2025年高考数学一轮复习-第9章-第6节-双曲线【课件】

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1.通过双曲线的实际背景理解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.掌握双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的　　　　　　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做　　　　　　　,两焦点间的距离叫做　　　　　　　　　　. 
数学表达式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
微点拨1.要注意定义中的“绝对值”,若没有绝对值,当|MF1|-|MF2| =2a(0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F2的双曲线的一支;当|MF1|-|MF2| =-2a(0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F1的双曲线的一支.2.要注意定义中2a的范围限制.若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程
微点拨在双曲线的标准方程中,看x2与y2的系数的正负,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.
3.双曲线的几何性质
A1(-a,0),A2(a,0)
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a,双曲线的焦点在y轴上时也成立.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 ;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
4.设P是双曲线上异于顶点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则
5.等轴双曲线(1)定义:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)性质:①a=b;②e= ;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
6.共轭双曲线(1)定义:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.(2)性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)2.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
6.(人教A版选择性必修第一册第121页练习第3题改编)已知方程 =1表示双曲线,则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 
(-∞,-2)∪(-1,+∞)　
解析 由方程 =1表示双曲线,得(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1,所以实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,+∞).
7.(人教A版选择性必修第一册习题3.2第9题)相距1 400 m的A,B两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3 s,已知声速是340 m/s,则炮弹爆炸点所在曲线的方程是　　　　　　　　. 
解析 以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(图略),则A(-700,0),B(700,0),设M(x,y)为曲线上任一点,则||MA|-|MB||=340×3=1 020<1 400,∴点M的轨迹为双曲线,且a=510,c=700,∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a) =1 210×190=229 900.
题组三连线高考8.(2023北京,12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为 ,则C的方程为　 . 
考点一 双曲线的定义及其应用
例1(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
解析 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点.又O为F1F2的中点,∴|MF2|=2.∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,∴由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cs∠F1PF2=　　　　　. 
变式探究1(变条件变结论)在本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?
变式探究2(变条件变结论)在本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“ =0”,则△F1PF2的面积是多少?
[对点训练1]已知F是双曲线 =1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　. 
解析 如图,已知F(-4,0),设F'为双曲线的右焦点,则F'(4,0),点A(1,4)在双曲线两支之间.由双曲线的定义,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.当且仅当A,P,F'三点共线时,取等号.
考点二 双曲线的标准方程
(2)(2024·福建三明模拟)已知圆C1:(x+3)2+y2=9,圆C2:(x-3)2+y2=1,若动圆E与C1,C2都外切,则圆心E的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　. 
解析 圆C1:(x+3)2+y2=9的圆心为C1(-3,0),半径r1=3,圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径r2=1.由于动圆E与圆C1,C2都外切,设动圆E的半径为r,则|EC1|=r+3,|EC2|=r+1,所以|EC1|-|EC2|=3-1=2<|C1C2|,所以点E的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线
考点三 双曲线的几何性质(多考向探究预测)
解析 如图所示,不妨设点M在左支上.设右焦点为F2,连接MF2,NF2,由对称性知四边形MF1NF2为平行四边形.由|F1N|=2|F1M|得|F2M|=2|F1M|.由双曲线的定义知|F2M|-|F1M|=2a,所以|F1M|=2a,|F2M|=|F1N|=4a.因为∠MF1N=60°,所以∠F1MF2=120°.在△MF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|F1M|2+|F2M|2-2|F1M|·|F2M|cs 120°,
解析 由题意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以双曲线的渐近线方程为
[对点训练3](2024·山东烟台模拟)圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中,例如从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线镜面反射后,反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图,从双曲线C的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线PF2的斜率为-2,且PF2和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点),则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　　　　　. 
2x+y=0和2x-y=0
考点四 与双曲线有关的最值和范围问题
[对点训练5](2020·全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　)A.4B.8C.16D.32