专题13 计数原理（理） （三大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

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考点1：利用二项式定理求项的系数
1．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【解析】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
3．（2022年新高考天津数学高考真题）的展开式中的常数项为 .
【答案】
【解析】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
4．（2023年天津高考数学真题）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【解析】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
5．（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【解析】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故答案为：20.
6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【解析】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
7．（2024年上海夏季高考数学真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
【答案】10
【解析】令，，即，解得，
所以的展开式通项公式为，令，则，
．
故答案为：10．
考点2：利用二项式定理求系数和问题
8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【解析】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
9．（2022年新高考北京数学高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
考点3：排列组合综合运用
10．（2024年上海夏季高考数学真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【解析】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：329．
11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
13．（2022年新高考全国II卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
14．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【解析】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
考点
三年考情（2022-2024）
命题趋势
考点1：利用二项式定理求项的系数
2024年北京高考数学真题
2022年新高考全国I卷数学真题
2022年新高考天津数学高考真题
2023年天津高考数学真题
2024年天津高考数学真题
2024年高考全国甲卷数学（理）真题
2024年上海夏季高考数学真题
今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．
考点2：利用二项式定理求系数和问题
2022年新高考浙江数学高考真题
2022年新高考北京数学高考真题
考点3：排列组合综合运用
2024年上海夏季高考数学真题
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题
2022年新高考全国II卷数学真题
2023年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（理）真题