湖北省武汉市硚口区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖北省武汉市硚口区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，数量掌握定义和正确计算是解答本题的关键．
2. 下列调查中，适合全面调查方式的是（）
A. 检测东湖的水质情况B. 调查某批次的灯泡的使用寿命
C. 了解长江中的鱼的种类D. 了解某班学生的视力情况
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、检测东湖的水质情况，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
B、调查某批次的灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
C、了解长江中的鱼的种类，应采用抽样调查，故此选项不合题意；
D、了解某班学生的视力情况，适宜用全面调查，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 第二象限的点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点在各个象限的符合特征；由点到坐标轴的距离得，，结合象限符号特征，即可求解；掌握象限符号特征及“到轴的距离为，到轴的距离为”是解题的关键．
解：由题意得
，，
，
，
点第二象限，
，
，
，
故选：B．
4. 若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（）
A. B. 4C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故选：D．
5. 若，则下列不等式不成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式性质：1．不等式两边同时加上或减去同一个数不等号不变；2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变； 3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式性质逐项判定即可．
解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项符合题意；
D、∵，∴，故此选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，潜望镜中的两面镜子，互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若，则的大小是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，得到．
由平行线的性质推出，而，，得到．
解：，
，
，，
．
故选：B．
7. 如图，直线，于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出．
解：延长，与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
解：设有x人，y辆车，
依题意得：，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系．
9. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）
A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
【答案】B
【解析】
【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得，
，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
②当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 写出一个小于3的正无理数___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数估算方法求解即可.
解：∵，
∴
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
12. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查对顶角相等，角度的和差．
根据对顶角相等得到，再根据角的差即可解答．
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
13. 如图，，平分，则的大小是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，先证明，，再结合角平分线的定义可得答案；
解：如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：
14. 老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后老张养兔数比买入种兔数增加了4只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔数少于老李养兔数的，则一年前老张至少买了______只种兔．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用；设一年前老张买了x只兔子，则可表示出老张与老李的兔子数，根据不等关系：老张养兔数少于老李养兔数的，列出不等式并求解即可，注意x取整数．
解：设一年前老张买了x只兔子，则一年后老张的兔子数为只，老李的兔子数为只，
由题意，得：，
解得：；
由于x取整数，则最小取；
答：一年前老张至少买了12只种免．
15. 已知两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据平移后点或点在轴上，再结合平移的性质即可解决问题．
解：当平移后点的对应点在轴上时，
，
解得．
因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上，
所以，
所以点对应点的坐标为．
当平移后点的对应点在轴上时，
，
因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上，
所以，
则，
所以点对应点的坐标为．
故答案为：或
16. 已知关于x，y的方程组下列四个结论：
①当时，方程组的解也是方程的解；
②若，则；
③无论m取什么实数，的值始终不变；
④存在实数m使得．
其中正确的结论是______．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组解，解二元一次方程组，求不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．①把m看作已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；②把与代入求出m的值，即可作出判断；③把与代入中计算得到结果，判断即可；④把与代入求出m的值，判断即可．
解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
当时，，，
把，代入得：，
∴当时，方程组的解也是方程的解，故①正确；
把，代入得，
，
解得：，
∴时，；故②错误；
，
∴无论m取什么实数，的值始终不变，故③正确；
当时，，
解得：，
∴存在实数m使得，故④错误；
综上分析可知：正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（共8小题，共72分）
17解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）用代入消元法解方程组即可；
（2）用加减消元法解方程组即可．
【小问1】
解：，
把②代入①得，
，
，
把代入②得，
，
原方程组的解为；
【小问2】
解：，
②得③，
得，
，
把代入①得，
，
原方程组的解为．
18. 求满足不等式组的整数解．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．根据不等式组解出解集再得到整数解．
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为：，
故不等式组的整数解有：．
19. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度；
（3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】（1）100，见解析（2）72（3）1710人
【解析】
【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图；
（2）用360度乘以B组人数所占的比例即可；
（3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果．
【小问1】
解：人，
∴D组的人数为： ，
补全的条形统计图如下图所示：
【小问2】
，
故答案为：；
【小问3】
（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键．
20. 如图，，C点上，，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求和的大小．
【答案】（1）见解析（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据，求出，，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可．
【小问1】
证明：，
，
，
，
．
【小问2】
解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，已知，现将平移至，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F．
（1）画出，直接写出点E的坐标是______，点F的坐标是______；
（2）点P在y轴上，使的值最小，画出点P；
（3）若Q为直线上一动点，直接写出线段的最小值；
（4）点M在线段上，使的面积为12，画出点M．
【答案】（1）作图见解析；；，
（2）见解析（3）
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）根据点A对应点D，作出点B、C的对应点E、F，然后顺次连接即可；根据图形写出写出点E的坐标和点F的坐标即可；
（2）根据两点之间线段最短，连接，则与y轴的交点即为点P；
（3）过点A作与点Q，连接、，根据平移可知：，求出，根据，求出结果即可；
（4）取格点、H，连接，，延长交与点M．
【小问1】
解：如图，即为所求作的三角形，点E的坐标是，点F的坐标是；
【小问2】
解：如图，点P即为所求作的点；
【小问3】
解：过点A作与点Q，连接、，如图所示：
∵垂线段最短，
∴此时最小，
根据平移可知：，
∵，
∴，
∴；
【小问4】
解：取格点、H，连接，，延长交与点M，则点M即为所求作的点，如图所示：
根据格点特点可知：，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，三角形面积的计算，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握平移的性质，在网格中求三角形的面积．
22. 某商店准备采购甲、乙两种玩具360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件．
（1）求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元；
（2）若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？
（3）若甲种玩具每件售价降低元，乙种玩具售价不变，在（2）的采购方案中，该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，求a的值．
【答案】（1）甲、乙两种玩具每件的进价分别为90元，70元
（2）5种（3）
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的应用，一次函数的应用；
（1）设甲、乙两种玩具每件的进价分别为元，元．利用购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元，再建立方程组解题即可；
（2）设该商店购进甲种玩具件，则依题意知购进乙种玩具件，利用乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，再建立不等式组解题即可；
（3）设总利润为元．则，再结合一次函数的性质解答即可；
【小问1】
解：设甲、乙两种玩具每件的进价分别为元，元．
依题意可得：
解得：
答：甲、乙两种玩具每件的进价分别为90元，70元．
【小问2】
解：设该商店购进甲种玩具件，则依题意知购进乙种玩具件，
依题可得
解不等式组得：
为整数，
．
故该商店有5种采购方案．
【小问3】
设总利润为元．则
，
当时，，
解得：合题意．
23. 如图1，直线分别交直线于E，F两点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，已知．分别为的角平分线．
①求的值；
②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）①；②存在，17或或
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，分类讨论，明确角与角之间的关系．
（1）由对顶角的定义得到，结合，根据同旁内角互补即可证明；
（2）①分别过点K，G作，则，推出，根据．分别为的角平分线，得到，，进而得到，即可求出结果；②由①中结论，求出，，分，，第二次，，四种情况讨论即可．
【小问1】
证明：，，
，
；
【小问2】
解：①分别过点K，G作，
，
，
，
．分别为的角平分线，
，，
，
，
，
，
；
②，
，，，
，
由①知，，，
，，，，
，，
，，
如图，当时，
，
，
（符合题意）；
如图，当时，
，
由①知，
，，
，
（符合题意）；
如图，当第二次时，
，
，
旋转得到，旋转得到，
，
（不符合题意）；
如图，当时，
，
，
，
旋转得到，旋转得到，
（符合题意）；
综上，m的值为17或或，的两边恰好分别平行于的两边．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式；
（3）如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E．连接，，若的面积为23，求d的值；
（4）如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得：，，再结合算术平方根的含义可得；
（2）由题意可得与是方程的解；可得这个方程为：，从而可得答案；
（3）求解，，如图，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可；
（4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于，，如图，当在的右边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解题即可；
【小问1】
解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
综上：，，；
【小问2】
解：∵，，
∴与是方程的解；
∴，
解得：，
∴这个方程为：，
由题意可得：是方程的解，
∴；
【小问3】
解：∵，， D为的中点．
∴，
把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E．
∴即，
如图，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，
∴，，而，
∴，，，，
∴，
，
，
∵的面积为23，
∴，
解得：；
【小问4】
解：如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于，
由题意可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
如图，当在的右边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，
由题意可得：，
同理可得：，，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上：或；
【点睛】本题考查的是坐标与图形面积，整式的乘法运算的应用，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的应用，平移的性质，本题难度大，计算量大，清晰的分类讨论是解本题的关键.