第04讲 全等三角形的判定与性质（8大知识点+18大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

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题型一 图形的全等
题型二 全等三角形的概念
题型三 全等三角形的性质
题型四 用SSS证明三角形全等(SSS)
题型五 用SSS间接证明三角形全等(SSS)
题型六 用SAS证明三角形全等(SAS)
题型七 用SAS间接证明三角形全等(SAS)
题型八 尺规作一个角等于已知角
题型九 尺规作图--作三角形
题型十 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)
题型十一 用HL证全等(HL)
题型十二 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)
题型十三 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)
题型十四 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)
题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)
题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)
题型十八 全等三角形综合问题
知识点01 全等图形
（1）全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
（3）三角形全等的符号。
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
知识点02 全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；
②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
知识点03 全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
用尺规作一个角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
知识点04 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
知识点05 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：

符号：在与中，
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
知识点06 全等三角形的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
知识点07 直角三角形全等的判定：HL
文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）
图形：
符号：在Rt与Rt中，
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
知识点08 等三角形的常见辅助线的作法
1）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
2)旋转法，将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。旋转需要特定条件（两个图形的短边共线）。这种作法和截长补短类似，适合证明线段的和、差、倍、分等类的题目．常见于半角模型中。
3)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
4）过端点作另一边的平行线：其目的是构造出一组全等三角形；特点：中线倍长的反向应用
5）向中线作垂线法：过线段两端点向中点处的线段作垂线；目的是构造出一组全等三角形
【典型例题一 图形的全等】
1．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）下列几组图形中是全等形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23七年级下·四川达州·开学考试）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，则AF= ．
4．（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝ ．
5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下面各对图形是不是全等图形？为什么？
(1)边长都是的两个正方形．
(2)如图所示的两件衣服．
6．（2023八年级上·全国·专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．
【典型例题二 全等三角形的概念】
1．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．两个等边三角形是全等三角形D．周长相等的两个三角形不一定全等
2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·新疆和田·阶段练习）和全等，记作 ．
4．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，与全等，可表示为 ，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是 ，其余的对应边是 ．
5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，若，与是对应角，与是对应边，写出其他的对应边及对应角．
6．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．

①的对应角为（ ）；②的对应角为（ ）；③的对应角为（ ）；④的对应边为（ ）；⑤的对应边为（ ）．
【典型例题三 全等三角形的性质】
1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，，若，则（ ）
A．B．C．D．5°
3．（2023·湖南邵阳·三模）如图，若≌，且，则 ．
4．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，，若，，则 ；
5．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长．
6．（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知，点C、F在上，，．求的长．

【典型例题四 用SSS证明三角形全等(SSS)】
1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，中，，，直接使用“”可判定（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，这样可以证明．其依据是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，．则可推出 全等．
4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个．

5．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：．

6．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，．求证：．
【典型例题五 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】
1．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ．
4．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ．
5．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求证：BM//DN.
6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，C是的中点，，．求证：．
【典型例题六 用SAS证明三角形全等(SAS)】
1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）下面不是全等三角形判定的基本事实的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，已知，，那么判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，．若要直接根据“SAS”说明，需添加的条件是 ．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．

5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，中，为的中点，连接并延长到，使．求证：．
6．（23-24七年级上·山东东营·期中）如图，在与中，，与全等吗？说明理由．

【典型例题七 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】
1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）
A．AC＝DFB．∠A＝∠DC．BE＝CFD．∠ACB＝∠DFE
2．（22-23八年级上·云南保山·期中）如图，AB∥DC，AB=DC，要使△ABD≌△CDB，直接利用三角形全等的判定方法是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
3．（2023·湖南长沙·中考真题）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=
4．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．

5．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．

6．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上），并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长．
【典型例题八 尺规作一个角等于已知角】
1．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点C为圆心，为半径的弧B．以点C为圆心，为半径的弧
C．以点G为圆心，为半径的弧D．以点G为圆心，为半径的弧
2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答符号代表的内容，下列回答不正确的是（ ）
A．☆表示点B．○表示任意长C．□表示D．△表示射线
3．（23-24八年级上·河南周口·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角时，依据判定三角形全等的基本事实是 ．
4．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ．
5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：四边形，在上求作一点，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
6．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，用直尺和圆规在射线的右侧作，使得．（不写作法，只需保留作图痕迹）

【典型例题九 尺规作图--作三角形】
1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件为（ ）
A．已知两角及夹边B．已知三边
C．已知两边及夹角D．已知两边及一边夹角
2．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A．①②③④B．①③②④C．①③④②D．①②④③
3．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使．
①以点B为圆心，c的长为半径画弧；
②连接；
③作；
④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A．
作法的合理顺序是 ．
4．（22-23七年级上·河南濮阳·期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形．正确顺序应为 ．（填序号）
5．（2023七年级下·上海·专题练习）画，，．
6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）已知：，，线段，如图所示．求作：，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）
【典型例题十 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】
1．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）小轩用如图所示的方法测量小河的宽度．他利用适当的工具，使，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ）
A．SAS或SSSB．AAS或SSS
C．ASA或AASD．ASA或SAS
3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ．
4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ．
5．（2024·云南昭通·一模）如图，，求证：．
6．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，如果，，，那么成立吗?请说明理由．
【典型例题十一 用HL证全等(HL)】
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或）
4．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是 ．
5．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
6．（22-23八年级上·四川资阳·期中）如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．

【典型例题十二 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，， 下列条件中不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，已知， 那么添加下列一个条件后不能证明的是（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）
4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，点在同一条直线上，，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．
5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，请你添加一个条件，使得，并给予证明．

6．（2023·湖北黄石·一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由．
你添加的条件是
【典型例题十三 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】
1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）我们在探索两个三角形有三组对应相等的元素是否全等时，我们按照“三边对应相等，两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．化归思想B．分类讨论思想C．数形结合思想D．建模思想
2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）根据图中四个三角形所给的条件，可以判定两个三角形全等的有（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在方格纸中，以为一边作（点P不与点A重合），使之与全等，则这样的点P有 个．

4．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形．
5．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，相交于点，你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗？
6．（2023·北京朝阳·三模）如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明．
已知：
求证：
证明：
【典型例题十四 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】
1．（2023八年级·全国·专题练习）下列各条件中，画出的三角形不只有一个的是（ ）
A．已知两边和夹角B．已知两边和其中一边的对角
C．已知两角和夹边D．已知三边
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是 ．
4．（22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，-2），点C的坐标为（2，1），点B的坐标为（3，-1），要使△ACD与△ACB全等，那么符合条件的点D有 个．
5．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，小华想作出的平分线，但她没带圆规，手边只有刻度尺，请你帮她设计一个方法．（要求：作出图形，并写出简要的作图步骤，不需要证明）

6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．
要求：
(1)三角形的三个顶点都在格点上．
(2)与全等，且位置不同．
【典型例题十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】
1．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）在中，，中线，则边的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．

A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ．
4（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，，是的中点，的取值范围为 ．
5．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围．
6．（23-24八年级上·江西赣州·期中）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围.
宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答：
(1)和全等吗？请说明理由；
(2)求出的取值范围.
【典型例题十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】
1．（2023·天津东丽·一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（ ）

A．B．
C．2D．
2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（ ）对．
A．1B．2
C．3D．4
3．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °．
4．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示，等腰直角三角形中，，，为的中点，．则四边形的面积为 ．
5．（22-23九年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：．
6．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，连接AE．
（1）求证：△ABC≌△ABE；
（2）连接AD，求AD的长．
【典型例题十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】
1．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC是一个什么三角形？（ ）请说明理由．
A．等腰三角形；B．等边三角形
C．直角三角形；D．等腰直角三角形
3．（22-23九年级上·福建宁德·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 ．
4．（22-23八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 .
5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知：，，，，那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想并说明理由．
6．（2023九年级·全国·专题练习）如图所示，，且，延长交于点，且．求证：．
【典型例题十八 全等三角形综合问题】
1．（23-24八年级上·广东广州·期中）下列说法正确的是( )
A．全等三角形的边相等B．全等三角形的角相等
C．全等三角形的面积相等D．面积相等的两个三角形全等
2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图是小华作业的部分片段，则被污染的部分可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，中，，点P与点Q分别在和上移动，且则当 时，和全等．
4．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走1米，N点从B点向D点运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为 米．
5．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作．
(1)求证：
(2)若与交于点G，试证明平分；
6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点，
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
【变式训练1 图形的全等】
1．（23-24七年级上·山东东营·阶段练习）在下列每组图形中，是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形四边形，则的大小是 ．
3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形.
【变式训练2全等三角形的概念】
1．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（ ）

A．和是对应角B．和是对应角
C．与是对应边D．和是对应边
2．（22-23八年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．

【变式训练3 全等三角形的性质】
1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知下图中的两个三角形全等，则等于（ ）

A．B．C．D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 ．
3．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，，，，，．

(1)试说明：；
(2)求的长度．
【变式训练4 用SSS证明三角形全等(SSS)】
1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，，，则，应用的判定方法是 ．
3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，和全等吗？请说明理由．
【变式训练5 用SSS间接证明三角形全等(SSS)】
1．（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（ ）
A．B．C．D．以上都对
2．（22-23八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
3．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．

【变式训练6 用SAS证明三角形全等(SAS)】
1．（23-24八年级上·北京西城·期中）在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示的5个三角形中： ， ．
3．（2024·云南丽江·二模）如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：．
【变式训练7 用SAS间接证明三角形全等(SAS)】
1．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到．
3．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：．
【变式训练8 尺规作一个角等于已知角】
1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如下所示的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知，求作：，使
作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
（2）作射线，并以点为圆心，以②长为半径画弧交于点；
（3）以点为圆心，以③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；
（4）作④，即为所求作的角．
A．①表示点B．②表示C．③表示D．④表示射线
2．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ．

3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，根据给出的，，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法）


【变式训练9 尺规作图--作三角形】
1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．作的依据为B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点A为圆心，为半径画的D．弧是以长为半径画的
2．（22-23七年级下·全国·课后作业）尺规作三角形的类型：
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段a，b和
求作：使，，
【变式训练10 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)】
1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
3．（2024·陕西西安·一模）如图，点在上，，，．求证：
【变式训练11 用HL证全等(HL)】
1．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，，垂足分别为D，E，，则 ，理由是 ．

3．（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：．
【变式训练12 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)】
1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，点E、F在上，，，相交于点G，请添加一个条件 使得．

3．（2024·陕西西安·三模）如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由．
【变式训练13 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合)】
1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
2．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）（1）周长相等的两个三角形全等．（2）周长相等的两个等边三角形全等．（3）有三个角对应相等的两个三角形全等．（4）有三边对应相等的两个三角形全等．以上说法中，错误的有 个．
3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：_____________；求证：__________；
②已知：_____________；求证：_____________；
(2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
【变式训练14 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)】
1．（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）

A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．

3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均为边长为1的正方形网格．△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形．
（1）在图①中画一个三角形与△ABC全等，且只有1个公共顶点．
（2）在图②中画一个三角形与△ABC全等，且只有1条公共边．
【变式训练15 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】
1．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，，，是边上的中线，若，则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ．
3．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，是的边的中线．

(1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形；
(2)若，，求的长的取值范围．
【变式训练16 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】
1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，菱形ABCD的形状和大小保持不变，将菱形ABCD绕点B旋转适当角度得到菱形A'BC'D'，边A'D'与AD，DC交于E，F（D，E，F不重合），连接EB，FB．在旋转过程中，下列判断错误的是（ ）
A．EB平分∠AED'
B．FB平分∠A'FC
C．△DEF的周长是一个定值
D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD
2．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，将绕着直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则 度．
3．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△BDE，点D的对应点为点A，连接AD，求∠ADE的度数．
【变式训练17 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】
1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( )

A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为
3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
【变式训练18 全等三角形综合问题】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（ ）米
A．6或60B．60C．24或60D．6
2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等．
3．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）在三角形中，度，， 直线经过点，且于，于点．
(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②．
(2)直线绕点旋转到图2的位置时，（1） 中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，说明理由．
(3)直线绕点旋转到图3的位置时，试问：，，有怎样的关系?请写出这个等量关系，并加以证明．
1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列四组图形中，不是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·重庆南川·期末）如图，，若，，则线段的长是（ ）
A．8B．10C．15D．20
3．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如右图，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）如图，一个三角形钢板插在水泥台面中，某同学说：“不用拔出钢板，就能画出一个与该三角形钢板完全重合的三角形”，那么他所用到的数学知识是（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23八年级上·河南南阳·期中）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中是格点三角形，请你找出方格中所有与全等，且以为顶点的格点三角形，这样的三角形共有（ ）个（除外）．
A．2B．3C．4D．5
6．（22-23七年级·全国·课后作业）如图，图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有 对．
7．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ．
8．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．

9．（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝4cm，BD＝BC＝7cm，CE⊥BD于点E，则DE的长 cm．
10．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： （写出所有符合条件的结果）．
11．（23-24八年级上·云南红河·期中）已知：如图，，，与全等吗？并说明理由？
12．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）已知：如图，，，，试说明的道理.
13．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)若，，求的长．
14．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：．
15．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
如图，已知，求作：，使．
作法：①以☆为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
②作射线；并以点为圆心，○为半径画弧交于点；
③以点为圆心，□长为半径画弧交前弧于点；
④作△，则即为所求作的角．
题干：……，求证：．
证明：在和中，，
∴．

尺
规
作
图
类型
依据
已知两边及其夹角作三角形

已知两角一边作三角形
（或）
已知三边作三角形