（旧知复习）第2讲 因数和倍数（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份（旧知复习）第2讲 因数和倍数（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版），文件包含旧知复习第2讲因数和倍数原卷版2024年新六年级数学暑假衔接讲义人教版docx、旧知复习第2讲因数和倍数解析版2024年新六年级数学暑假衔接讲义人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共19页， 欢迎下载使用。
（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）
第2讲 因数和倍数
知识点01：因数和倍数
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点02：2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）
(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，
偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.
(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数
偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数
(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。
知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）
(1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)
合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，
(2)最小的质数是2 最小的合数是4
(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。
(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数
(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2
(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
易错知识点01：因数和倍数的定义
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。例如，不能说“6是倍数，3和2是因数”，而应该说“6是3和2的倍数，3和2是6的因数”。
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
易错知识点02：因数和倍数的性质
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
0没有因数，因为因数研究的是非零自然数。
易错知识点03：奇数和偶数的因数和倍数
奇数：不能被2整除的数，也就是个位上是1、3、5、7、9的数。奇数的因数不一定比偶数的因数少，例如9（奇数）有3个因数（1、3、9），而8（偶数）也有3个因数（1、2、4）。
偶数：能被2整除的数，也就是个位上是0、2、4、6、8的数。其中，0是偶数，但0没有因数。
易错知识点04：质数和合数的因数和倍数
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数的数。例如，2、3、5、7等。
合数：除了1和它本身还有别的因数的数。例如，4、6、8、9等。
易错知识点05：易错点归纳
混淆因数和倍数的概念，将两者分开讨论。
忽略0没有因数的特性，错误地将0作为因数进行讨论。
误认为奇数的因数一定比偶数的因数少，或者合数的因数一定比质数的因数多。
在判断一个数是否为因数或倍数时，未考虑到整除性的要求，即商必须为整数且没有余数。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：48（较难）
一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分)
1．（2分）（2024四下·天门月考）从419中至少减去（ ）才是3的倍数。
A．3B．5C．2D．1
答案：C
详细规范解答：解：4+1+9=14，14-2=12，至少减去2才是3的倍数。
故答案为：C。
试题思路分析：3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数。
2．（2分）（2024五下·陆川期中）用0，3，4，8组成的所有四位数都是 （ ）的倍数.
A．2B．3C．5
答案：B
详细规范解答：解：0+3+4+8
=7+8
=15
因为15是3的倍数，所以用0，3，4，8组成的所有四位数都是3的倍数。
故答案为：B。
试题思路分析：个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数；个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此可以判断。
3．（2分）（2024五下·腾冲期中）在1－20中，既是合数，又是奇数的有（ ）个。
A．1B．2C．3D．4
答案：B
详细规范解答： 在1－20中，合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，既是合数，又是奇数的有9、15。
故答案为：B。
试题思路分析：此题主要考查了奇数和偶数、质数和合数的知识，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。
4．（2分）（2021五下·临沭期末）两个不同质数相乘的积一定是（ ）。
A．质数B．合数C．奇数D．偶数
答案：B
详细规范解答：解：两个不同质数相乘的积一定是合数。
故答案为：B。
试题思路分析：两个不同质数相乘的积的因数个数至少有3个，所以积一定是合数。
5．（2分）（2020五下·驻马店期中）下列说法中，错误的是（ ）。
A．正方体的棱长扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的6倍
B．整数中，是2的倍数的数叫做偶数，0也是偶数
C．在 ， ， 中， 和 都能化成有限小数
D．正方形绕中心点至少旋转90°才能够与原图重合
答案：A
详细规范解答：选项A，设原来的棱长为a，则原来的体积=a×a×a=a3，扩大后的体积=（2a）×（2a）×（2a）=8a3，即体积扩大了8倍，所以错误；
选项B，偶数是能被2整除的数，即正确；
选项C，=0.666……，是无限小数，=0.6，=2.125，是有限小数，故正确；
选项D，根据旋转的定义以及正方形的特点可得正确。
故答案为：A。
试题思路分析：选项A，根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，计算出扩大后的体积以及原来的体积，再相除即可。
选项B，偶数是能够被2所整除的整数。正偶数也称双数。若某数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n。
选项C，有限小数是指两个数相除，如果得不到整商，除到小数的某一位时，不再有余数的一种小数。
选项D，旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)
6．（2分）（2024五下·腾冲期中）因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6倍数。（ ）
答案：错误
详细规范解答：解：不能说1.2是0.6的倍数。
故答案为：错误。
试题思路分析：讨论倍数和因数时，是在整数的范围内。
7．（2分）（2024五下·巴楚期中）因为5×7=35，所以35是倍数，5和7是因数。（ ）
答案：错误
详细规范解答： 因为5×7=35，所以35是5和7的倍数，5和7是35的因数，原题说法错误。
故答案为：错误。
试题思路分析：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a ；如果整数a能被整数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；倍数和因数是相互依存的，不能单独说一个数是因数或者一个数是倍数，据此判断。
8．（2分）（2024五下·蕲春期中）一个数的倍数一定大于这个数的因数．
答案：错误
详细规范解答：解：例如12的最小倍数是12，最大因数是12，所以一个数的倍数大于或等于这个数的因数，原题说法错误.
故答案为：错误
试题思路分析：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数是它本身，由此判断即可.
9．（2分）（2024五下·驻马店月考）因为 45 比 24 大，所以 45 的因数的个数比 24 的因数多。（ ）
答案：错误
详细规范解答：解：因数个数的多少与这两个数的大小无关。原题说法错误。
故答案为：错误。
试题思路分析：只有根据求一个数因数的方法确定每个数的因数，才能比较因数的个数。不能只根据两个数的大小来确定因数个数的多少。
10．（2分）（2024五下·驻马店月考）两个连续自然数的和一定是奇数，积一定是偶数。（ ）
答案：正确
详细规范解答：根据分析，举例为：0+1=1，1+2=3，1、3是奇数，0×1=0，1×2=2，0、2是偶数，此题说法正确。
故答案为：正确。
试题思路分析： 两个相邻的自然数一个是奇数，一个是偶数，因为：奇数+偶数=奇数，奇数×偶数=偶数；
所以两个连续自然数的和一定是奇数，积一定是偶数，据此举例判断。
三、仔细想，认真填(共8题；共16分)
11．（2分）（2023五下·播州期末）三个连续奇数的和是177，这三个数的平均数是 ，其中最大的数是 。
答案：59；61
详细规范解答：177÷3=59，59+2=61.
故答案为：59；61.
试题思路分析：三个连续奇数的和÷3=中间的奇数；中间的奇数+2=最大的奇数。
12．（2分）（2024五下·游仙期中）26至少增加 就是3的倍数，至少减少 就是5的倍数。
答案：1；1
详细规范解答：解：26+1=27，26-1=25，所以26至少增加1就是3的倍数，至少减少1就是5的倍数。
故答案为：1；1。
试题思路分析：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位数字是0或5的数是5的倍数。
13．（2分）在献爱心活动中，503班向希望小学捐款62□□，这个数既是2，3，5的倍数，又是最大的一个，503班捐款 元。
答案：6270
详细规范解答：62□□，要求是2，3，5的倍数，个位是0，其他各位相加和是3的倍数，6+2=8，最大加7，8+7=15，503班捐款6270元。
故答案为：6270。
试题思路分析：同时是2、3、5的倍数的数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，个位是0，据此解答。
14．（2分）（2024五下·郸城月考）用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是 ；组成一个是3的倍数的最小三位数是 。
答案：675，765；567
详细规范解答：解： 用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是675，765；组成一个是3的倍数的最小三位数是567。
故答案为：675，765；567。
试题思路分析：个位上是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数5+6+7=18，18是3的倍数，所以组的三位数最小即可。
15．（2分）（2024五下·苍南期中）老师让同学计算3个连续奇数的和，四个同学的答案如下：
小明：130，小红：132，可可，135，乐乐：150
只有一位同学做对了，他是 ，这三个奇数中最大是 。
答案：可可；47
详细规范解答：解：只有可可做对了，这三个连续奇数的和是135；
135÷3=45，45＋2=47.
故答案为：可可；47。
试题思路分析：三个连续奇数的和是奇数，只有可可做对了，最大的一个奇数=三个连续奇数的和÷3＋2。
16．（2分）体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的同学有 人．
答案：39
详细规范解答：第一次转向：4的倍数有60÷4=15（个）此时背向老师的有15人；
第二次转向：5的倍数有60÷5=12（个），其中与4的倍数相同的20，40，60这3个人，在第一次转向时转为背向老师，现在他们3人转变为面向老师；则叫5的倍数向后转时只有9人转为背向老师，3人转为面向老师；
则此时背向老师的有15+9-3=21人；
第三次转向：6的倍数有60÷6=10（个），其中12，24，36，48这4人第一次转向时转为背向老师，此时转为面向老师；
30在第二次转向时转为背向老师，现在转为面向老师；
其他的转为背向老师（60这一人经过第二次转向时为面向老师，在第三次转向时为背向老师）则此时转为背向老师的有5人
，此时背向老师的有21+5-5=21人；
60-21=39（人）；
故答案为：39.
试题思路分析：先找出60以内4、5、6各自的倍数，去掉这几个数的倍数就是面向老师的人数，这几个数的倍数中有重复的.
17．（2分）（2023五下·香坊期末）在5，7，1，0中选出3个数字，组成既是3的倍数，又是5的倍数的三位数，可以组成 个。
答案：6
详细规范解答：解：5的倍数是个位上的数字是0或5；
末尾数字是0，且是3的倍数的三位数有：570、750、510、150；
末尾数字是5，且是3的倍数的三位数有：105、705；
可以组成6个。
故答案为：6。
试题思路分析：同时是3、5的倍数的数的特征是这个数个位上的数字是0或5，所有数位上的数字之和是3的倍数。
18．（2分）（2023五下·老河口期末） 一个长方体，长、宽、高的长度（单位：dm）都不足10dm且各不相等。它们都是奇数，也都是质数。这个长方体的体积是 dm3。
答案：105
详细规范解答：解：10以内是奇数，也是质数的数是3、5、7，所以长方体的统计：3×5×7=105（dm3）。
故答案为：105。
试题思路分析：奇数是不能被2整除的数，质数是只有1和本身两个因数的数。找出10以内既是奇数又是质数的数分别做长、宽、高，然后计算体积。长方体体积=长×宽×高。
四、计算能手(共1题；共10分)
19．（10分）（2020五下·偃师期中）找出下面的合数，再分解质因数。
49 37 18 53 92
答案：解：49=7×7；18=2×3×3；92=2×2×23.
试题思路分析：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数分解质因数。
五、解决问题(共10题；共54分)
20．（5分）（2024五下·陆川期中）体操队有28名同学，要分成人数相等的小组进行训练，可以怎样分?（不包括1人或28人一组的情况，其它分组方法都要写出来）
答案：解：2×14=28（人）
可以平均分成2组，每组14人；或者平均分成14组，每组2人；
4×7=28（人）
可以平均分成4组，每组7人；或者平均分成7组，每组4人。
答：可以平均分成2组，每组14人；或者平均分成14组，每组2人；可以平均分成4组，每组7人；或者平均分成7组，每组4人。
试题思路分析：求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数。1和它本身也是这个数的因数；
28的因数有1，2，4，7，14，28，除了1和28外还有2，4，7，14，分组情况据此可以解答。
21．（5分）（2024五下·武昌期中）五年级有48名同学报名参加义务劳动。老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10。可以分成几组?
答案：解：48的因数有1、48、2、24、3、16、4、12、6、8，可以分的组数有3、4、6、8组。
答：可以分成4组。
试题思路分析：先写出48的因数，然后找出大于2，小于10这几个符合条件的数。
22．（5分）（2024五下·驻马店月考）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是中华民族的传统美德。社区组织 67 名志愿者到 4 个单元的 每家每户宣传节粮新观念，重拾节俭情怀。每个单元派的都是奇数名志愿者，你能按要求分配任务吗? 为什么?
答案：答：不能按要求分配任务。因为奇数+奇数+奇数+奇数=偶数，67是奇数，不是偶数。
试题思路分析：奇数+奇数=偶数，四个奇数的和还是偶数，奇数个奇数的和是奇数，根据奇数、偶数的计算特征判断即可。
23．（4分）（2024五下·辰溪期中）阳光小学在争做雷锋好少年活动时，一中队队员们为宣传节约粮食是中华民族的传统美德。组织45名队员到小区的4个单元宣传节粮新观念，弘扬节俭美德。节粮宣传牌是用一根长24dm的铁丝围成的一个长方形。
（1）（2分）每个单元派的都是奇数名志愿者，你能按要求分配任务吗？请说明理由。
（2）（2分）要求节粮宣传牌的长和宽都是整分米数，而且都是质数，围成的节粮宣传牌的长和宽分别是多少？这个节粮宣传牌的面积是多少？
答案：（1）答：不能。因为4个奇数相加的和是偶数，而45是奇数，所以不能按要求分配任务。
（2）解：
12=7+5
7×5=35（dm2）
答：围成的节粮宣传牌的长和宽分别是7厘米、5厘米，这个节粮宣传牌的面积是35平方分米。
试题思路分析：偶数个奇数相加的和是偶数，所以45人无法按要求分配任务；
长＋宽＝长方形的周长÷2，长方形的面积＝长×宽。
24．（5分）（2024五下·黄冈月考）晓明到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元，晓明认为不对。你能解释这是为什么吗？
答案：解：1+3+4=8，134不是3的倍数。
答：因为134不是3的倍数，所以不对。
试题思路分析：笔记本单价乘本数求出应付的钱数，应付的钱数一定是3的倍数，根据3的倍数特征解释即可。
25．（6分）（2024五下·高要期中）一个长方形的周长是48cm，它的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少cm2？
答案：解：48÷2=24（cm）
5+19=24
7+17=24
11+13=24
19×5=95（cm2）
17×7=119（cm2）
13×11=143（cm2）
答：这个长方形的面积最大是143cm2。
试题思路分析：用长方形的周长除以2求出长与宽的和是24，然后判断出所有两个和是24的质数，这两个质数分别是长方形的长和宽，分别计算出面积，然后判断最大的面积即可。
26．（6分）（2024五下·辉南月考）傍晚开灯时，昊昊一口气按了7下开关，请问：现在灯是亮了还是没有亮?第100下呢?第765下呢?
答案：解：7是奇数，第7下亮了；100是偶数，第100 下没有亮；765是奇数，第765下亮了。
试题思路分析：傍晚开灯时，昊昊按第一下灯亮，按第二下灯灭，所以奇数次灯是亮着的，偶数次灯是没亮的。
27．（6分）（2024五下·镇赉县月考）晚上，小强要上楼写作业，本来按一下开关，灯就应该亮，可是他连按了9下开关，灯都没亮。妈妈过来按了两下，爸爸也按了两下，灯还是不亮，爸爸说可能是灯泡坏了，准备换一个。你知道现在开关是开着还是关着吗?说明理由。
答案：解：9+2+2=13（下）
答：13是奇数，所以开关是开着的。
试题思路分析：按9下开关灯没有亮，说明奇数次不亮，偶数次亮。把三人按的次数相加，看和是奇数还是偶数，如果是奇数就亮，如果是偶数就不亮。
28．（6分）（2024五下·钱塘）张叔叔去药店购置一些新冠肺炎病毒防护用品，他购买了一些口罩和酒精消毒液，口罩2元一包，酒精消毒液8元一瓶，他付给药店50元，找回7元，你能快速帮他判断找回的钱是否正确吗?为什么?
答案：解：口罩和酒精消毒液的单价都是偶数，无论买多少，总价都是偶数。而张叔叔实际付了50-7=43（元），43不是偶数，所以找回的钱是不对的。
试题思路分析：50是偶数，7是奇数，偶数-奇数=奇数，而偶数与任何数的积都是偶数，偶数+偶数=偶数，所以总钱数一定是偶数。
29．（6分）（2024五下·钱塘期末）你知道吗?为什么判断一个数是不是2或者5的倍数，只要看个位?举例说明：24=20+4，2485=2480+5，因为20、2480这样的整十数都是2或者5的倍数，所以一个数是不是2或者5的倍数只要看个位。那么为什么判断一个数是不是4的倍数，要看末两位？你能举例说明理由吗？
答案：解：224=200+24
2345=2300+45
10025=10000+25
答：200、2300、10000都是整百、整千、整万的数一定都是4的倍数，所以一个数是不是4的倍数，只要看这个数末两位是否是4的倍数就行了。
试题思路分析：先举几个例子，再根据例子进行分析，找出共同点，据此说明理由即可。