（旧知复习）第2讲 长方体和正方体的表面积和体积（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（北师大版）

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（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）
第2讲 长方体和正方体的表面积和体积
知识点01：长方体表面积的计算方法
方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知识点02：正方体表面积的计算方法
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。
知识点03：表面积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。
给出正方体的棱长，要求计算其表面积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。
拼组题型：
将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。
这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。
切割题型：
将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。
这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。
优化问题：
例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
知识点04：长方体体积的计算方法
长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。
如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，
则体积公式可以表示为：V = a × b × h。
知识点05：正方体体积的计算方法
正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。
正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。
如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。
知识点06：体积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。
给出正方体的边长，要求计算其体积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。
比较和判断题：
比较不同长方体或正方体体积的大小。
判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。
优化问题：
例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。
综合应用题：
结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
单位换算问题：
在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。
易错点一：单位换算
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。
易错题目：
一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。
错误答案：
直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。
正确答案：
首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积：
表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm²
易错点二：表面积与体积的混淆
易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。
易错题目：
一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。
错误答案：
将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。
正确答案：
表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm²
体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³
易错点三：公式应用错误
易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。
易错题目：
一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。
错误答案：
只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。
正确答案：
表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm²
易错点四：忽略实际情况
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。
易错题目：
一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。
错误答案：
直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。
正确答案：
由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积：
表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm²
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：44（较难）
一、慎重选择(共5题；共10分)
1．（2分）（2024五下·龙海期中）一个正方体的表面积是54平方厘米，这个正方体的占地面积是（ ）平方厘米。
A．3B．6C．9D．12
2．（2分）（2024五下·武昌期中）用27块正方体积木拼成右面的物体，然后将其表面涂成红色。有三个面是红色的积木共有（ ）块。
A．7B．8C．9D．10
3．（2分）（2024五下·陆川期中）把一个棱长是9cm的正方体切成棱长是3cm的小正方体，可以切得（ ）个。
A．6B．9C．27
4．（2分）（2024五下·龙岗期中）一块长是3分米，宽是2分米，体积是25.2立方分米的长方体木料，( )完全放入一个长是3.1分米，宽是2.1分米，高是4分米的长方体纸箱内(纸箱厚度忽略不计)。
A．能B．不能
C．不一定能D．条件不足，无法确定
5．（2分）（2024五下·西城期末）一个棱长为2dm的正方体容器中装有一些水，放入一块体积是2.4dm3的石块后(石块完全浸没在水中，如下图)，水面上升了（ ）dm。
A．0.3B．0.6C．1.2D．2
二、判断正误(共5题；共5分)
6．（1分）（2024五下·汉川期中）棱长为6厘米的正方体的表面积和体积相等。（ ）
7．（1分）（2024五下·黄冈月考）长、宽、高都相等的长方体叫做立方体。（ ）
8．（1分）（2024五下·武江期中）棱长为2厘米的正方体的体积是棱长为1厘米的正方体的体积的8倍。（ ）
9．（1分）（2024五下·靖宇月考）棱长是3dm的正方体，正好能分割成3000个棱长是1cm的小正方体。（ ）
10．（1分）（2024五下·青县月考）用3个棱长为a厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是18a2平方厘米。（ ）
三、仔细想，认真填(共7题；共16分)
11．（2分）（2024五下·苍南期中）如图，4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角处，露在外面的面有 个，至少需要 个这样的小正方体，才能搭一个大一些的正方体。
12．（2分）（2024五下·邯郸期中）明明准备用铁丝焊接一个棱长6厘米的正方体框架，并在各个面上糊上彩纸，做这个正方体至少需要铁丝 厘米，彩纸 平方厘米。
13．（1分）（2024五下·陆丰期中）一个长方体的体积是7.2m3，高是8dm，底面积是 m2。
14．（4分）（2024五下·洞头期中）一个长方体木块，长5dm，宽4dm，高3dm，先把它的六个面涂上颜色，再把它锯成棱长是1dm的小正方体木块(如下图)。在锯成的小正方体木块中，三面涂色的有 个，两面涂色的有 个，一面涂色的有 个，六个面都没有涂色的有 个。
15．（2分）（2024五下·东莞）用棱长1cm的正方体，依次拼摆出下面的长方体。照这样的摆法，由5个正方体拼摆出的长方体表面积是 cm2；由n个正方体摆出的长方体表面积是 cm2。
16．（4分）（2024五下·江源月考）把一个涂色的大正方体，割成8个小正方体，3面涂色的有 块。把一个涂色的大正方体，割成27个小立方体，3面涂色的有 块，2面涂色的有 块，0面涂色的有 块。
17．（1分）（2023五下·随县期末）把3个同样大小的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，拼成的长方体的体积是 立方分米。
四、看图计算(共2题；共12分)
18．（6分）（2024五下·苍南期中）按要求计算。
（1）（3分）求表面积。
（2）（3分）求体积。
19．（6分）（2024五下·临平期中）计算与探索。
（1）（4分）计算：图1，正方体的底面积是 cm2，体积是 cm3。图2，长方体的横截面积是 cm2，体积是 cm3。
（2）（2分）尝试计算如图的体积（单位：厘米）
五、解决问题(共11题；共57分)
20．（6分）（2023五下·播州期末）某健身馆建了一个长80m、宽40m、深2m的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5m处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。
（1）（3分）这条线的长度是多少米？
（2）（3分）游泳池占地多少平方米？
21．（4分）（2024五下·腾冲期中）学校要粉刷一间新教室。教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗和黑板的面积是25.4平方米，如果每平方米需要12元涂料费，粉刷这间教室需要多少元涂料费?（只粉刷教室的屋顶和四面墙壁）
22．（6分）（2024五下·钱塘期末）明明去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6厘米，宽5厘米，高8厘米。
（1）（3分）这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为240毫升，则标注是否真实的?请说明理由！
（2）（3分）如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），那么商标纸的面积至少是多少平方厘米?
23．（6分）（2024五下·龙海期中）一个长方体玻璃鱼缸（无盖）长8分米，宽4.5分米，高6分米。
（1）（2分）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）（2分）这个鱼缸最多能装多少升水？（玻璃厚度忽略不计）
（3）（2分）现在这个鱼缸装有3.5分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4分米，这个石头假山的体积是多少？
24．（4分）（2024五下·兰溪期中）巨人国里举行捏橡皮泥比赛，一位选手先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为2平方分米的长方体。这个长方体的高是多少分米？
25．（6分）（2024五下·徐闻期中）用一根60分米长的铁丝，做成一个正方体的框架。
（1）（3分）这个正方体框架的棱长是多少分米？
（2）（3分）把这个正方体包装起来，可以装多少立方分米的物品？
26．（4分）（2024五下·龙海期中）小冬有一根长方体木料，沿着长截去3dm后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60dm2。剩下的正方体木料的体积是多少？
27．（5分）（2024五下·巴楚期中）为了测量一个西红柿的体积，丹丹在家进行了如下实验.第一步：准备了一个正方体玻璃缸，并从里面测量出玻璃缸的棱长是10厘米；第二步：往玻璃缸中倒入了6厘米深的水；第三步：把这个西红柿放入玻璃缸中，测出现在水面高7.8厘米。请你根据丹丹的实验，算出这个西红柿的体积。
28．（6分）（2024五下·驻马店月考）一个游泳池，长 25m，宽 12m，高 2.5m。要在游泳池的四周和池底贴一层瓷砖。
（1）（2分）这个游泳池的 占地面积是多少平方米?
（2）（2分）要贴瓷砖的面积是多少平方米?
（3）（2分）挖这个游泳池时，一共要挖出多少立方米的土?
29．（5分）（2024五下·武江期中）一个正方体容器，棱长2分米，里面装有水5升，放入一个铁球，（完全沉没）这时水面高1.5分米，这个铁球的体积是多少立方分米?
30．（5分）（2024五下·望都月考）实验小学为迎接6月5日的世界环保日，张校长带领老师们用棱长5分米的正方体积木(由废纸箱制成)，在教学楼旁搭起一面长5米、高2.5米、厚20分米的环保宣传墙，这面墙一共用了多少块积木?