2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第08讲 一元二次不等式与特殊的高次不等式的解法

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————初中知识回顾————
形如的不等式称为关于的一元二次不等式．
常用方法：
将不等式左边进行因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．
————高中知识链接————
表中，
2、恒成立
恒成立
高次不等式的解法——穿根法
先因式分解，再使用穿根法．
注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正．
步骤：①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点．
②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿)．
③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立．
【经典题型】
初中经典题型
1．解不等式．
分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．
解：原不等式可以化为：，
于是：或
所以，原不等式的解是．
说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．
2．解下列不等式：
(1) (2)

(2) 原不等式可化为：，即
于是：
所以原不等式的解是．
高中经典题型
1．解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若即则或
若即则
若即则或
2．已知不等式的解是求不等式的解．
解：由不等式的解为，可知
，且方程的两根分别为2和3，
∴，
即 ．
由于，所以不等式可变为
，
即 －
整理，得
所以，不等式的解是
x＜－1，或x＞ eq \f(6,5) ．
3．若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
4．已知集合，集合.若，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：解一元二次不等式求得，由于是的子集，所以，解得.
试题解析：解：根据题意得，， ，

5．求下列不等式的解集
(1)；
(2).
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
(1)将不等式进行恒等变形，结合数轴穿根法可知原不等式解集为；
(2) 将不等式进行恒等变形，注意到奇穿偶不穿，可知不等式解集为.
试题解析：
(1)原不等式等价于≤0
≤0
由数轴穿根法可知原不等式解集为；
(2)不等式即，注意到奇穿偶不穿，利用数轴穿根法可知不等式解集为.
6．已知不等式的解集为或
(1)求， 的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)， ；(2)或.
【解析】试题分析：(1)由已知解集的端点可知1和b为方程ax2-3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；(2)将， 代入不等式得， ，
可转化为： ，由“穿针引线”法可得结果.

(2)将， 代入不等式得， ，
可转化为： ，
如图，由“穿针引线”法可得
原不等式的解集为或.
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是( )
A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3
【答案】B．
2．已知关于x的二次函数的图象经过点(﹣2，)，(﹣1，)，(1，0)，且，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数，使得，其中结论错误的是 (只填写序号)．
【答案】②．
【分析】①正确．画出函数图象即可判断．
②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以周长判断．
③正确．利用函数y′= =，根据函数的最值问题即可解决．
④令y=0则，设它的两个根为，1，则=，求出x1即可解决问题．学科-网
∵的图象经过点(1，0)，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，令y=0则，设它的两个根为，1，则=，∴=，∵﹣2＜＜，∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数，使得，故④正确．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．不等式的解集为__________．
【答案】{x|-a＜x＜3a}
【解析】，因为， ,不等式的解集为，故答案为.
2．若关于 的不等式 的解集中的整数恰有 个，则实数 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】分析：由题意，原不等式转化为，得到的解集，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到的不等式，解不等式可得的范围.
详解：由题知，，
则，即.
由于，而不等式的解答中恰有3个整数解，
故必有，即必有.
不等式可变为
解得，
又，结合解集中的整数恰有3个，即为1，2，3，
可得，
解得.
的取值范围为.
故答案为：.
点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
3．若不等式 的解为 ，则不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】根据不等式的解集可知 ，解得 ，即不等式为 ，所以不等式的解集为.
4．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，不等式化为恒成立，当时，不等式化为不恒成立(舍)，当时，要使不等式恒成立，
则，解得，综上所述， .
点睛：本题考查含参数的一元二次不等式恒成立问题；本题的易错点是忘记讨论不等式的二次项系数是否为0，对于二次项系数含有参数的不等式不一定是一元二次不等式，只有一元二次不等式才能利用判别式进行处理，所以一定要讨论二次项系数为0 的情况.
5．不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】等价于 或，解不等式组得或，选B.
6．不等式的解集是__________．
【答案】
7．求下列不等式的解集．
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)；(2)；
(3) 或
【解析】试题分析：(1)解二次不等式；(2)利用标根法解高次不等式；(3)移项通分解高次分式不等式.
试题解析：
解：(1)由x2+4x+4＞0可化为(x+2)2＞0，(用判别式同样给分)
故原不等式的解集为 ；
(2)由(1﹣2x)(x﹣1)3(x+1)2＜0可化为(2x﹣1)(x﹣1)3(x+1)2＞0，
且方程(1﹣2x)(x﹣1)3(x+1)2=0的根为、1(三重根)和﹣1(二重根)，
所以该不等式的解集为；
点睛：高次不等式求解方法1.化二次项系数为正;2.求方程的根;3.画数轴进行穿根(从数轴右上方开始穿，奇重根穿偶不穿);4.数轴上方大于0，数轴下方小于0.
分式不等式解法1.先移项再通分化为(或<0)形式;2.化整式不等式(或<0)求解.
一般式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
图像与解
x
y
O
x1
x2
或
x
y
O
x0
无解
x
y
O
无解
R
无解