热点题型追踪:1-1基本不等式及其应用
展开一、单选题
1.已知,则的最小值是( )
A.6B.8C.10D.12
2.设,,,则的最小值为( )
A.B.C.D.3
3.已知实数x,满足,则的最小值为( )
A.6B.C.D.8
4.正实数,满足,则的最小值是( )
A.B.C.5D.
5.已知,且,则的最小值为( )
A.4B.C.D.
6.已知,则的最小值为( )
A.5B.3C.D.或3
7.已知x,y为正实数,且,则的最小值为( )
A.24B.25C.D.
8.若,则函数的最小值为( )
A.4B.5C.7D.9
9.已知,,,则的最小值为( )
A.4B.6C.8D.10
10.已知函数.若,且,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
11.下列不等式证明过程正确的是( )
A.若,则
B.若x>0,y>0,则
C.若x<0,则
D.若x<0,则
12.已知,则的最小值是( )
A.6B.8C.4D.9
13.已知正数满足,则的最大值是( )
A.B.C.1D.
14.已知x,y为正实数,则的最小值为( )
A.6B.5C.4D.3
二、多选题
15.已知 则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
16.已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.B.
C.D.
17.已知,则实数,满足( )
A.B.
C.D.
18.下列函数中,最小值为2的是( )
A.B.
C.D.
19.下列命题中,真命题的是( )
A.,都有
B.,使得
C.任意非零实数,都有
D.若,则的最小值为4
20.下面结论正确的是( )
A.若,则的最大值是
B.函数的最小值是2
C.函数()的值域是
D.,且,则的最小值是3
三、填空题
21.若,,且,则的最小值是
22.若,则的最小值为 .
23.若,,则的最小值为 .
24.已知,,且,则的最小值是
25.若,则的最小值为 .
26.函数()的最小值为 .
27.已知正数a,b满足,则的最小值为 .
28.已知,则的最小值为 .
29.已知正数a,b满足,则的最小值为
30.已知且,则的最小值是 .
31.若,且,则的最小值为 .
32.已知,,且,则的最小值为 .
33.已知,,,则的最小值为 .
34.若,,且,则有最小值是
35.函数的最小值为 .
36.已知,则函数的最小值是 .
37.已知正数x,y满足,则的最大值为 .
38.函数在上的值域是 .
39.已知正数满足,则的最小值为 .
40.若且满足,则的最小值是
41.当时,的最小值为 .
42.函数y=x+(x≥2)取得最小值时的x值为 .
43.已知函数,若实数满足,且,则的取值范围是 .
44.已知,其中,,,则的最小值为 .
45.已知实数,且,则的最小值是 .
46.若,,,,则的最小值为 .
47.若正实数满足,则最小值为
48.已知a,b,c均为正实数,,则的最小值是 .
四、解答题
49.若对任意,恒成立,求实数的取值范围
参考答案:
1.D
【分析】利用基本不等式性质求解即可.
【详解】因为,所以
所以,
当且仅当,即时,等号成立.
所以的最小值为.
故选:D
2.C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为,所以,
因为,,所以
.
当且仅当,即时取等.
故选:C.
3.C
【分析】根据“1”的变形技巧化简,再运用均值不等式求解即可.
【详解】由条件可得
.
当且仅当,即时等号成立,
故选:C.
4.B
【分析】中的“1”用“”代替,分离常数后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正实数,满足,
所以
,
当且仅当,即时等号成立.
故的最小值是.
故选:B.
5.D
【分析】由,可得,再利用基本不等式计算即可得.
【详解】,
当且仅当,即时,等号成立.
故选:D.
6.B
【分析】由已知可得,利用基本不等式计算可得结果.
【详解】由,得,
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为3.
故选:B.
7.B
【分析】把变为,然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】因为x,y为正实数,且,所以
,
当且仅当即时,等号成立,所以的最小值为25.
故选:B
8.C
【分析】利用基本不等式计算可得;
【详解】解:因为,所以,
所以
,
当且仅当,即时取等号,
所以函数的最小值为;
故选:C
9.B
【分析】将已知条件等式化为,整体代入结合基本不等式即可得解.
【详解】因为,,,
所以,,
所以
,
当且仅当,即,时等号成立,
即的最小值为6,
故选:B.
10.C
【分析】根据函数图象得,则,令,利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得.根据函数的图象及,
则,即,可得,,
令,
根据对勾函数可得在上单调递增,则.
所以的取值范围是.
故选:C.
11.D
【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法,逐一判断即可.
【详解】∵可能为负数,如时,,∴A错误;
∵可能为负数,如时,,∴B错误;
∵,如时,,∴C错误;
∵,,,∴,当且仅当,即等号成立,∴D正确.
故选:D.
12.D
【解析】利用基本不等式的换“1”法,得到,进而利用基本不等式求解即可
【详解】∵
∴
则
当且仅当,即时取等号
故选:D.
13.B
【分析】根据已知等式把代数式进行变形为,再结合已知等式,利用基本不等式进行求解即可.
【详解】,
因为,所以,
因此
,
(当且仅当时取等号,即时取等号,即时取等号),
所以.
故选:B.
【点睛】关键点睛:解决本题的关键一是将原式变形,二是基本不等式的使用技巧,三是一定要注意等号成立的条件.
14.A
【分析】x,y为正实数,利用基本不等式求的最小值.
【详解】x,y为正实数,则,当且仅当,即时等号成立.
最小值为6,
故选:A
15.ABC
【分析】由题意可知,,根据对数函数的单调性可知D错误;,可知A正确;利用基本不等式可知,化简整理可知B正确;在根据,利用不等式的性质,即可判断C正确.
【详解】由题可知,,又,所以 ,D错误;
因为,有.所以A正确;
由基本不等式得,所以,当且仅当时,取等号;
又因为,,所以,故,B正确;
由于,,所以,C正确.
故选:ABC.
16.ABD
【分析】根据,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A,,
当且仅当时,等号成立,故A正确;
对于B,,所以,故B正确;
对于C,,
当且仅当时,等号成立,故C不正确;
对于D,因为,
所以,当且仅当时,等号成立,故D正确;
故选:ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质,综合了基本不等式,指数函数及对数函数的单调性,侧重考查数学运算的核心素养.
17.AD
【分析】对于A,根据对数函数的性质分析判断,对于C,由已知可得,从而可得,对于D,利用基本不等式判断,对于B,由,得分析判断.
【详解】对于A,因为,所以,因为,所以,所以,所以A正确;
对于C,由,得,所以,所以C错误;
对于D,因为,所以,得,所以D正确;
对于B,因为,所以,所以B错误.
故选:AD
18.CD
【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC,根据复合函数最值求法求解判断D.
【详解】对于A,,当时,,不符合要求,错误;
对于B,,当且仅当时取等号,
由得显然不成立,所以等号取不到,
即的最小值不是2,错误;
对于C,因为,所以,,
当且仅当时取等号,最小值是2,正确;
对于D,,易知,,
则,
当即或时,有最小值4,即有最小值2,故D正确.
故选:CD.
19.AB
【分析】利用不等式的性质和均值不等式,以及对勾函数的单调性求最值,并根据全称命题与特称命题的真假判断,即可选出真命题.
【详解】解:对于A,恒成立,
则,都有,A选项正确;
对于B,当时,,
(当且仅当时取等号),
,,使得,B选项正确;
对于,当时,,C选项错误;
对于 D,当时,,令,
在上单调递增,
,
则的最小值不是4,D选项错误;
故选:AB.
20.ACD
【分析】利用基本不等式求最值判断ABD,结合二次函数的性质判断C.
【详解】时,.,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值是2,即的最小值是1,
从而的最大值是,A正确;
,当且仅当时等号成立,但无实数解,因此等号不能取得,2不是最小值,B错;
时,,,
因为,所以时,,时,,
时,.
所以值域是,C正确;
,且,,
,
则,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值是4-1=3,D正确.
故选:ACD.
21./
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为,,所以
,则,
所以,当且仅当时,等号成立,
所以有最小值.
故答案为:.
22.2
【分析】化简,结合基本不等式,即可求解.
【详解】由,则,
当且仅当时取“”,即的最小值为2.
故答案为:2.
23./0.16
【分析】根据给定条件,利用基本不等式直接求解即得.
【详解】由,得,则,即,当且仅当时取等号,
所以当时,的最小值为.
故答案为:
24.
【分析】运用基本不等式来求解即可.
【详解】由于,所以.
当且仅当,即时等号成立.
即当且仅当时,取得最小值,最小值为.
故答案为:
25.0
【分析】构造,利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】由,得,
所以,
当且仅当即时等号成立.
故答案为:0
26./
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为,所以,
所以,
当且仅当时,即时,等号成立,
故的最小值为.
故答案为:
27.2
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可.
【详解】因为正数a,b满足,所以,
所以
,
当且仅当即时,等号成立,
所以的最小值为2.
故答案为:2
28./
【分析】先将式子化简消去分子的,进而利用基本不等式即可求解.
【详解】因为,
所以
,
当且仅当,即时,等号成立.
所以的最小值为.
故答案为:.
29.9
【分析】借助“1”的灵活运用,由基本不等式即可求解最小值.
【详解】解:因为正数a,b满足,
所以,
当且仅当,即时等号成立.
故答案为:9.
30.8
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.
【详解】因为,所以,
所以,当且仅当,即时取等号.
所以的最小值为8.
故答案为:8.
31.5
【分析】根据题意可得,结合基本不等式运算求解.
【详解】因为,且,则,
可得,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为5.
故答案为:5.
32.16
【分析】根据常值代换法,妙用“1”,构造基本不等式的条件,即可求得所求式的最小值.
【详解】
当且仅当时等号成立.即当时,取得最小值为16.
故答案为:16.
33.
【分析】利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意.
当且仅当时等号成立.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值,属于基础题.
34.5
【分析】应用基本不等式“1”的代换,把“1”换成,整理后积为定值,然后利用基本不等式求最小值即可.
【详解】,,,
,
当且仅当,即时,等号成立,
所以有最小值5.
故答案为:5.
35.
【分析】将函数化为,利用基本不等式求其最小值,注意取值条件即可.
【详解】由,又,
所以,当且仅当,即时等号成立,
所以原函数的最小值为.
故答案为:
36.
【分析】将函数化简,分离常数,然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为,
当且仅当,即时,等号成立.
所以函数的最小值是
故答案为:.
37.
【分析】根据乘“1”法,即可利用基本不等式求解.
【详解】∵正数x,y满足,∴.当且仅当,即时取等号,则,其最大值为.
故答案为:
38.
【分析】将函数变形为,当时,;当时,,利用对勾函数的性质和不等式的性质可解.
【详解】函数,
当时,;
当时,,
根据对勾函数的性质可知:
当时,,则,所以,
当时,,则,所以,
综上所述,函数在上的值域是.
故答案为:
39.
【分析】利用基本不等式直接求解最值即可.
【详解】因为是正数,,所以,
当且仅当时取等号,即当时,的最小值为.
故答案为:
40.7
【分析】直接利用均值不等式计算得到答案.
【详解】,当,即时等号成立.
故答案为:.
【点睛】本题考查了均值不等式求最值,意在考查学生的计算能力.
41.3
【分析】根据对勾函数的单调性求最值.
【详解】设,则,
又由得,
而函数在上是增函数,
因此时,取得最小值,
故答案为:.
42.2
【分析】令x+1=t(t≥3),则有=t+-1在[3,+∞)上单调递增,当t=3时,即可求解.
【详解】依题意,
y=x+=x+1+-1(x≥2),
设x+1=t(t≥3).因为f(t)=t+-1在[3,+∞)上单调递增,
所以当t=3,即x=2时,y=x+(x≥2)取得最小值.
故答案为:2.
43.
【分析】根据对数的运算性质把函数的解析式写成分段函数的形式,并判断出单调性,结合已知、可以确定实数的取值范围以及它们之间的关系,根据这个关系可以把代数式写成关于中一个变量的形式,再构造新函数,用单调性的定义判断出新函数的单调性,最后利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为,
因为两段函数均为单调函数,实数满足,且,
所以有;又,所以,于是,则,所以;
令 ,任取,
则,
因为,所以,,
因此,
所以函数在上单调递增;
因此,即.
故答案为:
【点睛】本题考查了利用消元法、构造新函数法求代数式的取值范围问题,考查了对数的运算性质,考查了对数函数的性质,考查了单调性定义的应用,考查了数学运算能力.
44.16
【分析】根据给定条件,利用“1”的妙用求解作答.
【详解】因为,,则
,当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为16.
故答案为:16
45.24
【分析】变形后,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【详解】因为,且,
所以,
所以
,
当且仅当,即,时等号成立,
故答案为:
46./
【分析】令 ,则,由此可将变形为,结合基本不等式,即可求得答案。
【详解】由题意,,,,得:,
设 ,则 ,
故
,
当且仅当 ,即 时取得等号,
故的最小值为,
故答案为:
47.
【分析】“1”的妙用,凑出定值,利用基本不等式求解即可.
【详解】由于都为正数,且.
由
,当且仅当,时,
即时,等号成立.所以有最小值.
故答案为:.
48.
【分析】根据题意,将看作一个整体,变形后结合基本不等式的计算,即可得到结果.
【详解】因为,即,
设,则,且,
原式
,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:4
49.
【分析】法一:利用分离变量法求解参数的范围,、
法二:对二次函数的二次项系数和对称轴进行分类讨论,求带有参数的二次函数的最值,求解变量的范围.
【详解】法一:对勾函数参变分离后结合对勾函数性质
当时,,成立;
当时,由题可得对任意恒成立,
令,则有,,
,
令,,根据对勾函数的性质可得,
所以,
所以当时,,
故实数的取值范围为;
法二:分类讨论
令,
①当时,,
对任意,恒成立;
②当时,函数图象开口向上,
若对任意,恒成立,只需,
解得,
故当时,对任意,恒成立;
③当时,对任意,,,
恒成立;
综上可知,实数的取值范围为.
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