2023-2024学年山东省济南市历城区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市历城区九年级上学期数学期末试题及答案，共33页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. sin30°的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】sin30°=
故答案为：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长．
∴左视图是：
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键．
3. 二次函数的最小值是（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，是基础题，熟记二次函数的最值问题是解题的关键．根据二次函数的图像和性质解答．
【详解】解：，
二次函数有最小值3，
故选：B．
4. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在直线右侧圆弧上取一点C，连接，，则的度数为（ ）

A. B.
C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
5. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A. －3B. 2C. 3D. －4
【答案】C
【解析】
【分析】设方程的一个根＝1，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：设方程的一个根＝1，另一个根为，根据题意得：
＝3，
将＝1代入，得＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
6. 学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单随机事件发生的概率，先列出所有的可能性，在找出满足题意的可能性，根据概率公式计算即可．
【详解】运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，共有种等可能情况，
其中两人恰好都选择铅球项目是其中一种情况，
则两人恰好都选择铅球项目的概率是．
故选：C
7. 已知二次函数的图像如图，则一次函数和反比例函数的图像为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数、一次函数、二次函数的图像，解题的关键是直接利用二次函数图像经过的象限得出，，的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案即可．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，
∴，
∵该抛物线对称轴位于轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线交轴的负半轴，
∴，
∴一次函数的图像经过第二、三、四象限，反比例函数的图像在二、四象限．
故选：B．
8. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用等高的三角形面积之比等于对应底边之比求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴．
9. 如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．作点P关于的对称点G，连接，作，作，可推出，而，再进一步得出结果．
【详解】解：作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴点G在上，，，
∵，
∴最小值为：，
故选B．
10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，得；当时，得：，
∴，，
∴，
∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，
当时，，
解得：或，
∴点，
∵为锐角三角形，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 已知，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键，根据合比性质进行计算．
【详解】解：，

故答案为：．
12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是_____个．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，明确题意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，求出红球的个数，再计算出黄球的个数即可．
【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率为，
∴袋子中红球的个数为（个），
∴ 袋子中黄球的个数为（个），
故答案是：15．
13. 有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，则的值等于__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，设小正方形的边长为，依题意可得，，，继而得到，进而得，根据正切的定义可求出答案．解题的关键是准确识图，熟练掌握正方形的性质、平行线的判定及性质和正切的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在的内接正方形中，，以点为圆心，长为半径画弧，得到，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质以及正多边形与圆，根据对称性将阴影部分的面积转化为，根据勾股定理求出圆的半径，再由扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．掌握正方形的性质，勾股定理以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形是的内接正方形，，
∴，，
∴是的直径，，
∴的半径为，
又∵圆和正方形都是轴对称图形，
∴
，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
15. 如图，点是反比例函数图像上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接．若的面积为，则的值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，设，则，，由，的面积为得出，的面积为，即可得出，求解即可．得到关于的方程是解题的关键．
【详解】解：设，
∴，，
∵，的面积为，
∴，的面积为，
∴的面积为：，
∴的面积为：，
∴，
解得：．
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的长为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作交于H，过点E作交于F，利用互余逐步得出 ，，可证得，，结合全等三角形和相似三角形的性质，利用勾股定理，可求得，的长，然后再次利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如下图，过点A作交于H，过点E作交于F，
由翻折性质得：；
四边形是正方形，
，
，是等腰三角形，
(三线合一)；
，
；
又，，
；
，
，即得：；
，
(AAS)，
(勾股定理)
；
又，
；
，
，；
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”性质，翻折性质，勾股定理等知识，借助辅助线构造三角形全等及相似转化线段之间的关系是解决问题的关键．
三、解答题（共10小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据二次根式的性质，特殊角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 解方程：x2﹣2x﹣15＝0．
【答案】x1＝5，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【详解】解：x2﹣2x﹣15＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+3）＝0，
可得x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
19. 如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，可得，再证，即可证明四边形是平行四边形，又，可证明四边形是矩形；
（2）根据四边形是矩形得出，，，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
20. 为提高学生的法律意识，某中学开展了一系列的法律进校园活动，组织九年级全体学生进行了《法律知识知多少》知识竞答，学校随机抽取m名学生的竞答成绩，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，，四个等级，并制作出不完整的统计图，如图所示．
已知：等级数据（单位：分）：80、80、81、82、85、86、86、87、88、89；
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）补全条形统计图；
（3）抽取的名学生中，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，等级扇形圆心角的度数是 ；
（4）这所学校共有2100名学生，若全部参加这次竞答，请你估计成绩能达到等级及以上的学生人数．
【答案】（1）50，20
（2）见解析 （3）85.5，
（4）成绩能达到等级及以上的学生人数约为1260名
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、求中位数、求扇形统计图圆心角度数、由样本估计总体，从不同的统计图得出必要的信息是解此题的关键．
（1）由等级有人，占，可求，从而求出的值；
（2）求出等级的人数，即可补全条形统计图；
（3）把数据按从小到大排列后，中间两个数是、，即可求出中位数，用乘以等级人数的占比即可得出圆心角度数；
（4）用总人数乘以成绩能达到等级及以上的学生人数的占比即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图可得：等级有人，占，
，
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：等级的人数为：（人），
补全条形统计图如图：
；
【小问3详解】
解：把数据按从小到大排列后，中间两个数是、，
中位数是，
，
故答案：，；
【小问4详解】
解：（人），
绩能达到等级及以上的学生人数为人．
21. 如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，设平行于墙一边长为．

（1）当苗圃园的面积为时，求的值．
（2）当为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当的值为时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，
（1）用含的式子表示，根据“苗圃园的面积为”列出关于的方程，求解即可；
（2）设苗圃园的面积为，根据面积公式可得到二次函数，通过二次函数的性质即可求出最值；
本题的关键是利用含x的式子表示线段长度，根据二次函数的性质解题．
【小问1详解】
解：∵篱笆的总长为，平行于墙一边长为，
∴垂直于墙一边长为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴的值为；
【小问2详解】
设苗圃园的面积为，
依题意，得：，
∴，
∴当时，，
答：当的值为时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是．
22. 如图，在中，为直径，与相切于点C，切点为，连接、，若．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用等量代换可得，即可解答；
（2）连接，则，所以，而，即可证明，得，求得，由勾股定理得，则，所以的半径是．
【小问1详解】
证明：连接，
与相切于点
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
23. 某临街店铺在窗户上方安装如图所示的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．如图所示，靠墙放置一张圆桌，高度，直径，当太阳光线与地面的夹角时，请问桌子是否被晒到？（参考数据：，，，）

【答案】桌子晒不到，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是把所给的所有线段都整理到直角三角形或矩形中．在直角三角形中，利用的三角函数值得到、的长，进而求得的长，再根据的三角函数值求得的长，然后求得的长，再和桌子的半径比较后可判断阳光能否照到桌子上．
【详解】解：如图，作于，于，延长交于，则，
由题意知：，，
∴四边形，四边形是矩形，
由题意得：，
在中，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
延长交于，交于，
由题意知：，，
∴，，
∴四边形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴桌子晒不到．

24. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图像交于点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接，．
①如图，当点恰好落在反比例函数图像上时，过点作轴于点，交反比例函数图像于点，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②存在，点坐标为或或
【解析】
【分析】（1）根据点在直线上，可确定，再将点的坐标代入反比例函数中求出的值即可；
（2）①先确定，再根据平移的性质及函数图像上点的坐标特征可得出，继而得到，，即可得出结论；②设，分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
∴ ，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为；
【小问2详解】
①∵直线与轴交于点，
当时，得，
∴，
∵将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，且点恰好落在反比例函数的图像上， 轴，
当时，得：，
∴，
∴，
∴，
当时，得：，
∴，，
∴，
∴；
②在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
理由：
设，
由①知：，，，
可分以下三种情况：
当且，以为对角线时，
即将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
当且，以为对角线时，
即将线段向右平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
当且，以为对角线时，
即将线段向左平移个单位得到线段，此时可得平行四边形，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了平移的性质、点坐标平移的规律，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的判定等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
25. 在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ；
（2）若，当点在线段的延长线上时，
①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由；
②如图，连接，若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）①，，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）连接，延长交于，证明，即可得出，，得出即可；
（2）①如图，连接交于点，延长交于点，过点作于点，证明，继而得到，，再根据菱形的性质可推出即可；
②如图，连接，，由①知，得到，，继而得到，根据勾股定理可得，可得，最后由可得出答案．
【小问1详解】
如图，连接，延长交于，
∵菱形中，，
∴，，平分，
∴、是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
故答案：；；
【小问2详解】
①与的数量关系：，与的位置关系：．
理由如下：
如图，连接交于点，延长交于点，过点作于点，
∵菱形中，，，
∴，，，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
，
∵平分，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，，
∵四边形是菱形，，，，
∴，平分，平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
26. 如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为．
①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接，若，求的值．
【答案】（1）
（2）①存在，或；②
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）①利用待定系数法求得直线的解析式为，由于，不可能为直角，分两种情况：当时，当时，分别求解即可；②连接，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，证明得出，由题意得，从而得到，，证明得出，代入计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，两点，
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
①存在，理由如下：
，
∴抛物线的顶点为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
，
，不可能为直角；
当时，则，
轴，
，
解得：，
；
当时，过点作轴于，如图，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为或；
②解：如图，连接，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
由题意得，，
∴，
由题意知，四边形、四边形都是矩形，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，采用数形结合和分类讨论的思想，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．