陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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这是一份陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，数轴所表示的不等式的解集是( )
A. x<-1B. x>-1C. x≤-1D. x≥-1
3.已知aA. a-1-2bC. 12a+1<12b+1D. ma>mb
4.下列各式属于因式分解的是( )
A. 3abc3=3c⋅abc2B. (x+1)2=x2+2x+1
C. x2-2x-1=x(x-2)-1D. 4t2-9=(2t+3)(2t-3)
5.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
6.用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a//b”时，应假设( )
A. a不垂直于cB. a与b相交
C. a不垂直于bD. a、b都不垂直于c
7.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=25°，则∠BAA'的度数是( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
8.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：______．
10.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是．
11.如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=2，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为______．
12.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，有下列条件：①a2=b2+c2；②∠A=∠B-∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=3：4：5；⑤∠A=12∠B=23∠C.其中可以判定△ABC为直角三角形的有______个.
13.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=______．
三、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
分解因式：
(1)3x-12x2；
(2)n2(m-2)-n(2-m)．
15.(本小题8分)
解不等式组：
(1)8x+5>9x+62x-1<7；
(2)2x-13-5x+12≤15x-1<3(x+1)．
16.(本小题5分)
如图，在公路l附近有两个小区A、B，某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M，要求超市M到A、B两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市M的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
17.(本小题5分)
已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD=CE．
求证：∠ABC=∠ACB．
18.(本小题6分)
△ABC的三边a，b，c满足a2-2ab+b2-ac+bc=0，判断△ABC的形状．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5)，B(-2,1)，C(-1,3)．
(1)若点C1的坐标为(4,0)，画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
20.(本小题6分)
在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C.已知点A(-1,0)，B(2,0)，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是______；关于x的不等式kx+b<0的解集是______；
(2)直接写出关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集；
(3)若点C(1,3)，求关于x的不等式k1x+b1>kx+b的解集和△ABC的面积．
21.(本小题7分)
已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线．
(1)求证：BD=2CD；
(2)若CD=2，求△ABD的面积．
22.(本小题8分)
蓝田樱桃果实大，细嫩多汁，甜酸适口，娇艳欲滴，馥郁甜香，极具地方特色．小张想在蓝田县某果园购买一些樱桃，经了解，现有甲、乙两家樱桃园的樱桃可供采摘，这两家樱桃的品质相同，定价均为每千克20元，但两家果园的采摘方案不同：
甲樱桃园：游客进园需购买32元的票，采摘的樱桃按定价的6折优惠；
乙樱桃园：不需要购买门票，采摘的樱桃按定价付款不优惠．
设小张采摘的樱桃数量为x千克，他在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲、y乙元．
(1)分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
(2)小张应选择哪家樱桃园采摘樱桃更划算？
23.(本小题10分)
已知关于x的不等式组2x+4>03x-k<6．
(1)当k为何值时，该不等式组的解集为-2(2)若该不等式组只有3个正整数解，求一个满足条件的整数k的值．
24.(本小题12分)
问题提出：如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．
尝试解决：
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转来解决问题．
(1)如图2，连接BD，由于AD=CD，可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB'的形状是______；
(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积．
[类比应用](3)如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC= 2，求四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.答案：C
解析：解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.答案：C
解析：解：数轴所表示的不等式的解集是x≤-1．
故选：C．
根据不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
3.答案：D
解析：解答：
解：A、在不等式aB、在不等式a-2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、在不等式aD、在不等式amb.原变形不正确，故此选项符合题意．
故选D．
4.答案：D
解析：解：A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
B、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意；
D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意．
故选：D．
根据因式分解的定义逐项判断即可判断．
本题考查了因式分解的意义，关键是因式分解意义的熟练掌握．
5.答案：C
解析：解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠OEB=90°，∠EBO=12∠ABC=30°，
∴∠BOE=60°，
故选：C．
根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案．
本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形每边上的中线、高和对角的角平分线相互重合是解题的关键．
6.答案：B
解析：解：反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a//b”时，
应假设a与b不平行，即a与b相交，
故选：B．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.答案：C
解析：解：∵Rt△A'B'C是由Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转得，
∴∠B'A'C=∠BAC，∠A'CB'=90°，
∵∠AB'A'=90°+∠B'A'C，∠1=25°，
∴∠B'AA'=180°-∠AB'A'-∠1=180°-90°-∠B'A'C-25°=65°-∠B'A'C，
∴∠BAA'=∠BAC+∠B'AA'=∠BAC+65°-∠B'A'C=∠BAC+65°-∠BAC=65°．
故选：C．
现根据旋转的性质得到∠B'A'C=∠BAC，∠A'CB'=90°，再根据三角形内角和和外交的性质即可得出结论．
本题主要考查旋转的性质和三角形的内角和等于180°、三角形的外角等性质，关键是用旋转的性质得出∠B'A'C=∠BAC．
8.答案：A
解析：解答：
解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF=E'F，此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=AB=7．
故选：A．
9.答案：x-5≤2x
解析：解答：
解：由题意得：x-5≤2x；故答案为x-5≤2x．
10.答案：100°
解析：解：∵三角形三个内角的和为180°，等腰三角形的两底角相等，
∴等腰三角形的两底角都为锐角，
∵100°>90°，
∴100°的角是顶角，
∴此等腰三角形的顶角的度数是100°．
故答案为100°．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和定理，判断出100°的角是顶角是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等，并且三个角的和为180°，而100°的角是钝角，因此可以判断出100°的角只能是顶角．
11.答案：2
解析：解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A'B'，
∵A(-1,0)，B(0,2)，
∴A'(2,-1)，B'(3,1)，
∴a=-1，b=3，
∴a+b=2，
故答案为：2．
由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A'B'，求出A'，B'的坐标可得结论．
本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.答案：3
解析：解：①∵a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A=∠B-∠C，
∴∠A+∠C=∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k，
∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
⑤∵∠A=12∠B=23∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=32∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+32∠A=180°，
解得：∠A=40°，∠B=80°，∠C=60°，
∴△ABC不是直角三角形；
所以，上列条件，可以判定△ABC为直角三角形的有3个，
故答案为：3．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
13.答案：10
解析：解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF=CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
AE=BEEF=EG，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL)，
∴AF=BG，
设CF=CG=x，则AF=AC-CF=12-x，BG=BC+CG=8+x，
∴12-x=8+x，
解得x=2，
∴AF=12-2=10．
故答案为：10．
先连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出EF=EG，AE=BE，进而判定Rt△AEF≌Rt△BEG，即可得到AF=BG，据此列出方程12-x=8+x，求得x的值，即可得到AF长．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解．解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
14.答案：解：(1)原式=3x(1-4x)；
(2)原式=n2(m-2)+n(m-2)
=n(m-2)(n+1)．
解析：(1)原式提取公因式即可；
(2)原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15.答案：解：(1)8x+5>9x+6①2x-1<7②，
解不等式①，得：x<-1，
解不等式②，得：x<4，
则不等式组的解集为x<-1；
(2)2x-13-5x+12≤1①5x-1<3(x+1)②，
解不等式①，得：x≥-1，
解不等式②，得：x<2，
则不等式组的解集为-1≤x<2．
解析：(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.答案：解：如图，点M为所作．

解析：作线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为M点．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质．
17.答案：证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BC=CBBD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴∠DBC=∠ECB，
即∠ABC=∠ACB．
解析：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，即可得出结论．
18.答案：解∵a2-2ab+b2-ac+bc=0，
∴(a-b)2-(a-b)c=0，
∴(a-b)(a-b-c)=0，
∵△ABC中b+c>a，
∴a-b-c<0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：△ABC为等腰三角形．
解析：由a2-2ab+b2-ac+bc=0得(a-b)(a-b-c)=0，可知a=b，就可以判断△ABC的形状．
本题考查了应用完全平方公式和提公因式法分解因式，进行等式变形，利用各边长关系判断三角形的形状．关键是因式分解的应用．
19.答案：解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点B1的坐标为(3,-2)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
点B2的坐标为(2,-1)．

解析：(1)根据平移的性质作图，可得出点B1的坐标．
(2)根据中心对称的性质作图，可得出点B2的坐标．
本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
20.答案：解：(1)x=-1，x>2 ;
(2)根据图象可以得到关于x的不等式组kx+b>0k1x+b1>0的解集-1(3)∵点C(1,3)，
∴由图象可知，不等式k1x+b1>kx+b的解集是x>1，
∵AB=3，
∴S△ABC=12AB⋅yC=12×3×3=92．
解析：解：(1)∵一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象，分别与x轴交于点A(-1,0)、B(2,0)，
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=-1，关于x的不等式kx+b<0的解集，为x>2，
故答案为x=-1，x>2；
(2)(3)见答案．
(1)利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
(2)利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
(3)利用三角形面积公式求得即可．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键．
21.答案：解：(1)如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
又∵∠B=30°，
∴Rt△BDE中，DE=12BD，
∴BD=2DE=2CD；
(2)∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2CD=4，
∴Rt△ACD中，AC= AB2-CD2=2 3，
∴△ABD的面积为12×BD×AC=12×4×2 3=4 3．
解析：(1)过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；
(2)依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，AC= AB2-CD2=2 3，再根据△ABD的面积=12×BD×AC进行计算即可．
本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的的性质是解决问题的关键．
22.答案：解：(1)由题意，得：y甲=32+20×0.6x=12x+32，
y乙=20x．
(2)当y甲4，
所以当采摘量大于4千克时，到甲樱桃园更划算；
当y甲=y乙，即12x+32=20x，解得x=4，
所以当采摘量为4千克时，到两家樱桃园所需总费用一样；
当y甲>y乙，即12x+32>20x，解得x<4，
所以当采摘量小于4千克时，到乙樱桃园更划算．
解析：(1)由题意直接得出结论．
(2)根据(1)的结论列不等式或方程解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
23.答案：解：(1)解不等式组2x+4>03x-k<6可得解集为-2∵不等式组的解集为-2∴6+k3=1，
解得k=-3．
(2)解不等式组2x+4>03x-k<6可得解集为-2不等式组有3个正整数解，则正整数解是：1，2，3．
则3<6+k3≤4．
解得：3解析：(1)求出不等式组的解集，根据已知得出6+k3=1，从而求出k的值．
(2)首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组只有3个正整数解即可得到一个关于k的不等式组，求得k的范围．
本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
24.答案：解：(1)等边三角形
(2)过点D作DE⊥AB于点E．
由(1)知，△BCD≌△B'AD，
∴四边形ABCD的面积=等边三角形BDB'的面积，
由旋转可知BC=AB'=1，
∴BB'=AB+AB'=2+1=3，
∵△BDB'是等边三角形，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，BE=12BB'=1.5，
∴DE= BD2-BE2=3 32，
∴S四边形ABCD=S△BDB'=12×3×3 32=9 34；
(3)如图3，连接 BD，由于AD=CD，可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°得到△DAB'，
连接BB'，延长BA，作B'E⊥BE，DF⊥BB'．
由旋转可得△BCD≌△B'AD，
∴∠B'AD=∠C，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB'A,
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAD+∠C=360°-75°-60°=225°，
∴∠B'AD+∠BAD=225°，
∴∠BAB'=360°-225°=135°，
∴∠B'AE=45°．
∵B'A=BC= 2，B'E⊥BE，
∴B'E=AE，AE2+B'E2=B'A2，
∴AE=B'E=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴BB'= B'E2+BE2= 10，
∴S△ABB'=12AB×B'E=12×2×1=1．
由旋转可知∠BDB'=60°，DB=DB'，
∴△BDB'是等边三角形，
∴BD=BB'= 10，
∵DF⊥BB'，
∴BF=12BB'= 102，
∴DF= BD2-BF2= 302，
∴S△BDB'=12× 10× 302=5 32，
∴S四边形ABCD=S四边形BDB'A=S△BDB'-S△ABB'=5 32-1．
解析：解：(1)△DCB绕点D顺时针方向旋转60°得到△DAB'，
∴BD=B'D，∠BDB'=60°，
∴△BDB'是等边三角形；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由旋转可得到BD=DB'，∠BDB'=60°，所以△BDB'是等边三角形；
(2)由旋转可知等边三角形的边长为3，求出S△BDB'即可；
(3)类比(1)的旋转方法，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB'，连接BB'，延长BA，作B'E⊥BE，DF⊥BB'，易证△AEB'是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B'E=1，BB'= 10，求△ABB'和△BDB'的面积和即可．
本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．

陕西省西安市逸翠园中学、高新三中、高新五中2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

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