辽宁省七校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省七校2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．等差数列的前n项和为.若,,( )
A.12B.10C.8D.6
2．如图是变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则( )
A.B.C.D.
3．下列求导运算中错误的是( )
A.B.
C.D.
4．下列说法正确的是( )
A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17
B.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到,根据小概率值的独立性检验,可判断X与Y有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05
C. “事件A,B互斥”是“事件A,B对立”的充分不必要条件
D.若随机变量,满足,则
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有这样一个相关的问题:被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.60B.61C.75D.76
6．若点P是曲线上任意一点,则点P到直线的最小距离为( )
A.1B.C.D.
7．下列说法错误的是( )
A.若随机变量，则
B.若随机变量Y服从两点分布，且，则
C.若随机变量Z的分布列为，，0，1，2，则
D.若随机变量，则的分布列中最大的只有
8．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是( )
A.B.是偶数
C.D.
二、多项选择题
9．已知数列的前项和是,则下列说法正确的是( )
A.若,则是等差数列
B.若,,则是等比数列
C.若是等差数列,则,,成等差数列
D.若是等比数列,则,,成等比数列
10．一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件.则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.事件B与事件相互独立D.，，是两两互斥的事件
11．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,且满足条件,,,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.是数列中的最大项D.
三、填空题
12．已知等比数列中,,,则__________.
13．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则__________.
14．已知件次品和件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为_________________.（用数字作答）.
四、解答题
15．记为等差数列的前n项和,已知.
(1)求的通项公式；
(2)记,求数列的前n项和.
16．已知函数(a，)的图象过点，且.
（1）求a，b的值;
（2）求曲线过点的切线方程.
17．某企业响应国家“强芯固基”号召,为汇聚科研力量,准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响,对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下：
（1）求y关于x的线性回归方程;
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1,则称对应的年份为“优”,从上面的7个年份中任意取3个,记X表示这三个年份为“优”的个数,求X的分布列及数学期望．
参考数据：,,．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
,．
18．网络是第五代移动通信网络的简称,是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来,我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度,从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查,并将这人根据其满意度得分分成以下6组：、、、…、,统计结果如图所示：
(1)由直方图可认为A市市民对网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本的标准差,并已求得.若A市恰有2万名手机用户,试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
(2)该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动,每人最多有轮抽奖活动,每一轮抽奖相互独立,中奖率均为.每一轮抽奖,若中奖,奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖,则抽奖活动结束,现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量服从正态分布,即,则,.
19．设数列的前n项和为,,,数列满足：对于任意的,都有成立.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设数列,问：数列中是否存在三项,使得它们构成等差数列？若存在,求出这三项；若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：观察题中散点图可知，变量x和y呈正相关，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近1.所以.
3．答案：C
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：B
解析：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8,公差为15的等差数列,
所以,
,
当且仅当,即时取等号,
当时取最小值为61.
故选:B.
6．答案：D
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：由已知得数列满足递推关系.
选项A：，A错误；
选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，不能被3整除，且为奇数，所以也为奇数，故B错误；
选项C：若选项C正确，又，则，
同理，，依次类推，可得，显然错误，故C错误；
选项D：，
所以，故D正确.故选：D.
9．答案：BC
解析：
10．答案：ABD
解析：因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，
则，，，
乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品，
则，，
则，故A，B正确；
因为，
又，，
则，则两事件不相互独立，
故C错误；
根据互斥事件的定义可知，，，是两两互斥的事件，
故D正确，
故选：ABD.
11．答案：AB
解析：
12．答案：6
解析：
13．答案：-2
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设数列的公差为d,由,
得,解得,
；
(2)由（1）知,,,
,
.
16．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为函数的图象过点，所以①.
又，，所以②，
由①②解得，.
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，
又切线过点，所以，解得，
所以切点为，切线方程为.
故曲线过点的切线方程为.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）依题意,,
,
,
,
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由题意,7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个,
所以X的可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
X的分布列如下：
所以X的期望是.
18．答案：(1)16372
(2)（ⅰ）（ⅱ）
解析：(1)由题意知样本平均数为,,
,所以,,
而,
故2万名手机用户中满意度得分位于区间的人数
约为（人）；
(2)（ⅰ）小王获得元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖,故所求的概率为；
（ⅱ）由题意可知X的可能取值有0、100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000,即,,,
当,时,,说明小王前i轮连续中奖且第轮未中奖,此时,
又满足,
所以, ,
所以,
令,则,
上述两个等式相减得,
化简得,所以,（元）.
19．答案：(1),
(2),
(3)见解析
解析：(1)由,①
得,②
由①-②得,即,
对①取得,,所以,所以为常数,
所以为等比数列,首项为1,公比为,
即,；
(2)由,可得对于任意有
,③
则, ④
则, ⑤
由③-⑤得,
对③取得,也适合上式,
因此,；
(3)由（1）（2）可知,
则,
所以当时,,即,
当时,,即在且上单调递减,
故,
假设存在三项,,成等差数列,其中,
由于,可不妨设,则（*）,
即,
因为且,则且,
由数列的单调性可知,,即,
因为,所以,
即,化简得,
又且,所以或,
当时,,即,由时,,此时,,不构成等差数列,不合题意,
当时,由题意或,即,又,代入（*）式得,
因为数列在且上单调递减,且,,所以,
综上所述,数列中存在三项,,或,,构成等差数列.
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入额
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加额
7．30
X
0
1
2
3
P