2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】

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1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标 准方程与一般方程.2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋2 ay ＋2 a 2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围是 （　　）
2. 圆 C ： x 2＋ y 2－2 x ＋6 y ＝0的圆心坐标为 ；半径 r ＝ ⁠.
3. 若坐标原点在圆（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的内部，则实数 m 的 取值范围为 ⁠.
4. 若圆的方程为 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆 心坐标为 ⁠.
5. （2024·徐州模拟）已知圆经过点（3，0）和（1，－2），圆心在 直线 x ＋2 y －1＝0上，则圆的标准方程为 ⁠.
（ x －1）2＋ y 2＝4
1. 以 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）为直径端点的圆的方程为（ x － x1）（ x － x 2）＋（ y － y 1）（ y － y 2）＝0.
2. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
1. 以 A （3，－1）， B （－2，2）为直径的圆的方程是（　　）
解析：　由结论1得，圆的方程为（ x －3）（ x ＋2）＋（ y ＋1） （ y －2）＝0，整理得 x 2＋ y 2－ x － y －8＝0，故选A.
2. 点 M ， N 是圆 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y －4＝0上的不同两点，且点 M ， N 关于直线 x － y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于（　　）
精选考点 典例研析 技法重悟通
1. 圆心在 y 轴上，半径长为1，且过点 A （1，2）的圆的方程是（　　）
解析：　根据题意可设圆的方程为 x 2＋（ y － b ）2＝1，因为圆过 点 A （1，2），所以12＋（2－ b ）2＝1，解得 b ＝2，所以所求圆的 方程为 x 2＋（ y －2）2＝1.
2. 已知圆 C 的圆心坐标是（0， m ），若直线2 x － y ＋3＝0与圆 C 相切 于点 A （2，7），则圆 C 的标准方程为 ⁠.
x 2＋（ y －8）2＝5
3. （2024·全国甲卷14题）设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点（3， 0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为 ⁠ ⁠.
（ x －1）2＋（ y ＋
∴☉ M 的方程为 x 2＋ y 2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋1）2 ＝5.
练后悟通求圆的方程的两种方法
【例1】　（1）点 M 与两个定点 O （0，0）， P （2，0）的距离的比 为3∶1，则点 M 的轨迹方程为 ⁠；
（2）已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3，0），则 直角顶点 C 的轨迹方程为 ⁠.
（ x －1）2＋ y 2＝4（ y ≠0）
解题技法求解与圆有关的轨迹（方程）的方法（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系 式求解.提醒　要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.
1. 过圆 C ：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4外一点 P （ x ， y ）引该圆的一 条切线，切点为 Q ， PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的 轨迹方程为（　　）
解析：　由题意得，圆心 C 的坐标为（3，－4）， 半径 r ＝2，如图.因为｜ PQ ｜＝｜ PO ｜，且 PQ ⊥ CQ ，所以｜ PO ｜2＋ r 2＝｜ PC ｜2，所以 x 2＋ y 2＋4 ＝（ x －3）2＋（ y ＋4）2，即6 x －8 y －21＝0，所 以点 P 的轨迹方程为6 x －8 y －21＝0.
2. （2024·烟台一模）若长为10的线段的两个端点 A ， B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹为 ⁠ ⁠.
以（0，0）为圆心，5为
技法1　利用几何性质求最值【例2】　（2024·绍兴一模）已知点（ x ， y ）在圆（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝1上.
（2）求 x ＋ y 的最大值和最小值；
解题技法与圆有关的最值问题的三种几何转化法
技法2　利用对称性求最值【例3】　 （2024·衡水联考）已知 A （0，2），点 P 在直线 x ＋ y ＋2 ＝0上，点 Q 在圆 C ： x 2＋ y 2－4 x －2 y ＝0上，则｜ PA ｜＋｜ PQ ｜的 最小值是 ⁠.
解题技法　　求解形如｜ PM ｜＋｜ PN ｜（其中 M ， N 均为动点）且与圆 C 上 动点有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之 和，一般要通过对称性解决.
解题技法　　根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式 的性质求最值.
1. （2024·全国乙卷11题）已知实数 x ， y 满足 x 2＋ y 2－4 x －2 y －4＝ 0，则 x － y 的最大值是（　　）
2. 已知动点 P （ x ， y ）满足 x 2＋ y 2－｜ x ｜－｜ y ｜＝0， O 为坐标原 点，则｜ PO ｜的最大值是 ⁠.
关键能力 分层施练 素养重提升
1. 设 a ∈R，则“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2＋ ax －2 y ＋2＝0表示圆”的 （　　）
解析：　方程 x 2＋ y 2＋ ax －2 y ＋2＝0表示圆，则有 D 2＋ E 2－4 F ＝ a 2＋4－8＞0，解得 a ＞2或 a ＜－2，则“ a ＞2”是“ a ＞2或 a ＜－2”的充分不必要条件，所以“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2＋ ax － 2 y ＋2＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
2. （2024·宿迁模拟）圆 x 2＋ y 2＋4 x －1＝0关于点（0，0）对称的圆 的标准方程为（　　）
3. 点 A 为圆（ x －1）2＋ y 2＝1上的动点， PA 是圆的切线，｜ PA ｜＝ 1，则点 P 的轨迹方程是（　　）
4. （2024·兰州模拟）若点（ a ＋1， a －1）在圆 x 2＋ y 2－2 ay －4＝0 的内部，则 a 的取值范围是（　　）
5. （多选）已知△ ABC 的三个顶点为 A （－1，2）， B （2，1）， C （3，4），则下列关于△ ABC 的外接圆圆 M 的说法正确的是（　　）
6. （多选）已知圆 M ： x 2＋ y 2－4 x －1＝0，点 P （ x ， y ）是圆 M 上 的动点，则下列说法正确的有（　　）
（1）求圆心为 C 的圆的标准方程；
（2）设点 P 在圆 C 上，点 Q 在直线 x － y ＋5＝0上，求｜ PQ ｜的最 小值.
11. （多选）设有一组圆 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4（ k ∈R）， 下列命题正确的是（　　）
解析：　圆心坐标为（ k ， k ），在直线 y ＝ x 上，A正确；令 （3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化简得2 k 2－6 k ＋5＝0，∵Δ＝36－ 40＝－4＜0，∴2 k 2－6 k ＋5＝0无实数根，B正确；由（2－ k ）2 ＋（2－ k ）2＝4，化简得 k 2－4 k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有 两个不相等实根，∴经过点（2，2）的圆 Ck 有两个，C错误；由 圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
14. 已知点 P （2，2），圆 C ： x 2＋ y 2－8 y ＝0，过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点.（1）求点 M 的轨迹方程；
解：圆 C ： x 2＋（ y －4）2＝42，故圆心为 C （0，4），半径为4.
（2）当｜ OP ｜＝｜ OM ｜时，求 l 的方程及△ POM 的面积.
15. 太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三 茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功到武术……，太极图无 不跃然其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一 起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线Γ： y ＝ x 2－ mx ＋2 m （ m ∈R）与 x 轴交于不同的两点 A ， B ，曲线Γ与 y 轴交于点 C .
（1）是否存在以 AB 为直径的圆过点 C ？若存在，求出该圆的方 程；若不存在，请说明理由；
解：由曲线Γ： y ＝ x 2－ mx ＋2 m （ m ∈R），令 y ＝0，得 x 2 － mx ＋2 m ＝0.设 A （ x 1，0）， B （ x 2，0），可得Δ＝ m 2 －8 m ＞0，则 m ＜0或 m ＞8. x 1＋ x 2＝ m ， x 1 x 2＝2 m .令 x ＝ 0，得 y ＝2 m ，即 C （0，2 m ）.
（2）求证：过 A ， B ， C 三点的圆过定点.
解：证明：设过 A ， B 两点的圆的方程为 x 2＋ y 2－ mx ＋ Ey ＋2 m ＝0，将点 C （0，2 m ）代入可得 E ＝－1－2 m ，所以过 A ， B ， C 三点的圆的方程为 x 2＋ y 2－ mx －（1＋2 m ） y ＋ 2 m ＝0.整理得 x 2＋ y 2－ y － m （ x ＋2 y －2）＝0.