2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案
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    2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案

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    这是一份2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.)
    1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置,它的俯视图是( )
    B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
    【详解】解:从上面看,一个正方形里面有一个圆且是实线.
    故选C.
    【点睛】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
    2. 方程(x﹣2)(x+3)=0的两根分别是( )
    A. x1=﹣2,x2=3B. x1=2,x2=3
    C. x1=﹣2,x2=﹣3D. x1=2,x2=﹣3
    【答案】D
    【解析】
    【分析】方程利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
    【详解】方程(x−2)(x+3)=0,
    可得x−2=0或x+3=0,
    解得:x1=2,x2=−3,
    故选:D.
    【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
    3. 已知,则的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】将变形为,将代入即可求解.
    【详解】解:,

    故选:A.
    【点睛】本题考查比例的性质,将变形为是解题的关键.
    4. 如图,直线,直线AC和DF被、、所截,,,,则长为( )
    A. 12B. 3C. D. 5
    【答案】C
    【解析】
    【分析】直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可.
    【详解】解:直线,

    ,,,


    故选C.
    【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
    5. 如图,以点O为位似中心,作四边形的位似图形,已知,四边形的面积是2,则四边形的面积是( )
    A. 4B. 6C. 8D. 18
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据从而得出位似图形的面积比,进而求解即可.
    【详解】解:∵四边形和四边形关于点O位似,,
    ∴,
    ∵四边形的面积是2,
    ∴四边形的面积是18.
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查了位似图形的性质,解题的关键是熟练掌握位似是特殊的相似,位似图形的面积比等于相似比的平方.
    6. 已知是线段的黄金分割点,,若,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据黄金分割点的定义,知BC是较长线段,由黄金分割的公式:较长的线段=原线段的倍,计算即可.
    【详解】解:线段,点黄金分割点,,

    故选:A.
    【点睛】本题考查了黄金分割,熟记黄金分割的公式是解题关键.
    7. 如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:先在外选一点C,在、上分别找点M,N,使得,,测量出的长为,由此可知A、B间的距离为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得:,再根据相似三角形对应边成比例即可进行解答.
    【详解】解:∵,,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质,解题的关键是掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及相似三角形对应边成比例.
    8. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个,三月份的口罩产量是50万个,若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为( )
    A. 30(1+x)2=50B. 30(1﹣x)2=50
    C. 30(1+x2)=50D. 30(1﹣x2)=50
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据题意和题目中数据,可以得到,从而可以判断哪个选项是符合题意的.
    【详解】解:由题意可得,

    故选:A.
    【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是明确题意,列出相应的方程,这是一道典型的增长率问题.
    9. 如图,是矩形的对角线,分别以点A,C为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交于点E,F,直线交于点M,交于点N,若,,则边的长为( )
    A. 6B. 10C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】如图,连接CM,利用垂直平分线与勾股定理即可解决问题.
    【详解】解:如图,连接CM.
    由作图可知,MN垂直平分线段AC,
    ∴MA=MC=8,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠D=90°,
    ∴CD=,
    ∴AB=CD=,
    故选D.
    【点睛】本题考查作图−基本作图,矩形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
    10. 如图,已知菱形的边长为4,对角线相交于点O,点分别是边上的动点,,连接,与相交于点E.以下四个结论:①点是等边三角形;②的最小值是;③若时,;④当时,.其中正确的个数有( )
    A. 1个B. 2个C. 3个D. 4
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由四边形是菱形得,,,,而,则和都是等边三角形,再证明,得,而,则是等边三角形,可判断①正确;当 时,的值最小,此时的值也最小,由,,可求得,可判断②正确;证明,可判断③正确;由得,再证明,得,所以,即,可判断④正确.
    【详解】解:∵四边形菱形,
    ∴,,,,
    ∴,
    ∴和都是等边三角形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴是等边三角形,
    故①正确;
    当 时,的值最小,此时的值也最小,
    ∵,
    ∴,
    ∴的最小值是,
    故②正确;
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故③正确;
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    故④正确,
    故选:D.
    【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数,掌握菱形的性质以及相似三角形的性质是关键.
    第II卷(选择题共110分)
    二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.)
    11. 关于x的一元二次方程的一个根是2,则a的值是___________;
    【答案】
    【解析】
    【分析】将代入方程进行求解即可.
    【详解】解:由题意得:

    解得:;
    故答案为:.
    【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义.熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值,是解题的关键.
    12. 四条线股a、b、c、d成比例,其中cm,cm,cm,则b的长为___________ .
    【答案】4cm
    【解析】
    【分析】由四条线段a、b、c、d成比例,根据比例线段的定义,分类讨论,即可求得b的值.比例线段的定义是在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
    【详解】解:∵四条线段a、b、c、d成比例,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴,
    解得:,
    故答案为:4cm
    【点睛】本题主要考查了比例线段.解题的关键是熟练掌握比例线段的定义,分类讨论.
    13. 在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子,每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸棋实验后发现,摸到黑色棋子的频率稳定在20%,估计白色棋子的个数为___________;
    【答案】20
    【解析】
    【分析】先根据摸到黑色棋子的频率稳定在20%求出棋子的总个数即可得出答案.
    【详解】解:根据题意得:.
    故答案为:20.
    【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数,利用如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率是解题关键.
    14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机的停留在某块方砖上,那么它最终停留在阴影区域的概率是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意可得一共有9块方砖,其中阴影区域的有4块,再根据概率公式计算,即可求解.
    【详解】解:根据题意得:一共有9块方砖,其中阴影区域的有4块,
    ∴它最终停留在阴影区域的概率是.
    故答案为:
    【点睛】本题考查了概率公式:熟练掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数;P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0是解题的关键.
    15. 如图是某风车示意图,其相同的四个叶片均匀分布,水平地面上的点M在旋转中心O的正下方,某一时刻,太阳光线恰好垂直照射叶片、,此时各叶片影子在点M右侧成线段.测得,,垂直于地面的木棒与影子的比为.则点O、M之间的距离等于___________m;
    【答案】10
    【解析】
    【分析】连接交于点H,过点C作,通过证明,通过相似三角形对应边成比例即可解答.
    【详解】解:连接交于点H,过点C作,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,解得:.
    设,,则,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,
    解得:,
    ∵,
    ∴四边形为矩形,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即:,
    解得:,
    ∴,
    故答案为:10.
    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定,解题的关键是画出辅助线,构建相似三角形.
    16. 如图,是边长为1的等边三角形,分别取边的中点D、E,连接,作得到四边形,它的周长记作;分别取的中点,连接,作,得到四边形,它的周长记作,…,照此规律作下去,则等于___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据三角形中位线定理可求出的值,进而可得出的值,找出规律即可得出的值.
    【详解】解:∵点B、E为边的中点,,
    ∴是的中位线,
    ∴,,,
    ∴,
    ∵,
    ∴四边形是菱形,
    ∴;
    同理求得:;


    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质;熟练掌握三角形中位线定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
    三、解答题(本大题共10小题,共86分,)
    17. 解方程:
    【答案】x1=4,x2=2
    【解析】
    【分析】原方程运用因式分解法求解即可
    【详解】解:
    (x-4)(x-2)=0
    x-4=0 或x-2=0
    ∴x1=4,x2=2
    【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,灵活选用方法是解答本题的关键
    18. 若,且,求的值是多少?
    【答案】8
    【解析】
    【分析】设,则,再根据求得k的值,进而得出a、b、c的值,然后代入求解即可.
    【详解】解:设,则

    ∴,解得:k=2,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】本题主要考查了比例性质及代数式求值,解题的关键是根据题意设未知数求出k的值.
    19. 如图,是正方形的对角线上的两点,且,求证:;
    【答案】见解析
    【解析】
    【分析】正方形的性质可得,然后运用SAS即可证明结论.
    【详解】证明:∵正方形


    在和中
    ,,
    ∴.
    【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点,理解正方形的性质是解答本题的关键.
    20. 如图,在中,D、E分别是边、上的点,连接,且,,,,求的长.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据两角对应相等证明∽,利用相似三角形的性质解决问题即可.
    【详解】解:根据题意,
    ∵,,
    ∴∽,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理,从而进行证明.
    21. 如图,一路灯与墙相距20米,当身高米的小亮在离墙17米的D处时,影长为1米.
    (1)求路灯B的高度;
    (2)若点P为路灯,请画出小亮位于N处时,在路灯P下的影子NF(用粗线段表示出来)
    【答案】(1)米
    (2)见解析
    【解析】
    【分析】(1)通过证明即可求出路灯的高度;
    (2)连接PM并延长,交BO于点F.
    【小问1详解】
    解:∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵米,米,米,
    ∴米,米,
    ∴,解得:.
    ∴路灯高米.
    【小问2详解】
    如图所示:
    【点睛】本题主要考查了用相似三角形测高,解题的关键是根据题意和图形找出相似三角形,根据对应边成比例列出方程求解.
    22. 如图,用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙长),若这个围栏的面积为,求与墙垂直的一边的长度.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设与墙垂直的一边的长度为,根据矩形面积公式列一元二次方程,求出方程的根后再检验平行于墙的一边长度是否小于墙长,即可求解.
    【详解】解:设与墙垂直的一边的长度为,则平行于墙的一边的长度为,
    由题意可得:,
    整理得:,
    解得:,.
    当时,,不合题意,舍去;
    当时,,符合题意.
    故与墙垂直的一边的长度为.
    【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用,解题的关键是根据题意列出一元二次方程.
    23. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为,,.
    (1)画出先向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度的,并写出点的坐标;
    (2)以原点O为位似中心,在所给的方格纸纸中(不能超出方格纸)画一个,使它与的相似比为,并写出点的坐标;
    (3)在内有一点,按(1)与(2)的方式得到的对应点的坐标是___________.
    【答案】(1)点的坐标为,图见解析
    (2)点的坐标为,图见解析
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)将,,分别先向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到,,,顺次连接即可得到;
    (2)根据位似图形的性质及相似比,找到,,,顺次连接即可得到;
    (3)先根据“纵坐标上加下减,横坐标左减右加”得出的坐标,再根据位似图形的性质求出的坐标.
    【小问1详解】
    解:如图,将,,分别先向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到,,,顺次连接,即为所求图形.由图可知,点的坐标为.
    【小问2详解】
    解:如图,连接并延长到点,使,连接并延长到点,使,连接并延长到点,使,顺次连接,,,即为所求图形.由图可知,点的坐标为.
    【小问3详解】
    解:由作图方法可知:
    按(1)的方式得到的对应点的坐标为:,
    再按(2)的方式得到的对应点的横坐标为:,纵坐标为:,
    故的坐标为.
    【点睛】本题考查平移作图,画位似图形,求平移后对应点坐标以及位似图形的对应坐标,解题的关键是掌握点的平移规律——“纵坐标上加下减,横坐标左减右加”,以及位似图形的性质——位似图形的对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等与相似比.
    24. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开,某中学举行党史知识竞赛.团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本,把成绩按达标,良好,优秀,优异四个等级分别进行统计,并将所得数据绘制成如下不完整的统计图.
    请根据图中提供的信息,解答下列问题:
    (1)本次调查的学生数是___________人,圆心角β=___________度;
    (2)补全条形统计图;
    (3)已知该中学共有1500名学生,估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少?
    (4)若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分,现从中抽取2人代表学校参加区级比赛,请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率.
    【答案】(1),
    (2)见解析 (3)600人
    (4)
    【解析】
    【分析】(1)用等级为“良好”的人数除以等级为“良好”所占的百分比即可求出学生人数,先求出等级为“优异”的学生所占百分比,即可求出圆心角β的度数;
    (2)用调查学生总人数分别减去“达标”、“良好”、“优异”的人数即可;
    (3)用学生总人数乘以“优异”所占的百分比即可求解;
    (4)画树状图得到所有可能的结果数,然后找出符合条件的结果数,再根据概率公式进行计算即可得.
    【小问1详解】
    解:由图可知:等级为“良好”的人数为:10人,等级为“良好”所占的百分比为:,
    本次调查的学生数是:(人),

    故答案为:,.
    【小问2详解】
    等级为“优秀”的人数:(人),
    如图所示:
    【小问3详解】
    (人),
    答:此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人.
    【小问4详解】
    根据题意画出树状图如图所示:
    共有12种等可能的结果数,满足条件的结果数有2种,
    恰好抽到A、C两人同时参赛的概率.
    【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    25. 如图,的三边长分别为a、b、c(),的三边长分别为、、.已知,相似比为.
    (1)若,,求的值.
    (2)若,求证:;
    (3)若,试给出符合条件的一对和,使得a、b、c和、、都是正整数;
    (4)若,是否存在和使得?并请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)见解析 (3),
    (4)不存在;理由见解析.
    【解析】
    【分析】(1)利用三角形相似的性质:对应边对应成比例进行计算即可;
    (2)利用三角形相似的性质:对应边对应成比例进行证明即可;
    (3)取,同时取,即可满足要求;
    (4)不存在,假设存在推出,进而推出a、b、c构不成三角形.
    【小问1详解】
    解:∵,,,
    ∴,即:,
    解得:;
    【小问2详解】
    证明:∵,相似比为,
    ∴ ,
    ∴,
    又∵,
    ∴.
    【小问3详解】
    取,同时取,
    此时 ,
    ∴,且,
    【小问4详解】
    不存在这样的和,理由如下:
    假设存在,则.
    又∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    与三角形的三边关系 不符,
    ∴不存在和,使得.
    【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的性质:对应边对应成比例是解题的关键.
    26. 解答题
    (1)如图1,和都是等边三角形,连接、,求证,;
    [类比探究]
    (2)如图2,和都是等腰直角三角形,,连接.求的值.
    [拓展提升]
    (3)如图3,和都是直角三角形,,.连接,延长交于点F,连接.若恰好等于,请直接写出此时之间的数量关系.
    【答案】(1)见解析 (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)证明,从而得出结论;
    (2)证明,从而得出结果;
    (3)过点B作,垂足为点H,令和相交于点O.通过证明以及,根据对应边成比例,即可将三条线段表示出来,即可得出结论.
    【小问1详解】
    解:∵和都是等边三角形,
    ∴,,,
    ∴,即:,
    在和中,

    ∴,
    ∴.
    【小问2详解】
    解:∵和都是等腰直角三角形,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,则,
    ∵,即:,
    在和中,
    ,,
    ∴,
    ∴,
    令,根据勾股定理可得:,
    ∴.
    【小问3详解】
    过点B作,垂足为点H,令和相交于点O.
    ∵,,
    ∴,,
    ∴,则,
    ∴,即:,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    在和中,
    ,,
    ∴,
    设,,则,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,即,,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,即,,
    ∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴.
    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.
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