陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6B.8C.10D.12
3．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个红球，至少有一个白球
B.恰有一个红球，都是白球
C.至少有一个红球，都是白球
D.至多有一个红球，都是红球
4．已知向量与的夹角为，且，，则等于( )
A.B.C.D.
5．一样本的频率分布直方图如图所示，样本数据共分3组，分别为，，.估计样本数据的第60百分位数是( )
A.14B.15C.16D.17
6．如图，已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A.3B.C.D.12
8．已知菱形的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数的模等于2，则实数m的值可以为（）
A.1B.2C.3D.4
10．如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（）
A.直线与是相交直线B.直线与是平行直线
C.直线与是异面直线D.直线与是异面直线
11．已知A，B为两个随机事件，且，，则（）
A.
B.若A，B为互斥事件，则
C.若，则A，B为相互独立事件
D.若A，B为相互独立事件，则
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c下列结论正确的是（）
A.若，则为锐角三角形
B.若，则
C.若,，三角形面积，则
D.若，则为等腰三角形
三、填空题
13．若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则0，1，2，3，4，a，b的方差是________.
14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.
15．在边长为1的正方形中，M为的中点，点E在线段上运动，则的取值范围是________.
16．如图所示，该几何体可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为________.
四、解答题
17．已知，，，.
（1）求实数n的值；
（2）若，求实数m的值.
18．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，F为AE的中点.
(1)求证：平面BDF；
(2)求三棱锥的体积.
19．为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
(1)完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
(2)估计该单位员工的月平均工资；
(3)若从月工资在和内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知,.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
21．如图1，平面四边形中，，，，E为的中点，将沿对角线折起，使，连接，得到如图2所示的三棱锥
（1）证明：平面平面；
（2）已知直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：，，故选C.
2．答案：B
解析：根据题意，由分层抽样知识可得：在高二年级的学生中应抽取的人数为：，
故选B.
3．答案：B
解析：由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球.
易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；
而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立.
故选B.
4．答案：C
解析：由得，，
所以，.
故选C
5．答案：A
解析：由题图知，数据落在区间上的频率为，数据落在区间上的频率为，所以第60百分位数是.
故选：A
6．答案：D
解析：如图，取的中点D，连接、，易知，
所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即，
因为直三棱柱的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为2，则，，，
则在中，由余弦定理可得：
即异面直线与所成角的余弦值为：.
故选：D.
7．答案：C
解析：因为，所以由正弦定理得,
因此，，，，选C.
8．答案：D
解析：由题意可得：，均为边长为2的等边三角形，，为全等的等腰三角形，
则三棱锥的表面积
，
当且仅当，即时，三棱锥的表面积取最大值，
此时，为直角三角形，，
取的中点O，连接，，由直角三角形的性质可得：，
即三棱锥的外接球的球心为O，半径为，故外接球体积为.
故选：D.
9．答案：AC
解析：依题意可得，
解得m＝1或m＝3.
故选：AC
10．答案：CD
解析：对于A，因为点A在平面外，点M在平面内，直线在平面内，不过点M，所以与是异面直线，故A错误；
对于B，若直线与平行，则MN与AB共面，又平面，所以直线与不平行，故B错误；
对于C，因为与都在平面内，M在平面外，不过点B，N，所以与是异面直线，故C正确；
对于D，因为M与都在平面内，A在平面外，不过点M，所以与是异面直线，故D正确.
故选：CD.
11．答案：BCD
解析：若A,B为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；
若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；
若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又,，
而
，
故，D正确.
故选：BCD
12．答案：BC
解析：对于A，由余弦定理得所以A为锐角，但是角B，C的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确；
对于B，在中，，则，由正弦定理得，，
即，故B正确；
对于C，由，，，得，解得，由余弦定理得，所以，故C正确；
对于D，由及正弦定理，得，即，
因为，，，，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确.
故选：BC.
13．答案：4
解析：由题意，，解得，
所以0，1，2，3，4，5，6的平均数为，
所以方差.
故答案为：4.
14．答案：.
解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，
所以所求的概率为.
15．答案：
解析：以A为坐标原点,以、所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系如图示：
设，且，为边长为1正方形，,,,
，，的取值范围是
故答案为：
16．答案：
解析：由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为，
设截面圆的半径为r，球的半径为R，则，可得，所以，，
因此，该球的表面积为.
故答案为：.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1），，，
（2）由（1）得
，，
所以，
18．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）连接AC交BD于O，连接FO，
因为F为AE的中点，又O为AC的中点，
则FO是的中位线，所，
又因为面，且平面，
所以平面.
（2）在正方体中，棱长为4，，，，
则
.
所以三棱锥E-BDF的体积为.
19．答案：(1)答案见解析；
(2)4300元；
(3).
解析：（1）先求出各组的频率（从左到右）分别为：，，，，，，
再根据各组长方形面积为频率，组距为10,求出各组高（从左到右）分别为：，，，，，.
画出月工资频率分布直方图如图所示：
（2），即该单位员工月平均工资估计为4300元.
（3）由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为a，b，c，d，；月工资在组的女员工有2人，分别记为x，y.现从这6人中随机选取2人，样本空间
，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件A，
则，共8个样本点，
故所求概率.
20．答案：(1)；
(2)22.
解析：（1）由于，，则.因为，
由正弦定理知，则.
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积.
21．答案：（1）见解析；
（2）
解析：（1）证明：在三棱锥中，
因为，，，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，E为中点，
所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知即为直线与平面所成的角，
所以，
故；
由（1）知平面，
过E作于H，连接，
由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角.
由，得，
即
得，
所以，
故，
所以二面角的余弦值为.
月工资百元
男员工数
1
8
10
6
4
4
女员工数
4
2
5
4
1
1