2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线【课件】，共60页。PPT课件主要包含了PART1，知识体系构建，PART2，考点分类突破，PART3，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。

1. 了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问 题中的应用.2. 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3. 了解抛物线的简单应用.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 抛物线 y ＝ ax 2的准线方程是 y ＝2，则 a ＝（　　）
2. 过抛物线 y 2＝4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P （ x 1， y 1）， Q （ x2， y 2）两点，如果 x 1＋ x 2＝6，则｜ PQ ｜＝（　　）
解析：　抛物线 y 2＝4 x 的焦点为 F （1，0），准线方程为 x ＝－1. 根据题意可得，｜ PQ ｜＝｜ PF ｜＋｜ QF ｜＝ x 1＋1＋ x 2＋1＝ x 1 ＋ x 2＋2＝8.
3. 焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为 ⁠ ⁠.
解析：设方程为 x 2＝2 my （ m ≠0），由焦点到准线的距离为5， 知｜ m ｜＝5， m ＝±5，所以满足条件的抛物线的标准方程为 x 2＝ 10 y 或 x 2＝－10 y .
10 y 或 x 2＝－10 y
4. 顶点在原点，且过点 P （－2，3）的抛物线的标准方程是 ⁠ ⁠.
y 2＝－
1. 与抛物线焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线 AB 与抛物线 y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点， F 为抛物线的焦点，设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）.则有
（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2 p ；
（5）以弦 AB 为直径的圆与准线相切；以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.
2. 若 A ， B 为抛物线 y 2＝2 px （ p ＞0）上两点，且 OA ⊥ OB ，则直线 AB 过定点（2 p ，0）.
1. 直线 l 过抛物线 C ： y 2＝12 x 的焦点，且与抛物线 C 交于 A ， B 两 点，若弦 AB 的长为16，则直线 l 的倾斜角α＝ ⁠.
精选考点 典例研析 技法重悟通
考向1　求轨迹方程【例1】　已知动圆 P 与定圆 C ：（ x －2）2＋ y 2＝1相外切，又与定 直线 l ： x ＝－1相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是（　　）
解题技法求轨迹问题的两种方法（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程；（2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有 关的轨迹是否为抛物线.
考向2　最值问题【例2】　若抛物线 y 2＝4 x 的准线为 l ， P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线3 x ＋4 y ＋7＝0的距离之和的最小值是 （　　）
解题技法与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造 出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使 问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与 直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.
1. 动圆过点（1，0），且与直线 x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方 程为 ⁠.
解析：设动圆的圆心坐标为（ x ， y ），则圆心到点（1，0）的距 离与到直线 x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心 的轨迹方程为 y 2＝4 x .
2. （2024·天门模拟）若在抛物线 y 2＝－4 x 上存在一点 P ，使其到焦 点 F 的距离与到点 A （－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标 为 ⁠.
3. 已知抛物线 x 2＝4 y 上有一条长为6的动弦 AB ，则弦 AB 的中点到 x 轴的最短距离为 ⁠.
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】　（1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F 作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴 于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（　　）
（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ， P 为 C 上一点， PF 与 x 轴垂直， Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP . 若｜ FQ ｜＝6，则 C 的准线方程为 ⁠ ⁠.
解题技法1. 求抛物线标准方程的方法（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数 p ），那么 只需求出 p 即可；（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上 的抛物线的标准方程可统一设为 y 2＝ ax （ a ≠0）；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x 2＝ ay （ a ≠0）， a 的正负 由题设来定，这样就减少了不必要的讨论.
2. 抛物线性质的应用技巧（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程 化成标准方程；（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.
1. 已知 A 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）上一点，点 A 到 C 的焦点的 距离为12，到 y 轴的距离为9，则 p ＝（　　）
直线与抛物线的位置关系
求解直线与抛物线综合问题的方法
（1）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位 置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、 中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点 差法”以及定义的灵活应用；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦 点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式｜ AB ｜＝ x 1＋ x 2＋ p （焦点在 x 轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式.
x ＋2 y －3＝0
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线Γ： x 2＝8 y 的焦点为 F ，过点F' （0，－2）的直线 l 与抛物线Γ交于 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）两 点（其中0＜ x 1＜ x 2），连接 BF 并延长交抛物线Γ于点 C ，记直线 l 的斜率为 k ，直线CF'的斜率为k'，则 k ＋k'＝ ⁠.
关键能力 分层施练 素养重提升
1. （2024·泸州一模）抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点为 F ，点 P 是 C 上一 点，若｜ PF ｜＝5，则点 P 到 y 轴的距离为（　　）
解析：　根据题意，点 F 的坐标为（1，0），故｜ PF ｜＝ xP ＋1 ＝5，即 xP ＝4，即点 P 到 y 轴的距离为4.故选A.
3. （2024·南昌联考）已知抛物线 E ： x 2＝4 y ，圆 C ： x 2＋（ y －3）2 ＝1， P 为 E 上一点， Q 为 C 上一点，则｜ PQ ｜的最小值为（　　）
4. （2024·黄冈模拟）中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁 史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱 桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度 为（　　）
5. （多选）已知点 O 为坐标原点，直线 y ＝ x －1与抛物线 C ： y 2＝4 x 相交于 A ， B 两点，则（　　）
6. （多选）已知抛物线 y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F 到准线的距离为 4，直线 l 过点 F 且与抛物线交于 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）两 点，若 M （ m ，2）是线段 AB 的中点，则下列结论正确的是（　　）
7. （2024·天津高考12题）过原点 O 的一条直线与圆 C ：（ x ＋2）2＋ y 2＝3相切，交曲线 y 2＝2 px （ p ＞0）于点 P ，若｜ OP ｜＝8，则 p 的值为 ⁠.
8. 已知直线 l 经过抛物线 y 2＝6 x 的焦点 F ，且与抛物线相交于 A ， B 两点.（1）若直线 l 的倾斜角为60°，求｜ AB ｜的值；
（2）若｜ AB ｜＝9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离.
11. （多选）设抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点为 F ， O 为坐标原点，过 F 的 直线与 C 分别交于 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）两点，则（　　）
（2）当｜ AM ｜＋4｜ BM ｜最小时，求直线 l 的方程.
（2）求证： A 为线段 BM 的中点.