2023-2024学年广西贵港市桂平市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年广西贵港市桂平市八年级上学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，10cmB．5cm，4cm，8cm
C．2cm，4cm，6cmD．3cm，3cm，7cm
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
3．（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
4．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响，2.5μm用科学记数法可表示为（ ）
A．25×10﹣5mB．2.5×10﹣5m
C．2.5×10﹣6mD．0.25×10﹣7m
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（a﹣1）3＝a3
6．（3分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米B．6厘米C．1厘米D．厘米
7．（3分）把分式方程+2＝化为整式方程，正确的是（ ）
A．x+2＝1B．x+2（x﹣2）＝1
C．x+2（x﹣2）＝﹣1D．x+2＝﹣1
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．三个角都是60°的三角形是等边三角形
B．两个锐角的和是钝角
C．若|a|＝3，则a＝±3
D．在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b
9．（3分）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h，则轮船在静水中航行的速度是（ ）
A．25km/hB．24km/hC．23km/hD．22km/h
10．（3分）若解分式方程＝产生增根，则m＝（ ）
A．1B．0C．﹣4D．﹣5
11．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上，连接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，则∠A等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
12．（3分）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5B．5C．4D．不能确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，）
13．（2分）当x＝ 时，分式的值为零．
14．（2分）分解因式：a2+5a＝ ．
15．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC平分线上一点，∠BAC＝76.6°，则∠CAE＝ °．
16．（2分）若m、n满足|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，则m﹣2+n0＝ ．
17．（2分）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE＝70°，则∠B＝ °．
18．（2分）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）．
20．（6分）解分式方程：．
21．（10分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
22．（10分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，
＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 或填为： ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 ；
任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：．
23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO．
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）若AC＝7，FC＝3，求OC的长．
24．（10分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
25．（10分）如图，已知AB＝CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF，DE＝BF，
求证：（1）△ABF≌△CDE．
（2）AD∥BC．
26．（10分）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
参考答案与试题解析
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确）
1．（3分）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，10cmB．5cm，4cm，8cm
C．2cm，4cm，6cmD．3cm，3cm，7cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：A、3+5＜10，长度是3cm，5cm，10cm的小木棒不能构成三角形，故A不符合题意；
B、5+4＞8，长度是4cm，5cm，8cm的小木棒能构成三角形，故B符合题意；
C、2+4＝6，长度是2cm，4cm，6cm的小木棒不能构成三角形，故C不符合题意；
D、3+3＜7，长度是3cm，3cm，7cm的小木棒不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3．（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）
A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
4．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm＝0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响，2.5μm用科学记数法可表示为（ ）
A．25×10﹣5mB．2.5×10﹣5m
C．2.5×10﹣6mD．0.25×10﹣7m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可．
【解答】解：2.5μm＝2.5×0.000001m＝2.5×10﹣6m；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（a﹣1）3＝a3
【分析】按照整式幂的运算法则逐一计算进行辨别．
【解答】解：∵a与a2不是同类项，
∴选项A不符合题意；
∵a•a2＝a3，
∴选项B符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C不符合题意；
∵（a﹣1）3＝（）3＝，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了整式幂的相关运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．
6．（3分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米B．6厘米C．1厘米D．厘米
【分析】利用三角形全等的SAS定理证明△COD≌△BOA，根据全等三角形的性质求出CD，进而求出圆形容器的壁厚．
【解答】解：在△COD和△BOA中，
，
∴△COD≌△BOA（SAS），
∴CD＝AB＝5厘米，
∴圆形容器的壁厚为：（6﹣5）÷2＝（厘米），
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
7．（3分）把分式方程+2＝化为整式方程，正确的是（ ）
A．x+2＝1B．x+2（x﹣2）＝1
C．x+2（x﹣2）＝﹣1D．x+2＝﹣1
【分析】方程两边都乘以x﹣2可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2可得：x+2（x﹣2）＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．三个角都是60°的三角形是等边三角形
B．两个锐角的和是钝角
C．若|a|＝3，则a＝±3
D．在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b
【分析】根据等边三角形的判定，平行线的判定，绝对值的定义，角的和差定义一一判断即可、
【解答】解：A、三个角都是60°的三角形是等边三角形，是真命题，本选项不符合题意；
B、两个锐角的和是钝角，是假命题，30°+30°＝60°，60°是锐角，本选项符合题意；
C、若|a|＝3，则a＝±3，是真命题，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，若直线a⊥l，b⊥l，则a∥b，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，等边三角形的判定，平行线的判定，绝对值的性质等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行81km所需的时间与逆水航行69km所需的时间相同．已知水流速度是速度2km/h，则轮船在静水中航行的速度是（ ）
A．25km/hB．24km/hC．23km/hD．22km/h
【分析】设轮船在静水中航行的速度是xkm/h，则轮船顺水航行速度为（x+2）km/h，轮船逆水航行速度为（x﹣2）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合顺水航行速度81km/h所需的时间与逆水航行速度69km/h所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设轮船在静水中航行的速度是xkm/h，则轮船顺水航行速度为（x+2）km/h，轮船逆水航行速度为（x﹣2）km/h，
依题意得：＝，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（3分）若解分式方程＝产生增根，则m＝（ ）
A．1B．0C．﹣4D．﹣5
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+4），得
x﹣1＝m，
∵原方程增根为x＝﹣4，
∴把x＝﹣4代入整式方程，得m＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上，连接BD，DE，EC，若∠D+∠E＝295°，则∠A等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】根据四边形的内角和可得∠BCE+∠CBD＝65°，再根据角平分线的定义可得∠ACB+∠ABC＝130°，再根据三角形内角和定理可得∠A的度数．
【解答】解：∵∠D+∠E＝295°，∠D+∠E+∠BCE+∠CBD＝360°，
∴∠BCE+∠CBD＝65°，
∵点D，E分别在∠ABC和∠ACB的平分线上，
∴∠BCE＝∠ACB，∠CBD＝∠ABC，
∴∠ACB+∠ABC＝65°×2＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12．（3分）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．7.5B．5C．4D．不能确定
【分析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE＝AD＝5，即BF+EF＝5．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，
即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
在△ADB和△CEB中，
∵，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD＝5，
即BF+EF＝5，
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，）
13．（2分）当x＝ 0 时，分式的值为零．
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x＝0且x+2≠0，
∴x＝0且x≠﹣2，
∴当x＝0时，分式的值为零，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
14．（2分）分解因式：a2+5a＝ a（a+5） ．
【分析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．
【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
【点评】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
15．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC平分线上一点，∠BAC＝76.6°，则∠CAE＝ 38.3 °．
【分析】根据全等三角形的性质可得∠EAD＝∠BAC＝70°，根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠DAC＝35°，进而可得答案．
【解答】解：∵D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC＝76.6°，
∴∠BAD＝∠DAC＝38.3°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠BAC＝76.6°，
∴∠CAE＝76.6°﹣38.3°＝38.3°．
故答案为：38.3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
16．（2分）若m、n满足|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，则m﹣2+n0＝ ．
【分析】首先利用非负数的性质得出m，n的值，再利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣2023）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣2023＝0，
解得：m＝2，n＝2023，
故m﹣2+n0＝2﹣2+1
＝+1
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、非负数的性质，正确化简各数是解题关键．
17．（2分）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE＝70°，则∠B＝ 50 °．
【分析】由折叠性质可得∠CED＝∠A＝90°，∠ADC＝∠CDE＝70°，从而可得∠BED＝90°，∠BDE＝40°，即可求解．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠CDE＝70°，
由折叠性质可得∠CED＝∠A＝90°，∠ADC＝∠CDE＝70°，
∴∠BED＝90°，∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全等．
18．（2分）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 400 ．
【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．
【解答】解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，
∴B′O＝AB，CO＝AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．
故答案为：400．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）．
【分析】先算乘方，再算乘除法，然后算加法即可．
【解答】解：（﹣1）×（﹣4）+32÷（7﹣4）
＝（﹣1）×（﹣4）+9÷3
＝4+3
＝7．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）解分式方程：．
【分析】先将原方程去分母并整理后化为一元一次方程，然后解方程后并检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：3x＝x﹣1，
移项，合并同类项得：2x＝﹣1，
系数化为1得：x＝﹣，
经检验，x＝﹣是分式方程的解，
故原方程的解为x＝﹣．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21．（10分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： SSS ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）由等边三角形的性质得CE＝DE，再证△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出结论；
（2）证△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；
（3）先作∠BAC的平分线AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，
点E即为所求的点．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
22．（10分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，
＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是 分式的基本性 或填为： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变 ；
②第 五 步开始出现错误，这一步错误的原因是 去括号时，括号前面是“﹣”号，去括号后，括号里的第二项没有变号 ；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 ﹣ ；
任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：．
【分析】任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；
②根据去括号法则进行分析判断；
任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算；
任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答．
【解答】解：任务一：①化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，
故答案为：三，分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；
②第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“﹣”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：五；去括号时，括号前面是“﹣”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣；
故答案为：﹣；
任务三：
＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查分式的加减运算，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．
23．（10分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO．
（1）求证：△BDE是等边三角形；
（2）若AC＝7，FC＝3，求OC的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和判定解答即可；
（2）根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB，
∴∠B＝∠BDE＝∠DEB，
∴△BDE是等边三角形；
（2）∵DE∥AC，
∴∠EDO＝∠CFO，
在△DOE和△FOC中，
，
∴△DOE≌△FOC（ASA）；
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC＝7，
得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO，
∴EC＝BC﹣BE＝4，
∴OC＝EC＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
24．（10分）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
（1）求A和B两种图书的单价；
（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
【分析】（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，根据数量＝总价÷单价结合花3000元购买的A种图书比花1600元购买的B种图书多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得：﹣＝20，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30．
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
（2）30×0.8×20+20×0.8×25＝880（元）．
答：共花费880元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（10分）如图，已知AB＝CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF，DE＝BF，
求证：（1）△ABF≌△CDE．
（2）AD∥BC．
【分析】（1）证出AF＝CE，根据SSS可证明△ABF≌△CDE；
（2）证明△ADE≌△CBF（SAS），由全等三角形的性质得出∠DAE＝∠BCF，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+FE，
即AF＝CE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS）．
（2）∵△ABF≌△CDE，
∴∠AFB＝∠CED，
∴180°﹣∠AFB＝180°﹣∠CED，
即∠CFB＝∠AED，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明△ABF≌△CDE是解题的关键．
26．（10分）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
【解答】解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．