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2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【课件】
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这是一份2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【课件】，共60页。PPT课件主要包含了PART1，考点分类突破，解题技法，双曲线的几何性质，双曲线模型的实际应用，PART2，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
双曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）已知定点 F 1（－2，0）， F 2（2，0）， N 是圆 O ： x 2＋ y 2＝1上任意一点，点 F 1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中 垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是（ ）
解析：如图，连接 ON ，由题意可得｜ ON ｜＝1，且 N 为 MF 1的中点，又 O 为 F 1 F 2 的中点，所以｜ MF 2｜＝2.因为点 F 1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，由垂直平分线的性质可得｜ PM ｜＝｜ PF 1｜，所以｜｜ PF 2｜－｜ PF 1｜｜＝｜｜ PF 2｜－｜ PM ｜｜＝｜ MF 2｜＝2＜｜ F 1 F 2｜，所以由双曲线的定义可得，点 P 的轨迹是以 F 1， F 2为焦点的双曲线.
1. 双曲线定义的应用
（1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进 而根据要求可求出曲线方程；
（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结 合｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝2 a ，运用平方的方法，建立关 于｜ PF 1｜·｜ PF 2｜的方程.
2. 求双曲线标准方程的两种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件， 列出参数 a ， b ， c 的方程（组）并求出 a ， b ， c 的值；（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由 定点位置确定 c 的值.提醒 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注 意分类讨论.也可以设双曲线方程为 mx 2＋ ny 2＝1（ mn ＜ 0）求解.
1. 已知圆 C 1：（ x ＋3）2＋ y 2＝1， C 2：（ x －3）2＋ y 2＝9，动圆 M 同时与圆 C 1和圆 C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ）
考向1 双曲线的渐近线问题
解题技法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中 a ， b 的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近 线方程.提醒 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐 近线关于 x 轴， y 轴对称.
考向2 双曲线的离心率问题
【例3】 （1）（2021·全国甲卷5题）已知 F 1， F 2是双曲线 C 的两个 焦点， P 为 C 上一点，且∠ F 1 PF 2＝60°，｜ PF 1｜＝3｜ PF 2｜，则 C 的离心率为（ ）
【例4】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告： 正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间 比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.则该 巨响发生在接报中心的（假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各 点均在同一平面上）（ ）
解题技法利用双曲线模型解决实际问题的步骤（1）建立适当的坐标系；（2）求出双曲线的标准方程；（3）根据双曲线方程及性质解决实际应用问题（注意实际意义）.
（2024·濮阳模拟）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种 设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射 后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图，从双曲线 C 的右焦 点 F 2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过 左焦点 F 1.已知入射光线 F 2 P 的斜率为－2，且 F 2 P 和反射光线 PE 互相垂直（其中 P 为入射点），则双曲线 C 的渐近线方程为 .
2 x ＋ y ＝0和2 x － y ＝0
关键能力 分层施练 素养重提升
4. 已知 F 1， F 2为双曲线 C ： x 2－ y 2＝2的左、右焦点，点 P 在 C 上，｜ PF 1｜＝2｜ PF 2｜，则 cs ∠ F 1 PF 2＝（ ）
（1）用 a 表示｜ PF 1｜，｜ PF 2｜；
（2）若∠ F 1 PF 2是钝角，求双曲线的离心率 e 的取值范围.
解：根据题意，道路 MN 段上的任意一点到景点 A 的距离比到景点 B 的距离都多16 km，则道路 MN 所在的曲线是以定点 A ， B 为左、右焦点的双曲线的右支，其方程为 x 2－ y 2＝64（8≤ x ≤10，0≤ y ≤6）.
又由道路 NP 段上的任意一点到 O 的距离都相等，则道路 NP 所在的曲线为以 O 为圆心， ON 为半径的圆，其方程 为 x 2＋ y 2＝64（－8≤ y ≤0）.故道路 M - N - P 对应的曲线方程为 MN 段： x 2－ y 2＝64 （8≤ x ≤10，0≤ y ≤6）， NP 段： x 2＋ y 2＝64（－8≤ y ≤0）.
（2）现要在 M - N - P 上建一站点 Q ，使得 Q 到景点 C 的距离最 近，问如何设置站点 Q 的位置（即确定点 Q 的坐标）？
双曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）已知定点 F 1（－2，0）， F 2（2，0）， N 是圆 O ： x 2＋ y 2＝1上任意一点，点 F 1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中 垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是（ ）
解析：如图，连接 ON ，由题意可得｜ ON ｜＝1，且 N 为 MF 1的中点，又 O 为 F 1 F 2 的中点，所以｜ MF 2｜＝2.因为点 F 1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，由垂直平分线的性质可得｜ PM ｜＝｜ PF 1｜，所以｜｜ PF 2｜－｜ PF 1｜｜＝｜｜ PF 2｜－｜ PM ｜｜＝｜ MF 2｜＝2＜｜ F 1 F 2｜，所以由双曲线的定义可得，点 P 的轨迹是以 F 1， F 2为焦点的双曲线.
1. 双曲线定义的应用
（1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进 而根据要求可求出曲线方程；
（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结 合｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝2 a ，运用平方的方法，建立关 于｜ PF 1｜·｜ PF 2｜的方程.
2. 求双曲线标准方程的两种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件， 列出参数 a ， b ， c 的方程（组）并求出 a ， b ， c 的值；（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由 定点位置确定 c 的值.提醒 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注 意分类讨论.也可以设双曲线方程为 mx 2＋ ny 2＝1（ mn ＜ 0）求解.
1. 已知圆 C 1：（ x ＋3）2＋ y 2＝1， C 2：（ x －3）2＋ y 2＝9，动圆 M 同时与圆 C 1和圆 C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为（ ）
考向1 双曲线的渐近线问题
解题技法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中 a ， b 的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近 线方程.提醒 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐 近线关于 x 轴， y 轴对称.
考向2 双曲线的离心率问题
【例3】 （1）（2021·全国甲卷5题）已知 F 1， F 2是双曲线 C 的两个 焦点， P 为 C 上一点，且∠ F 1 PF 2＝60°，｜ PF 1｜＝3｜ PF 2｜，则 C 的离心率为（ ）
【例4】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告： 正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间 比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.则该 巨响发生在接报中心的（假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各 点均在同一平面上）（ ）
解题技法利用双曲线模型解决实际问题的步骤（1）建立适当的坐标系；（2）求出双曲线的标准方程；（3）根据双曲线方程及性质解决实际应用问题（注意实际意义）.
（2024·濮阳模拟）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种 设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射 后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图，从双曲线 C 的右焦 点 F 2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过 左焦点 F 1.已知入射光线 F 2 P 的斜率为－2，且 F 2 P 和反射光线 PE 互相垂直（其中 P 为入射点），则双曲线 C 的渐近线方程为 .
2 x ＋ y ＝0和2 x － y ＝0
关键能力 分层施练 素养重提升
4. 已知 F 1， F 2为双曲线 C ： x 2－ y 2＝2的左、右焦点，点 P 在 C 上，｜ PF 1｜＝2｜ PF 2｜，则 cs ∠ F 1 PF 2＝（ ）
（1）用 a 表示｜ PF 1｜，｜ PF 2｜；
（2）若∠ F 1 PF 2是钝角，求双曲线的离心率 e 的取值范围.
解：根据题意，道路 MN 段上的任意一点到景点 A 的距离比到景点 B 的距离都多16 km，则道路 MN 所在的曲线是以定点 A ， B 为左、右焦点的双曲线的右支，其方程为 x 2－ y 2＝64（8≤ x ≤10，0≤ y ≤6）.
又由道路 NP 段上的任意一点到 O 的距离都相等，则道路 NP 所在的曲线为以 O 为圆心， ON 为半径的圆，其方程 为 x 2＋ y 2＝64（－8≤ y ≤0）.故道路 M - N - P 对应的曲线方程为 MN 段： x 2－ y 2＝64 （8≤ x ≤10，0≤ y ≤6）， NP 段： x 2＋ y 2＝64（－8≤ y ≤0）.
（2）现要在 M - N - P 上建一站点 Q ，使得 Q 到景点 C 的距离最 近，问如何设置站点 Q 的位置（即确定点 Q 的坐标）？
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