湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.B.C.D.
2．已知为等差数列，，，则等于( )
A.21B.17C.23D.20
3．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有( )
A.6种B.3种C.20种D.12种
4．设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比q等于( )
A.B.C.2D.5
5．学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.要求甲乙同时入选或同时不入选.不同组队形式有________种( )
A.480B.360C.570D.540
6．如图,可导函数在点处的切线为,设,则下列说法正确的是( )
A.,B.,
C.,是的极大值点D.,是的极小值点
7．函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且满足,若不等式在上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．数列,若存在常数,对任意的,恒有,则称数列为数列.记是数列的前n项和,下列说法错误的是( )
A.首项为1,公比为的等比数列是数列
B.存在等差数列和等比数列,使得数列是数列
C.若数列是数列,则数列是数列
D.若数列是数列,则数列是数列
二、多项选择题
9．等差数列的前n项和为,,,则( )
A.B.
C.D.当时,n的最小值为16
10．某中学A,B,C,D,E五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动,每名学生只能选一个社团,则下列结论中正确的是( )
A.所有不同的分派方案共种
B.若甲社团没人选,乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选,则所有不同的分派方案共300种
C.若每个社团至少派1名志愿者,且志愿者A必须到甲社团,则所有不同分派方穼共60种
D.若每个社团至少有1个学生选,且学生A,B不安排到同一社团,则所有不同分派方案共216种
11．已知函数存在两个极值点,,且,.设的零点个数为m,方程的实根个数为n,则( )
A.当时,B.当时,
C.D.
三、填空题
12．关于n的方程的解是_____________.
13．已知函数在处取得极小值,则的值为_____________.
14．已知定义域为R的偶函数满足,且当时,,若将方程实数解的个数记为,则______________.
四、解答题
15．混放在一起的6件不同的产品中,有2件次品,4件正品.现需通过检测将其区分,每次随机抽取一件进行检测,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
(1)一共抽取了4次检测结束,有多少种不同的抽法?
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品,检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
16．在数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
17．已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求实数a的取值集合.
18．已知数列中,,,且对任意正整数n都有.若数列满足：,
(1)求数列和数列的通项公式;
(2)设,若为递增数列,求实数t的取值范围.
19．已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)求函数在上的最小值;
(3)若不等式恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：A选项,,A错误;
B选项,,B错误;
C选项,,C正确;
D选项,,D错误.
故选：C.
2．答案：D
解析：设的公差为d，因为，，
所以，解得，所以，故选：D.
3．答案：A
解析：一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.
要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，
即有种坐法.
故选：A.
4．答案：A
解析：由，，得，
则，
所以，所以.
故选：A.
5．答案：C
解析：甲乙同时入选时,按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解,甲乙同时不入选时,直接从6人中选4人排列即可得.
因此所求方法数为,
故选：C.
6．答案：C
解析：因函数在点处的切线为,
即,则,
于是,,由图知,当时,,此时,
当时,,此时.
对于B项,由上分析,B项显然错误;
对于C,D项,由上分析,当时,单调递增;当时,单调递减,
即当时,取得极大值,且,故C项正确,D项错误;
对于A项,由上分析时,取得极大值,也是最大值,
则有,,故A项错误.
故选：C.
7．答案：B
解析：由,,可设,,
则,即函数在上为减函数,
因,则,由可得,即,
故得,即在上恒成立.
令,,则,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
则时,取得最小值,故,又,故.
故选：B.
8．答案：D
解析：对于A项,设首项为1,公比为的等比数列是,则,
因为,
则,
故该数列是数列,即A项正确;
对于B项,取,,则,,
因,
则
,
故该数列是数列,即B项正确;
对于C项,时,,当时,,
因数列是数列,
则存在常数,满足,
则
,
而是另一个常数,故数列是数列,即C项正确;
对于D项,当,,则,
易得数列是数列,而此时,
于是,而,
具有任意性,故数列不是数列,即D项错误.
故选：D.
9．答案：AD
解析：设等差数列的公差为d,
因为,,所以,
即,,
对于A,,故A正确;
对于B,,,所以,故B错误;
对于C,,,所以,故C错误;
对于D,,
因为,,所以当时,,即当时,n的最小值为16,故D正确.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A,每名学生都有4种安排方案,故共有种不同的分派方案,故A正确;
对于B,先将5个人分成3组,分两类：第一类,一组3人,另2组各一人,有种;
第二类,一组2人,一组2人,一组1人,有种,故共有种分组方法,
再将分好的三组分配到三个社团,共有种分派方案,故B不正确;
对于C,分两类：第一类,甲社团分1人,只能是A,另外4人有种,第二类,甲社团分2人,共有种,
根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案,故C正确;
对于D,若每个社团至少派1名学生,则有种,其中学生A,B安排到同一社团时,有种,
故若每个社团至少派1名学生,且学生A,B不安排到同一社团时,
共有种不同分派方案,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：由题意得,由题意,,为的两根,
由题意或,
选项A,若,则在和上都有,相应均递增,
在上,即递减,从而,
若,则,,因此,不合题意,所以,A正确;
选项B,时,同选项A讨论可得在和上均递减,在上递增,
,又,因此,
以下分类讨论中,可作出的示意图,
若,则,此时有一根,有两根,;
若,则,此时有两根,有两根,;
若,则,此时有三根,有两根,,
均满足,B正确;
选项C,由选项B的讨论知C错误,如,时,;
选项D,在选项B的讨论中知,
下面讨论的情形,单调性由选项A的讨论知悉,,
以下讨论中,作出的示意图,
若,,此时有一根,有两根,;
若,则,此时有一根,有两根,;
若,则,此时有一根,有两根,,
,
综上的值为4,5,6,8,D正确.
故选：ABD.
12．答案：7
解析：因为,,且,
所以,注意到,解得,
故答案为：7.
13．答案：
解析：由求导,,
依题意,,即,解得或.
当,时,,,
,
当时,,在上单调递减,当时,,在单调递增,
即时,函数取得极小值,符合题意,此时;
当,时,,,
因 ,
即函数在上为增函数,无极值,与题意不符,舍去.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意,所以是周期函数,且周期为2,
又,则是偶函数,又也是偶函数,
所以与的图象关于y轴对称,而的定义域为,
故它们的交点个数为偶数,
在时,,,
作出函数与的图象,如图,
因为,所以函数与的图象的右侧有个交点,
所以,
,
故答案为：.
15．答案：(1)96种
(2)120种
解析：(1)有以下两种情况：
4次均为正品,共有种;
前3次抽到2件正品1件次品,且第4次抽到次品,共种;
则共有96种.
(2)由题意知,第二次抽到的必是正品,共抽取4次或5次检测结束,
当抽取4次结束时,第4次抽到的必是次品,共有种抽法;
当抽取5次结束时,若第4次抽到正品且第5次抽到正品,则共有种抽法;
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品,则共有种抽法;
共120种抽法.
16．答案：(1),
(2),
解析：(1)因为数列满足,且,
当时,可得,
即,
当时,适合上式,
所以数列的通项公式为,,
(2)由于,且,,
则,
即,
设,
则,
两式相减得：,
所以,
所以,.
17．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)由题意得：的定义域为,,
当时,,则单调递减区间为,无单调递增区间;
当时,令,解得：;
当时,;当时,;
的单调递减区间为;单调递增区间为;
综上所述：时,则的单调递减区间为,无单调递增区间;
时,的单调递减区间为;单调递增区间为.
(2)当时,,不合题意;
当时,由（1）知;则;
令,则,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
,
实数a的取值集合为.
18．答案：(1),
(2)
解析：(1)根据已知,,则,且,
则数列为首项为2,公差为2的等差数列,故.
由,得,
两式相减有： ,,
当时,,也符合上式,;
(2)由（1）知,又为递增数列,
所以
整理得
当n为偶数时,,而,所以.
当n为奇数时,,所以
综上所述,t的取值范围是.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因为,所以,
由,得,所以;由,得,所以,
所以函数在上单调递减,在单调递增,
故在处取得极小值,也是最小值,
所以的最小值为,无最大值.
(2)由（1）知,函数在上单调递减,在单调递增,
当,即时,在单调递减,
;
当时,即在单调递减,单调递增,
.
当时,在单调递增,
;
综上所述;
(3)恒成立,即恒成立,
令,则,
令,则,
所以在上单调递减,
又,,所以在上存在唯一的使,
当时,单调递增,当时,单调递减.
故的最大值为,
又,故,
两边取对数得,
又在定义域内单调递增,所以,故,
所以,
所以.