2025年高考数学一轮复习-第33讲-空间点、线、面之间的位置关系【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第33讲-空间点、线、面之间的位置关系【课件】，共60页。PPT课件主要包含了链教材夯基固本，激活思维，研题型能力养成，聚焦知识，平面的基本事实及应用，举题说法，空间两直线的位置关系，异面直线所成角的计算，截面问题，新视角等内容，欢迎下载使用。

1．(人A 必二P128T2)下列说法正确的是(　　)A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面
对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．
对于C，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故C正确．对于D，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故D错误．
2．(人A 必二P131T1(2))设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b(　　)A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，当A′B所在的直线为a，BC′所在的直线为b时，a与b相交；当A′B所在的直线为a，B′C所在的直线为b时，a与b异面．
3．(人A 必二P131T2改)(多选)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列说法正确的是(　　　)A．直线AB与直线AC 相交B．直线AC与直线A′C′平行C．直线A′B与直线AC相交D．直线A′B与直线C′D异面
由题图知，直线AB与直线AC相交，直线AC与直线A′C′平行，直线A′B与直线AC异面，直线A′B与直线C′D异面．
4．(人A 必二P131T3改)下列说法正确的是(　　)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误．对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误．对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误．对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．
1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
3．平行直线(1) 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2) 定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．4．异面直线所成的角(1) 定义：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角或夹角．(2) 取值范围：__________．
已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l共面，则a，b，l相交，或a，b，l有两个平行另一直线与之相交，或三条直线两两平行，所以必要性不成立．
若a，b，l两两相交，则a，b，l共面，充分性成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1) 求证：E，F，G，H四点共面；
(2) 设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC，所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．
1．证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．2．证明点共线：证点在两个平面的交线上；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．3．证明四点共面：本质就是四个点组成平行线或相交线．
变式　(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C与平面C1BD交于点M，则下列结论正确的是(　　　)A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面
如图，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O.
又A1C∩平面C1BD＝M，所以C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，所以C1，M，O三点共线，可判断A，B，C均正确，D错误．
(1) 如图，N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN.因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.
(2) 已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能
在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误．m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．
变式　(多选)如图所示是一个正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列说法正确的是(　　)A．AB与CD所在的直线垂直B．CD与EF所在的直线平行C．EF与GH所在的直线异面D．GH与AB所在的直线夹角为60°
把正方体的平面展开图还原，如图，连接AF.对于A，因为BD∥CF且BD＝CF，所以四边形BDCF为平行四边形，所以CD∥BF，故AB与CD所成的角为∠ABF，易知△ABF为等边三角形，则∠ABF＝60°，故A错误．
对于B，由A可知CD∥EF，故B正确．对于C，由图可知，EF与GH所在的直线异面，故C正确．对于D，因为AH∥GF且AH＝GF，故四边形AFGH为平行四边形，所以GH∥AF，则GH与AB所成的角为∠FAB.因为△ABF为等边三角形，所以∠FAB＝60°，即GH与AB所在的直线夹角为60°，故D正确．
(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
如图，连接BC1，PC1.因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PC1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1，BB1，B1D1⊂平面PBB1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1.又PB⊂平面PBB1，所以PC1⊥PB.
用平移法求异面直线所成的角的三个步骤：(1) 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．(2) 二证：证明作出的角是异面直线所成的角．(3) 三求：解三角形，求出所作的角．
如图，取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE.
因为D是AC的中点，所以DE BB1，从而四边形BDEB1是平行四边形，所以BD∥B1E.从而∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．
变式　(2) (2023·石家庄期初)如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为(　　)
如图，连接AC，BD.设AC∩BD＝O，连接OE，则O为AC的中点．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面面积为(　　)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∥平面CBB1C1，则平面A1DE与平面CBB1C1的唯一交线与A1D平行．
如图，取BC中点F，连接EF，DF，A1E，A1D，则梯形A1DFE即为经过A1，D，E三点的正方体的截面．
作截面的具体步骤：(1) 找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点．(2) 连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线．(3) 围截面：将各截线首尾相连，围成截面．
变式　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形的周长是____________．
如图，取AD中点H，连接EH，A1D.
1．已知点A∈直线l，A∈平面α，则(　　)A．l∥αB．l∩α＝AC．l⊂αD．l∩α＝A或 l⊂α
2．下列命题中真命题的个数是(　　)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1的中点为Q，过A，Q，B1三点的截面是(　　)A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形
如图，取C1D1的中点P，连接PQ，PB1，AB1，AQ，DC1.
4．在三棱锥A-BCD中，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为______．
如图，取BC，AB，AD的中点E，F，G，连接EF，FG，EG，则EF∥AC，FG∥BD，所以∠EFG(或其补角)即为AC与BD所成的角．
A组　夯基精练一、 单项选择题1．(2023·惠州三调)已知互不重合的三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(　　)A．b与c是异面直线B．a与c没有公共点C．b∥cD．b∩c＝P
因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因为a＝α∩β，b＝β∩γ，所以P∈α，P∈β，P∈γ.因为α∩γ＝c，所以P∈c，所以b∩c＝P，所以a∩c＝P，如图，故A，B，C错误．
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
3．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，则正方体过点E，F，D1的截面面积为(　　)
如图，连接BE，BF，取BB1的中点G，连接GF，GA1.因为A1E∥GB，A1E＝GB，所以四边形A1EBG为平行四边形，所以GA1∥BE，GA1＝BE.
因为A1D1∥GF，A1D1＝GF，所以四边形A1D1FG为平行四边形，所以GA1∥FD1，GA1＝FD1，所以BE∥FD1，BE＝FD1，所以四边形BED1F为平行四边形，即B，E，D1，F四点共面，所以正方体过点E，F，D1的截面为平行四边形BED1F.
4．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
如图，连接BC1，A1C1.易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．
二、 多项选择题5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(　　)A．AB1B．A1CC．A1AD．AD1
对于A，当P为BC1的中点时，OP∥AB1，故A错误；对于B，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．
6．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱ABC-A1B1C1展开，得到的平面图如图所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的点，则(　　)
如图(1)，由直三棱柱的结构特征知，AM与A1C1是异面直线，故A正确；因为AA1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，所以AC⊥平面AA1B1B，因为A1M⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1M，故B正确；
A．AM与A1C1是异面直线B．AC⊥A1MC．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体
平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1-ACC1A1和三棱锥B1-ABC，一个五面体和一个四面体，故C错误；
如图，连接AC，则A1C1∥AC，则异面直线A1C1与AE所成的角为∠EAC.
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为______.
如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG为异面直线AC与BD所成的角．
9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，当E，F，G分别是B1C1，C1D1，B1B的中点时，平面EFG截正方体所得截面的周长为_______．
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点．(1) 求作过D1，E，F三点的截面(写出作图过程)；
如图，延长EF与DA，DC的延长线分别交于点M，N，连接D1M，D1N，分别与棱AA1，CC1交于点G，H，连接EG，FH，则五边形D1GEFH即为所求．
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点．(2) 求截面图形的面积.
B组　滚动小练12．(2023·重庆11月调研)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋x－1，则不等式f(x)＜0的解集为(　　)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(0，1)D．(－∞，－1)∪(0，1)
根据奇函数的性质可知，当x∈(－1，0)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－1)时，f(x)＜0，所以不等式f(x)＜0的解集是(－∞，－1)∪(0，1).
13．(2024·济南期初摸底)已知等差数列{an}满足a5＝5，a1＋a7＝8，正项等比数列{bn}满足b2＝a2，b4是a1和a64的等比中项．(1) 求{an}和{bn}的通项公式；
13．(2024·济南期初摸底)已知等差数列{an}满足a5＝5，a1＋a7＝8，正项等比数列{bn}满足b2＝a2，b4是a1和a64的等比中项．(2) 记cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn.