2024长沙平高教育集团六校高二下学期期末联考数学试卷含解析

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命题单位：平高教育集团教育科学研究院 命题人：蔡佳峰
审题单位：平高教育集团教育科学研究院 审题人：谭志伸
考试时间：2024年6月27日上午7：50-9：50
本试题卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，且，则实数（ ）
A. B. C. 3D.
3. “”是“直线与直线平行”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
6. 已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
7. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 60种B. 74种C. 88种D. 120种
8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于随机变量，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 的最小正周期为
C. 的最小值为D. 在上单调递增
11. 已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 设，，则的最小值为12.5
C. 若对任意恒成立，则
D. 设，若数列的前n项和为，则
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 若复数满足，为虚数单位，则__________.
13. 若椭圆的离心率为，则______.
14. 已知曲线恒过点，且在抛物线上．若是上的一点，点，则点到的焦点与到点的距离之和的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为为锐角，且．
（1）求角的大小；
（2）若面积为，，求的值．
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1正方形，，、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的大小.
17. 双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.
18. 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
19. 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为.
（1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望；
（2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求.