2025年高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质【课件】，共60页。PPT课件主要包含了PART1，知识体系构建，PART2，考点分类突破，PART3，PART4，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

1. 了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归 纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2024. 能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
微专题10 几何法求空间角与距离
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 已知直线 l 1⊥平面α，直线 l 2⊂平面α，则 l 1与 l 2的位置关系一定成 立的是（　　）
解析：　根据线面垂直的性质，则 l 1⊥ l 2，故选B.
2. 如图，正方形 SG 1 G 2 G 3中， E ， F 分别是 G 1 G 2， G 2 G 3的中点， D 是 EF 的中点，现在沿 SE ， SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面 体，使 G 1， G 2， G 3三点重合，重合后的点记为 G ，则在四面体 S - EFG 中必有（　　）
解析：　四面体 S - EFG 如图所示，由 SG ⊥ GE ， SG ⊥ GF ，且 GE ∩ GF ＝ G 得 SG ⊥△ EFG 所在的平面.故选A.
3. 已知 AB 是圆柱上底面的一条直径， C 是上底面圆周上异于 A ， B 的 一点， D 为下底面圆周上一点，且 AD ⊥圆柱的底面，则必有（　）
解析：　因为 AB 是圆柱上底面的一条直径，所以 AC ⊥ BC ，又 AD 垂直于圆柱的底面，所以 AD ⊥ BC ，因为 AC ∩ AD ＝ A ，所以 BC ⊥平面 ACD . 由于 BC ⊂平面 BCD . 所以平面 BCD ⊥平面 ACD .
5. 正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为 ⁠.
1. 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这 个平面.2. 垂直于同一条直线的两个平面平行.3. 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也 垂直.4. 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个 平面.
5. 三垂线定理：若 PO ⊥α， PC 在平面α内的射影为 CO ， l ⊂α， l ⊥ CO ，则 l ⊥ PC .
6. 三垂线定理的逆定理：若 PO ⊥α， PC 在平面α内的射影为 CO ， l ⊂α， l ⊥ PC ，则 l ⊥ CO .
1. 已知 m 和 n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给 出的条件中一定能推出 m ⊥β的是（　　）
解析：　由结论1可知C正确.
2. （多选）下列命题为真命题的是（　　）
解析：　对于A，两个相交平面有一条交线，交线有无数个公 共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B，由结论3可知正 确；对于C，由结论2可知正确；对于D，由结论4可知正确，故选 B、C、D.
3. （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）如图，在正方体中， O 为底面的 中心， P 为所在棱的中点， M ， N 为正方体的顶点.则满足 MN ⊥ OP 的是（　　）
解析：　由结论5易知B、C正确.
精选考点 典例研析 技法重悟通
【例1】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD ，∠ ABC ＝60°， PA ＝ AB ＝ BC ， E 是 PC 的 中点.证明：
（1） CD ⊥ AE ；
证明：在四棱锥 P - ABCD 中，∵ PA ⊥底面 ABCD ， CD ⊂平面 ABCD ，∴ PA ⊥ CD ，又∵ AC ⊥ CD ，且 PA ∩ AC ＝ A ，∴ CD ⊥平面 PAC . 又 AE ⊂平面 PAC ，∴ CD ⊥ AE .
（2） PD ⊥平面 ABE .
证明：由 PA ＝ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝60°，可得 AC ＝ PA . ∵ E 是 PC 的中点，∴ AE ⊥ PC . 由（1）知 AE ⊥ CD ，且 PC ∩ CD ＝ C ，∴ AE ⊥平面 PCD . 又 PD ⊂平面 PCD ，∴ AE ⊥ PD . ∵ PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊂平面 ABCD ，∴ PA ⊥ AB . 又∵ AB ⊥ AD ，且 PA ∩ AD ＝ A ，∴ AB ⊥平面 PAD ，又 PD ⊂平面 PAD ，∴ AB ⊥ PD . 又∵ AB ∩ AE ＝ A ，∴ PD ⊥平面 ABE .
解题技法1. 证明直线和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直线垂直于平面的传递性（ a ∥ b ， a ⊥α⇒ b ⊥α）；（3）面面平行的性质（ a ⊥α，α∥β⇒ a ⊥β）； （4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝ a ， l ⊥ a ， l ⊂β⇒ l ⊥α）.2. 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线 面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂 直的基本思路.
　在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，点 E ， F 分别在 A 1 D ， AC 上， EF ⊥ A 1 D ， EF ⊥ AC ，求证： EF ∥ BD 1.
证明：如图所示，连接 A 1 C 1， C 1 D ， B 1 D 1， BD . ∵ AC ∥ A 1 C 1， EF ⊥ AC ，∴ EF ⊥ A 1 C 1.又 EF ⊥ A 1 D ， A 1 D ∩ A 1 C 1＝ A 1，
∴ EF ⊥平面 A 1 C 1 D ，　①∵ BB 1⊥平面 A 1 B 1 C 1 D 1， A 1 C 1⊂平面 A 1 B 1 C 1 D 1， ∴ BB 1⊥ A 1 C 1.
∵四边形 A 1 B 1 C 1 D 1为正方形，∴ A 1 C 1⊥ B 1 D 1，又 B 1 D 1∩ BB 1＝ B 1，∴ A 1 C 1⊥平面 BB 1 D 1 D ，而 BD 1⊂平面 BB 1 D 1 D ，∴ A 1 C 1⊥ BD 1.同理 DC 1⊥ BD 1.又 DC 1∩ A 1 C 1＝ C 1，∴ BD 1⊥平面 A 1 C 1 D ，　②
由①②可知 EF ∥ BD 1.
平面与平面垂直的判定与性质
【例2】　（2024·全国甲卷18题）如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， A 1 C ⊥平面 ABC ，∠ ACB ＝90°.
（1）证明：平面 ACC 1 A 1⊥平面 BB 1 C 1 C ；
解：证明：因为 A 1 C ⊥平面 ABC ， BC ⊂平面 ABC ，所以 A 1 C ⊥ BC . 因为∠ ACB ＝90°，所以 AC ⊥ BC . 因为 AC ∩ A 1 C ＝ C ， AC ， A 1 C ⊂平面 ACC 1 A 1，所以 BC ⊥平面 ACC 1 A 1.因为 BC ⊂平面 BB 1 C 1 C ，所以平面 ACC 1 A 1⊥平面 BB 1 C 1 C .
（2）设 AB ＝ A 1 B ， AA 1＝2，求四棱锥 A 1- BB 1 C 1 C 的高.
解：如图，取棱 AA 1的中点 D ，连接 BD ， CD . 因为 AB ＝ A 1 B ，所以 AA 1⊥ BD . 因为 BC ⊥平面 ACC 1 A 1， AA 1⊂平面 ACC 1 A 1，所以 BC ⊥ AA 1.因为 BC ∩ BD ＝ B ， BC ， BD ⊂平面 BCD ，所以 AA 1⊥平面 BCD . 因为 CD ⊂平面 BCD ，所以 AA 1⊥ CD . 因为 AA 1∥ CC 1，所以 CD ⊥ CC 1.
又因为 CD ⊥ BC ， BC ∩ CC 1＝ C ， BC ， CC 1⊂平 面 BB 1 C 1 C ，所以 CD ⊥平面 BB 1 C 1 C . 因为 AA 1＝2，所以 CD ＝1.易知 AA 1∥平面 BB 1 C 1 C ，所以四棱锥 A 1- BB 1 C 1 C 的高为 CD ＝1.
解题技法1. 判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（ a ⊥β， a ⊂α⇒α⊥β）.2. 已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作 交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
　（2024·全国乙卷18题）如图，四面体 ABCD 中， AD ⊥ CD ， AD ＝ CD ，∠ ADB ＝∠ BDC ， E 为 AC 的中点.
（1）证明：平面 BED ⊥平面 ACD ；
解：证明：因为 AD ＝ CD ，∠ ADB ＝∠ BDC ， DB ＝ DB ，所以△ ADB ≌△ CDB ，所以 BA ＝ BC ，又 E 为 AC 的中点，所以 AC ⊥ BE ， AC ⊥DE ，因为 BE ∩ DE ＝ E ，且 BE ， DE ⊂平面BED ，所以 AC ⊥平面 BED ，又 AC ⊂平面 ACD ，所以平面 BED ⊥平面 ACD .
（2）设 AB ＝ BD ＝2，∠ ACB ＝60°，点 F 在 BD 上，当△ AFC 的面积 最小时，求三棱锥 F - ABC 的体积.
法一　因为 DE ⊥ AC ， DE ⊥ BE ， AC ∩ BE ＝ E ，所以 DE ⊥平面 ABC ，
法二　由（1）知 BD ⊥ AC ，又 BD ⊥ EF ，所以 BD ⊥平面 ACF ，
所以 BF 即为 B 到平面 ACF 的距离，
考向1　平行与垂直关系的证明
【例3】　在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AB ⊥ AC ， B 1 C ⊥平面 ABC ， E ， F 分别是 AC ， B 1 C 的中点.
（1）求证： EF ∥平面 AB 1 C 1；
证明：因为 E ， F 分别是 AC ， B 1 C 的中点，所以 EF ∥ AB 1.又 EF ⊄平面 AB 1 C 1， AB 1⊂平面 AB 1 C 1，所以 EF ∥平面 AB 1 C 1.
（2）求证：平面 AB 1 C ⊥平面 ABB 1.
证明：因为 B 1 C ⊥平面 ABC ， AB ⊂平面 ABC ，所以 B 1 C ⊥ AB . 又 AB ⊥ AC ， B 1 C ⊂平面 AB 1 C ， AC ⊂平面 AB 1C ， B 1 C ∩ AC ＝ C ，所以 AB ⊥平面 AB 1 C ，又因为 AB ⊂平面 ABB 1，所以平面 AB 1 C ⊥平面 ABB 1.
解题技法1. 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂 直间的转化.2. 垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的 综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作 交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
考向2　平行、垂直关系与几何体的度量【例4】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，△ PCD 为等边三角形，平面 PAC ⊥平面 PCD ， PA ⊥ CD ， CD ＝2， AD ＝3.
（1）设 G ， H 分别为 PB ， AC 的中点，求证： GH ∥平面 PAD ；
解：证明：连接 BD ，易知 AC ∩ BD ＝ H ， BH ＝ DH . 又由 BG ＝ PG ，故 GH 为△ PBD 的中位线，所以 GH ∥ PD . 又因为 GH ⊄平面 PAD ， PD ⊂平面 PAD ，所 以 GH ∥平面 PAD .
（2）求证： PA ⊥平面 PCD ；
解：证明：取棱 PC 的中点 N ，连接 DN . 依题意，得 DN ⊥ PC . 因为平面 PAC ⊥平面 PCD ，平面 PAC ∩平面 PCD ＝ PC ， DN ⊂平面 PCD ，所以 DN ⊥平面 PAC . 又 PA ⊂平面 PAC ，所以 DN ⊥ PA . 又已知 PA ⊥ CD ， CD ∩ DN ＝ D ，所以 PA ⊥平面 PCD .
（3）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.
解题技法1. 平行、垂直关系应用广泛，不仅可以判断空间线面、面面位置关 系，而且常用于求空间角和空间距离、体积.2. 综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影， 其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.
　（2024·全国甲卷19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个 封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面 ABCD 是边长为8（单位：cm） 的正方形，△ EAB ，△ FBC ，△ GCD ，△ HDA 均为正三角形，且它们 所在的平面都与平面 ABCD 垂直.
（1）证明： EF ∥平面 ABCD ；
解：证明：如图，分别取 AB ， BC 的 中点 M ， N ，连接 EM ， FN ， MN ，∵△ EAB 与△ FBC 均为正三角形，且边长均为8，∴ EM ⊥ AB ， FN ⊥ BC ，且 EM ＝ FN . 又平面 EAB 与平面 FBC 均垂直于平面 ABCD ，
平面 EAB ∩平面 ABCD ＝ AB ，平面 FBC ∩平面 ABCD ＝ BC ， EM ⊂平面 EAB ， FN ⊂平面 FBC ，∴ EM ⊥平面 ABCD ， FN ⊥平面 ABCD ，∴ EM ∥ FN ，∴四边形 EMNF 为平行四边形，∴ EF ∥ MN . 又 MN ⊂平面 ABCD ， EF ⊄平面 ABCD ，∴ EF ∥平面 ABCD .
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.
　　几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化 为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、 角问题.
【例1】　（1）在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ AA 1， D ， E 分别为 AC ， BC 的中点，则异面直线 C 1 D 与 B 1 E 所成角 的余弦值为（　　）
（2）如图，已知正四棱锥 P - ABCD 底面边长为2，侧棱长为4， M 为侧棱 PC 的中点，则直线 BM 与底面 ABCD 所成角的正弦值为（　　）
点评　几何法求空间角主要分为3个步骤：①作（找）角；②证 明这个角就是要求的角；③计算.其中作（找）角是关键，对于 异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直 线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般 是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线 在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所 求角的平面角；对于平面与平面所成的角（二面角），一般可 通过定义法、垂面法、垂线法等得到所求角的平面角.
1. 在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点 D 是 BC 1与 B 1 C 的交点，则 AD 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的正弦值是（　　）
2. 在正四棱锥 P - ABCD 中， M 为棱 AB 上的点，且 PA ＝ AB ＝2 AM ， 设平面 PAD 与平面 PMC 的交线为 l ，则异面直线 l 与 BC 所成角的正 切值为 ⁠.
二、几何法求距离【例2】　（1）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PB ⊥平面 ABCD ， PB ＝ AB ＝2 BC ＝4， AB ⊥ BC ，则点 C 到直线 PA 的距离为（　　）
（2）如图所示，在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AD ＝ AA 1＝2， AB ＝4，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD 1的距离为（　　）
点评　（1）求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角 形求解，或利用等面积法求解；（2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积 法求解.
1. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 P - ABCD 中，侧棱 PA ⊥底面 ABCD ，∠ ABC ＝90°， PA ＝ AB ＝ BC ＝2， AD ∥ BC ，则 AD 到平 面 PBC 的距离为 ⁠.
2. 如图，在直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AB ＝4， AC ＝ BC ＝3， D 为 AB 的中点.
（1）求点 C 到平面 A 1 ABB 1的距离；
（2）若 AB 1⊥ A 1 C ，求二面角 A 1- CD - C 1的余弦值.
解：如图，取线段 A 1 B 1的中点 D 1，连接 DD 1，则 DD 1∥ AA 1∥ CC 1.又由（1）知 CD ⊥平面 A 1 ABB 1，故 CD ⊥ A 1 D ， CD ⊥ DD 1，所以∠ A 1 DD 1为所求的二面角 A 1- CD - C 1的平面角.
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1. 已知平面α，直线 m ， n ，若 n ⊂α，则“ m ⊥ n ”是“ m ⊥α”的 （　　）
解析：　由 n ⊂α， m ⊥ n ，不一定得到 m ⊥α；反之，由 n ⊂α， m ⊥α，可得 m ⊥ n .∴若 n ⊂α，则“ m ⊥ n ”是“ m ⊥α”的必要不充 分条件.
2. 如图，在斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中，∠ BAC ＝90°， BC 1⊥ AC ，则 C 1在底面 ABC 上的射影 H 必在（　　）
解析：　连接 AC 1（图略），由 AC ⊥ AB ， AC ⊥ BC 1， AB ∩ BC 1＝ B ，得 AC ⊥平面 ABC 1.∵ AC ⊂平面 ABC ，∴平面 ABC 1⊥平面 ABC ，∴ C 1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上.
3. （2024·九省联考）设α，β是两个平面， m ， l 是两条直线，则下列 命题为真命题的是（　　）
解析：　如图，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， 对于A：设平面α为平面 ABCD ，平面β为平面 ADD 1 A 1， m ＝ B 1 C 1， l ＝ BC ， m ∥α， l ∥β，α⊥β， 但 m ∥ l ，故A错；对于B： m ＝ BC ，平面α为平面 ABCD ， l ＝ AD ，平面β为平面 ADD 1 A 1，此时 m ⊂α， l ⊂β， m ∥ l ，但α与β不平行，B错；对于D：平面α为平面 ABCD ，平面β为平面 A 1 B 1 C 1 D 1， m ＝ AA 1， l ＝ BB 1，此时 m ⊥α， l ⊥β， m ∥l ，但α与β平行不垂直，D错.
4. 如图，设平面α∩平面β＝ PQ ， EG ⊥平面α， FH ⊥平面α，垂足分 别为 G ， H . 为使 PQ ⊥ GH ，则需增加的一个条件是（　　）
解析：　因为 EG ⊥平面α， PQ ⊂平面α，所以 EG ⊥ PQ . 若 EF ⊥ 平面β，则由 PQ ⊂平面β，得 EF ⊥ PQ . 又 EG 与 EF 为相交直线，所 以 PQ ⊥平面 EFHG ，所以 PQ ⊥ GH .
5. （多选）如图，在三棱锥 V - ABC 中， VO ⊥平面 ABC ， O ∈ CD ， VA ＝ VB ， AD ＝ BD ，则下列结论中一定成立的是（　　）
6. （多选）如图，在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AA 1＝ AB ＝4， BC ＝2， M ， N 分别为棱 C 1 D 1， CC 1的中点，则（　　）
解析：　如图所示，对于A中，直线 AM ， BN 是 异面直线，故 A ， M ， N ， B 四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，可得 AD ⊥平面 CDD 1 C 1，所以平面 ADM ⊥平面 CDD 1 C 1， 故B正确；对于C中，取 CD 的中点 O ，连接 BO ， ON ，则 B 1 M ∥ BO ，所以直线 BN 与 B 1 M 所成的角为∠ NBO （或 其补角）.易知△ BON 为等边三角形，所以∠ NBO ＝60°，故C正确；对于D中，因为 BN ∥平面 AA 1 D 1 D ，显然 BN 与平面 ADM 不平行，故D错误.
8. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， E ， F 分别为 AD ， PB 的中点.（1）求证： PE ⊥ BC ；
证明：因为 PA ＝ PD ， E 为 AD 的中点，所以 PE ⊥ AD . 因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC ∥ AD ，所以 PE ⊥ BC .
（2）求证：平面 PAB ⊥平面 PCD ；
证明：因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB⊥ AD . 又因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， AB ⊂平面 ABCD ，所以 AB ⊥平面 PAD ，因为 PD ⊂平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD . 又因为 PA ⊥ PD ， AB ∩ PA ＝ A ，所以 PD ⊥平面 PAB . 因为 PD ⊂平面 PCD ，所以平面 PAB ⊥平面 PCD .
（3）求证： EF ∥平面 PCD .
9. 在空间四边形 ABCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ，且 DA ⊥平面 ABC ，则△ ABC 的形状是（　　）
解析：　作 AE ⊥ BD ，交 BD 于 E ，∵平面 ABD ⊥平面 BCD ，∴ AE ⊥平面 BCD ， BC ⊂平面 BCD ，∴ AE ⊥ BC ，而 DA ⊥平面 ABC ， BC ⊂平面 ABC ，∴ DA ⊥ BC ，又∵ AE ∩ AD ＝ A ，∴ BC ⊥平面 ABD ，而 AB ⊂平面 ABD ，∴ BC ⊥ AB ，即△ ABC 为直角三角形.
10. （2024·全国乙卷7题）在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， E ， F 分别 为 AB ， BC 的中点，则（　　）
解析：　如图，对于选项A，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，因为 E ， F 分别为 AB ， BC 的中 点，所以 EF ∥ AC ，又 AC ⊥ BD ，所以 EF ⊥ BD ，又易知 DD 1⊥ EF ， BD ∩ DD 1＝ D ，从而 EF ⊥平面 BDD 1，又 EF ⊂平面 B 1 EF ，所以平 面 B 1 EF ⊥平面 BDD 1，故选项A正确；对于选 项B，因为平面 A 1 BD ∩平面 BDD 1＝ BD ，所以由选项A知，平面 B 1 EF ⊥平面 A 1 BD 不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线 AA 1与直线 B 1 E 必相交，故平面 B 1 EF 与平面 A 1 AC 不平行，
故选项C错误；对于选项D，连接 AB 1， B 1 C ，易知平面 AB 1 C ∥平面 A 1 C 1 D ，又平面 AB 1 C 与平面 B 1 EF 有公共点 B 1，所以平面 A 1 C 1 D 与平面 B 1 EF 不平行，故选项D错误.故选A.
11. （多选）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面为矩形， PD ⊥底面 ABCD ， AD ＝1， PD ＝ AB ＝2，点 E 是 PB 的中点，过 A ， D ， E 三点的平面α与平面 PBC 的交线为 l ，则（　　）
12. （2024·威海模拟）如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面四边形 ABCD 为矩形， SA ⊥平面 ABCD ， P ， Q 分别是线段 BS ， AD 的中 点，点 R 在线段 SD 上.若 AS ＝4， AD ＝2， AR ⊥ PQ ，则 AR ＝ ⁠ ⁠.
13. 如图，矩形 ABCD 中， AB ＝1， BC ＝ a ， PA ⊥平面 ABCD ，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ ⊥ DQ ，则 a ＝ ⁠.
解析：如图，连接 AQ ，取 AD 的中点 O ，连接 OQ .
∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴ PA ⊥ DQ ，又 PQ ⊥ DQ ，∴ DQ ⊥平面 PAQ ，∴ DQ ⊥ AQ . ∴点 Q 在以线段 AD 的中点 O 为圆心， AD 为 直径的圆上，又∵在 BC 上有且仅有一个点 Q 满足 PQ ⊥ DQ ， ∴ BC 与圆 O 相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），∴ OQ ⊥ BC ，∵ AD ∥ BC ，∴ OQ ＝ AB ＝1，∴ BC ＝ AD ＝2，即 a ＝2.
14. 在四棱锥 P - ABCD 中，平面 ABCD ⊥平面 PCD ，底面 ABCD 为梯 形， AB ∥ CD ， AD ⊥ PC . （1）求证： AD ⊥平面 PDC ；
证明：在平面 PCD 中过点 D 作 DH ⊥ DC ，交 PC 于 H ，因为平面 ABCD ⊥平面 PCD ， DH ⊂平面PCD ，平面 ABCD ∩平面 PCD ＝ CD ，所以 DH ⊥平面 ABCD ，因为 AD ⊂平面 ABCD ，所以 DH ⊥ AD ，又 AD ⊥ PC ，且 PC ∩ DH ＝ H ，所以 AD ⊥平面 PCD .
（2）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC 上任意一点 F ， MF 与 PC 都不平行.
证明：法一　假设棱 BC 上存在点 F ，使得MF ∥ PC ，显然 F 与点 C 不重合，所以 P ， M ， F ， C 四点共面于α，所以 FC ⊂α， PM ⊂α，所以 B ∈ FC ⊂α， A ∈ PM ⊂α，所以α就是点 A ， B ， C 确定的平面，所以 P ∈α，这与 P - ABCD 为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证.
法二　假设棱 BC 上存在点 F ，使得 MF ∥ PC ，
连接 AC ，取其中点 N ，
在△ PAC 中，因为 M ， N 分别为 PA ， CA 的中点，所以 MN ∥ PC ，
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以 MF 与 MN 重合，
所以点 F 在线段 AC 上，所以 F 是 AC ， BC 的交点 C ，即 MF 就是 MC ，而 MC 与 PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证.
15. 在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，已知 AB ＝2， BC ＝ t ，若在线段 AB 上存在点 E ，使得 EC 1⊥ ED ，则实数 t 的取值范围是 ⁠.
16. 如图所示的空间几何体 ABCD - EFG 中，四边形 ABCD 是边长为2的 正方形， AE ⊥平面 ABCD ， EF ∥ AB ， EG ∥ AD ， EF ＝ EG ＝1.（1）求证：平面 CFG ⊥平面 ACE ；
解：证明：连接 BD 交 AC 于点 O ，则BD ⊥ AC . 设 AB ， AD 的中点分别为 M ， N ，连接 MN ，则 MN ∥ BD ，连接 FM ， GN ，则 FM ∥ GN ，且 FM ＝GN ，所以四边形 FMNG 为平行四边形，
所以 MN ∥ FG ，所以 BD ∥ FG ，所以 FG⊥ AC . 由于 AE ⊥平面 ABCD ，所以 AE ⊥ BD . 所以 FG ⊥ AE ，又因为 AC ∩ AE ＝ A ， AC ， AE ⊂平面 ACE . 所以 FG ⊥平面 ACE . 又 FG ⊂平面 CFG ，所以平面 CFG ⊥平面 ACE .
（2）在 AC 上是否存在一点 H ，使得 EH ∥平面 CFG ？若存在， 求出 CH 的长；若不存在，请说明理由.