2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案，共30页。试卷主要包含了 若，则的值为， 如图，∽，等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的主视图是否为圆进行判断即可．
【详解】解：A．圆锥的主视图是三角形，不合题意；
B．球的主视图是圆，符合题意；
C．正方体的主视图是正方形，不合题意；
D．圆柱的主视图是长方形，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从正面看到的图形是主视图．
2. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵，
∴==，
故选：D
3. 已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将点代入双曲线，求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．
【详解】∵A（3，﹣2）在双曲线上，
∴，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．
A、因为≠k，所以该点不在双曲线上．故A选项错误；
B、因为≠k，所以该点在双曲线上．故B选项错误；
C、因为≠k，所以该点不在双曲线上．故C选项错误；
D、因为＝k，所以该点不在双曲线上．故D选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4. 顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形
C. 对角线相等的四边形D. 平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，同理可证，，可知当时，四边形为菱形．
【详解】解：如图

连接、，
、、、分别是四边形各边中点，
，，
即，，，
同理可证，，
当时，，
即，四边形是菱形，
即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，
故选：．
【点睛】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理是解此题的关键．
5. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）
A. 2B. 12C. 18D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.
【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)
则红球个数为:24－6=18(个)
故选C.
【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.
6. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7. 如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案．
【详解】如图，过点O作OF⊥BD于F，
∴OF为点O到的距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵将沿对角线折叠得到△BDE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵恰好平分，
∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，
∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，
∴∠ABO=30°，
∵，
∴OF=OA=AB·tan30°=2，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
8. 如图，∽，：：，其中，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：：：，
：：，
∽，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
10. 在正方形中，，E是的中点，在延长线上取点F使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，以下结论中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知确定，再证明可得，进一步证明，判定①对，然后证明可得得出②对，由三角形全等，勾股定理得③错误；在中，，则，再证明可得，则，所以，由，即可得④对从而的结论．
【详解】解：∵正方形中，，E是的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，故①对；
，
，
，
，
，
，故②对；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③错误；
在中，，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，故④对，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、相似三角形的性质乃综合题，理解题意是解决问题的关键．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，在菱形中，，则的长为___________．

【答案】10
【解析】
【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
13. 一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，
∴两次摸到球是一白一红的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 已知α、β是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出，的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵已知α、β是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键．
15. 如图中，直角顶点在坐标原点，且，点在上，点在上，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，结合题意和直角三角形两个锐角互余可推得，，根据相似三角形的判定和性质可得，，设，则，根据题意可求得，，推得点的坐标，代入，即可求解．
【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图：

∵，轴，轴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∵点在上，
将代入得：，
∴，
则，
故，
∵点在上，
将代入得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，求反比例函数的函数值和自变量，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，为对角线，将矩形沿、所在直线折叠，使点A落在上的点M处，点C落在上的点N处，连接，交于点O．已知，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，同理出去，进一步求得，根据，得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
∵将矩形沿、所在直线折叠，使点A落在上的点M处，点C落在上的点N处，
，
，
，
，
，
设，则，
∴，
解得，，即，
，
同理，，
，
设，则，
∴，
解得，，即，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形相似是解题的关键．
三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）变形后用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
由题意得，，
则，
∴，
即，；
【小问2详解】
可变为，
则或
解得，；
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，于点于点．
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形的性质以及已知条件，证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】∵四边形是矩形，
∴
，

又∵
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
19. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长．

【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得2，
故CD长为2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
20. 如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为．
（1）以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出；
（2）A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ；
（3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ．
【答案】（1）见解析 （2），10
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-位似变换．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点即可；
（2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积；
（3）利用位似变换的性质求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：A点的对应点的坐标是，
的面积；
故答案为：，10；
【小问3详解】
解：在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是．
故答案为：．
21. 如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线，分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形；
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及O为平行四边形ABCD的对称中心得，，由全等的性质得，，先证出四边形AFCE是平行四边形，
再由，，即可证明四边形AFCE是菱形；
（2）根据正方形的性质以及可求出，，由可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，
，
O为平行四边形ABCD的对称中心，
，
在与中，
，
，
，
四边形AFCE是平行四边形，
，，
，
四边形AFCE是菱形；
（2）四边形AFCE是正方形，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定以及正方形的性质，熟记平行四边形和特殊平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
22. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）72 （3）560
（4）
【解析】
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
【小问2详解】
，
故答案为：72；
【小问3详解】
（人），
故答案为：560；
【小问4详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，求解出y的值，根据尽可能让顾客得到实惠取值即可求出结论．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
尽可能让顾客得到实惠，
该品牌头盔的实际售价应定为50元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24. 物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为米，请解答下列问题．

（1）如图1，乙同学测得旗杆在地面上的影长为6米，那么旗杆的高度为 米．
（2）如图2，丙同学想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长为3米，墙上的影长长为1米，则树的高度为多少？
（3）如图3，丁同学想测量一根电线杆的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长为4米，坡面上的影长为2米，已知斜坡的坡角为，则电线杆的高度是多少？
【答案】（1）12 （2）树的高度为7米
（3）电线杆的高度是米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用、相似三角形的应用举例．
（1）根据物体的高度与其在地面上的影长的关系计算；
（2）连接并延长，交直线于点H，根据物体的高度与其在地面上的影长的关系列式计算即可；
（3）连接并延长，交直线于点C，过点K作于点N，根据锐角三角函数的定义分别求出，计算即可．
【小问1详解】
解：∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为米，
∴旗杆在地面上的影长为6米，旗杆的高度为12米，
故答案为：12；
【小问2详解】
解：如图2，连接并延长，交直线于点H，

米，
米，
米，则，
解得：，
答：树的高度为7米；
【小问3详解】
解：如图3，连接并延长，交直线于点C，过点K作于点N，

在中，米，，
则米，米，
由题意得：米，
米，
则，
解得：米，
答：电线杆的高度是米．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．

（1）求反比例函数的表达式：
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【小问1详解】
解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
【小问2详解】
解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
【小问3详解】
解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
26. （1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．
填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ；
②线段之间的数量关系为 ；
③的度数为 ；
（2）类比研究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在中，，点D在边上，于点E，，将绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线经过点B时长．
【答案】（1）①和；②；③；（2），．理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据和均为等边三角形，①运用等边三角形性质证明；②由即可得出结论；③由三角形内角和定理及，即可得到答案；
（2）先根据和均为等腰直角三角形，证明，可得，，即可得到结论；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
故答案为：①和；②；③；
（2），．理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，，
，，
，
即，
∵，
，
，，
，
，
；
（3）如图3中，
，
∴A，B，C，E四点共圆，
，
，
，
，
∴，
，
在中，，
，
，
，
如图4中，当D，在同一直线上时，同法可知，
综上所述，或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质，特殊角三角函数值，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．