[数学]山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中质量监测试题(解析版)

这是一份[数学]山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中质量监测试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. 16D. -16
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以.
故选：B
2. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）
A. 正方形的边长与对角线长B. 球的体积与表面积
C. 一个人的身高与学习成绩D. 平均学习时间与学习成绩
【答案】D
【解析】选项AB中两个变量间是一种函数关系，选项C中两个变量之间没有什么关系，
选项D中，学习成绩与平均学习时间有关，但不仅与时间有关，
还与其他变量有关如学习时专注性，个人的学习习惯等有关，因此D是相关关系．
故选：D．
3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 54B. 63C. 72D. 135
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，，为等差数列，
即成等差数列，
所以，解得.
故选：B
4. 下列函数的导数运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，
故D正确.
故选：D
5. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ）
附:，
A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【答案】A
【解析】依题意可得列联表如下：
所以，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，
又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：A
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地."则该人第一天走的路程为（ ）
A. 120里B. 148里C. 96里D. 192里
【答案】D
【解析】由题意得，该人每天所走路程构成以为公比的等比数列，
令该数列为，其前项和为，
则有，解得，
故该人第一天走的路程为192里.
故选：D.
7. 某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为，
因此，即，
所以.
故选：A
8. 对于定义域为的可导函数，若满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为对于上可导的函数，，
所以有或，
即当时，为不减函数，当时，为不增函数，
所以，，
所以.
故选：C.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是函数的导函数的图象，则（ ）
A. 在上是增函数B. 在上是减函数
C. 在上是增函数D. 在上是减函数
【答案】BCD
【解析】由图可知当时，当时，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
故选：BCD
10. 设是变量和的个样本点，由这些样本点通过最小二乘法得到线性回归直线方程，下列结论正确的是（ ）
A. 与正相关的充要条件是
B. 直线过点
C. 与之间的相关系数为
D. 当增大一个单位时，增大个单位
【答案】ABD
【解析】依题意与正相关的充要条件是，故A正确；
根据回归直线的性质可知直线必过点，故B正确；
因为与之间的相关系数，
而，故C错误；
因为，所以当增大一个单位时，增大个单位，故D正确.
故选：ABD
11. 已知数列满足，则（ ）
A. 若，则数列为常数列
B 若，则对任意，有
C. 若，则对任意，有
D. 若，则对任意
【答案】ABD
【解析】对于A，若，则，，
以此类推可知：，所以数列常数列，故A正确；
对于B，若，，，
以此类推可知：，
，
则，即，故B正确；
对于C，由结合选项B得出，
，所以，故C错误；
对于D，若，；
，
假设，
构造函数，易知在上单调递增，
所以，
由以上归纳得出，故D正确.故选：ABD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则___________.
【答案】
【解析】因为且，
所以，
所以.
故答案为：
13. 设函数，若函数在上是增函数，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为函数在上是增函数，
所以在上恒成立，
当时，在上恒成立，故符合题意；
当时，所以在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
综上，的取值范围是.
故答案为：
14. 某学校数学实践小组为该校一块长方形空地设计种树方案，在坐标纸上设计如下:第棵树种在点处，其中，当时，，[]表示不大于x的最大整数，按此设计方案，第3株树种植点的坐标为___________;第2025棵树种植点的坐标为____________.
【答案】① ②
【解析】，，，，，
，
故，
，，，，
，
累加得，，
故，
当时，，
第3棵树种植点的坐标应为；
当时，，
第 2018 棵树种植点的坐标应为．
故答案为：；
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
解：（1）当时，
则，所以，
因为，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，函数上单调递增；
当时，则当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
16. 已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由;
（2）记数列的前项和为，若，求.
解：（1）当时，，
当时，有，
又因为，
所以当时，也成立，
因此数列的通项公式为，
数列是等差数列，理由如下：
因为，
所以数列是等差数列；
（2）令，
解得且，
当时，，
可得；
所以，
又因，所以，
当时，，
可得
，
令，
解得或（舍去），
所以.
17. 现从某学校高三年级男生中随机抽取50名男生测量身高，测量发现被测学生的身高全部介于到之间，将测量结果按如下方式分成6组:第1组，第2组，第6组[180，184].如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）试估计该校高三年级男生的平均身高（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）求这50名男生身高在以上（含）的人数；
（3）从这50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，将这2人中身高在（含以上的人数记为，求的分布列及数学期望.
解：（1）由频率分布直方图，可得平均数为，
所以估计该校高三年级男生的平均身高为．
（2）由频率分布直方图知，后组频率为，
又，即这名男生身高在以上（含）的人数为．
（3）由以上知这名身高在以上（含）的有人，以上的有人．
所以随机变量的取值为，，，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
18. 在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.
（1）求的值;
（2）求数列的通项公式:
（3）求数列的前项和.
解：（1），，，
因为成公比不为1的等比数列，
所以，解得或.
当时，，不符合题意舍去，
故.
（2）当时，由于，
所以，
又，故.
当时，满足上式，
所以.
（3）因为，
所以，
，
两式相减得
即.
19. 信息熵是信息论之父香农（Shannn）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.
（1）当时，计算；
（2）当时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
（3）若，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.
解：（1）当时，则，，
所以．
（2）当时，，，
所以.
令，，
则，
所以当时，
当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，取得最大值 .
（3）若，随机变量所有可能的取值为1，2，，，
且．
所以
，
所以，
因为，故，
故，
由于，
所以，
所以，
所以，
所以 .
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合计
篮球迷
30
15
45
非篮球迷
45
10
55
合计
75
25
100