（旧知复习）第3讲 长方体和正方体的表面积和体积（含答案）2024年新六年级数学暑假衔接讲义（人教版）

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（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）
第3讲 长方体和正方体的表面积和体积
知识点01：长方体表面积的计算方法
方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知识点02：正方体表面积的计算方法
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a²。
知识点03：表面积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。
给出正方体的棱长，要求计算其表面积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。
拼组题型：
将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。
这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。
切割题型：
将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。
这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。
优化问题：
例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
知识点04：长方体体积的计算方法
长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。
如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，
则体积公式可以表示为：V = a × b × h。
知识点05：正方体体积的计算方法
正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。
正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长³。
如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a³。
知识点06：体积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。
给出正方体的边长，要求计算其体积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。
比较和判断题：
比较不同长方体或正方体体积的大小。
判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。
优化问题：
例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。
综合应用题：
结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
单位换算问题：
在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。
易错点知识点01：单位换算
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。
易错题目：
一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。
错误答案：
直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。
正确答案：
首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积：
表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm²
易错点知识点02：表面积与体积的混淆
易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。
易错题目：
一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。
错误答案：
将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。
正确答案：
表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm²
体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm³
易错点知识点03：公式应用错误
易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。
易错题目：
一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。
错误答案：
只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。
正确答案：
表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm²
易错点知识点04：忽略实际情况
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。
易错题目：
一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。
错误答案：
直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。
正确答案：
由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积：
表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm²
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：47（较难）
一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分)
1．（2分）（2024五下·陆川期中）将两个完全一样的长方体拼成一个大长方体，下列说法正确的（ ）。
A．表面积增加，体积不变
B．表面积减少，体积不变
C．表面积和体积都增加
2．（2分）（2024五下·龙岗期中）用一根长48cm的铁丝制作棱长都是整厘米数的长方体框架，这个长方体框架的长、宽、高可能是（ ）。
A．7cm 2cm 1cmB．20cm 18cm 10cm
C．5cm 5cm 6cmD．5cm 4cm 3cm
3．（2分）（2024五下·腾冲期中）下列不是正方体表面展开图的是（ ）。
A．B．C．D．
4．（2分）（2024五下·龙岗期中）将一个长方体的高截去5 cm就变成了正方体(如图)，正方体的表面积比原长方体的表面积减少了60cm2，原长方体的体积是( ) 立方厘米。
A．27B．36C．64D．72
5．（2分）（2024五下·北仑期中）李阿姨在雕刻时先对材料进行了处理。她把一块长7dm、宽6dm、高5dm的长方体木块削成一个最大的正方体，在剩下部分中再削一个正方体，则这个正方体的的体积是（ ）dm3。
A．1B．2C．4D．8
二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)
6．（2分）（2024五下·汉川期中）表面积相等的两个长方体，它们的体积也一定相等。（ ）
7．（2分）（2024五下·陆丰期中）当正方体的棱长是6cm时，它的表面积和体积相等。（ ）
8．（2分）（2024五下·驻马店月考）一个正方体的棱长扩大到原来的 4 倍，表面积和体积都扩大到原来的 16 倍。（ ）
9．（2分）（2024五下·辰溪期中）2个棱长1cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是12cm2（ ）
10．（2分）（2024五下·邯郸期中）把28L水倒入一个从里面量长40cm、宽25cm、高40cm的长方体玻璃水槽中，这时水面距水槽口28cm。（ ）
三、仔细想，认真填(共8题；共18分)
11．（2分）（2024五下·陆川期中）把一块棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是0.05 平方米的长方体钢材，锻成的钢材有 米长。
12．（2分）（2024五下·龙岗期中）李华有两根一样长的铁丝，将一根铁丝刚好折成一个长7dm、宽2dm、高6dm的长方体框架。若将另一根折成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长是 dm。(接口处忽略不计)
13．（2分）（2024五下·兰溪期中）一个长方体的长是10分米，8分米，高6分米，它的棱长总和是 分米，表面积是 平方分米。
14．（2分）（2024五下·汉川期中）下图是一个正方体表面的展开图，每面都标有数字。在正方体中，数字“3”对面的数字是 ，相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最小是 。
15．（2分）（2024五下·苍南期中）如图，把一段长20dm且横截面是正方形的长方体木料截成3段，表面积增加了64dm2。原来这段木料的体积是 dm3。
16．（4分）（2024五下·万载期中）一个长方体的长6dm、宽5dm、高3dm，它的棱长之和是 dm，它的表面积是 ，体积是 。用两个这样的长方体拼成一个大长方体，拼成的大长方体的表面积最小是 dm2。
17．（2分）（2024·礼嘉）一节长2米的通风管，它的横截面是边长4分米的正方形．做10节这样的通风管至少需要铁皮 平方米。
18．（2分）（2024五下·黄冈月考）一根长方体的木料，正好可以锯成两个同样的正方体，这时表面积增加了50平方厘米，这根长方体木料原来的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
四、看图列式计算(共2题；共8分)
19．（4分）（2024五下·万载期中）计算如图表面积和体积（单位：cm）
（1）（2分）
（2分）
20．（4分）（2024五下·汝城期中）计算下图的表面积和体积。（单位：cm）
五、解决问题(共10题；共54分)
21．（5分）（2023五下·播州期末）乐乐、丽丽和琪琪3人学习了用排水法求不规则物体体积的方法后，他们尝试测量一个不规则物体的体积，进行了如下实验：
①乐乐准备了一个长和宽都是12cm，高是16cm的长方体玻璃缸，并装满水。
②丽丽把红薯用细线系好后，完全浸没在水中，有部分水溢出。
③琪琪把红薯取出，这时水面高是14cm。
根据以上信息，请你计算这个红薯的体积。
22．（5分）（2023五下·播州期末）如下图是一个长方体盒子的展开图，请根据图中信息求出长方体盒子的体积和表面积。
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23．（5分）（2024五下·陆川期中）一个长方体包装盒， 从里面量长25cm， 宽 12cm， 里面的体积为 用它装一件长20cm、宽10cm、高8cm的玻璃器皿， 能否装得进去? 写出你的理由。
（5分）（2024五下·龙岗期中）一间教室长8米、宽5米、高4米，现在要粉刷教室的四周墙壁和天花板，门窗和黑板的面积共16平方米。如果每平方米需要涂料0.2千克，粉刷这间教室一共需要多少千克涂料？
25．（5分）（2024五下·游仙期中）如下图，一块长35厘米、宽25厘米的铁皮，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子的容积是多少升?
（5分）（2024五下·游仙期中）有一个长5分米、宽4分米、深2分米的长方体玻璃缸，向缸中放入一个正方体铁块，然后注满水（此时水已淹没正方体铁块），当取出这个铁块后，水面下降了0.2分米，这个铁块的体积是多少?
27．（6分）（2024五下·安阳期中）王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6dm的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计）
（1）（2分）如果要给这个正方体框架安装上玻璃隔板，已知每平方米玻璃隔板35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？
（2）（2分）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计）
（3）（2分）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8dm，宽3dm的长方体框架，这个长方体框架的高是多少分米？
28．（6分）（2024五下·万载期中）有一个长方体水缸，从里面量长50cm，宽40cm，水缸中完全浸没一块石头后，水缸中的水深30cm，把石头拿出来后水面下降了20cm。
（1）（3分）这块石头的体积是多少立方分米？
（2）（3分）水缸里的水有多少升？
29．（6分）（2024五下·钱塘期末）如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米?
30．（6分）（2024五下·钱塘）甲、乙两个容器，甲容器长64分米，宽3米，高3米，里面的水达到了2.9米高，乙容器长3.6米，宽和甲容器一样，高6米，里面的水达到了2.4米，要从甲容器中取出多少米深度的水放到乙容器中，才能使两个容器的水一样高？