高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题）

这是一份高中数学讲义微专题50 等比数列性质（含等差等比数列综合题），共13页。试卷主要包含了基础知识，历年好题精选等内容，欢迎下载使用。

一、基础知识
1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列
2、等比数列通项公式：，也可以为：
3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项
（1）若为的等比中项，则有
（2）若为等比数列，则，均为的等比中项
（3）若为等比数列，则有
4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为
当时，则为常数列，所以
当时，则
可变形为：，设，可得：
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列
（2）已知等比数列，则有
① 数列（为常数）为等比数列
② 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列
③ 数列为等比数列
④ 数列为等比数列
6、相邻项和的比值与公比相关：
设，则有：
特别的：若
，则成等比数列
7、等比数列的判定：（假设不是常数列）
（1）定义法（递推公式）：
（2）通项公式：（指数类函数）
（3）前项和公式：
注：若，则是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于，均有
8、非常数等比数列的前项和 与前项和的关系
，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有
例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________
思路：因为，代入条件可得：，因为，所以，
所以
答案：
例2：已知为等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
思路一：由可求出公比：，可得，所以
思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以
答案：D
小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即
答案：A
例4：设等比数列的前项和记为，若，则（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值
解：
，解得：
所以
答案：A
例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为
答案：C
例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可
解：
，设，所以

答案：A
例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件
答案：D
例8：在等比数列中，若，则（ ）
A. B. C. D.
解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则
所以
答案：B
例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（ ）
A. B. C. D.
思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值
解：成等差数列
将代入等式可得：
，而为正项数列，所以不符题意，舍去
答案：C
例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________
思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由 的指数幂特点可得： ，所以只需，从而解出的最大值
解：设的公比为，则有
解得：（舍）或


所以所解不等式为：

可解得：
的最大值为
答案：
三、历年好题精选（等差等比数列综合）
1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：① ② ③，必成等比数列的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A. B. C. D.
5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7、（2015，广东）在等差数列中，若，则______
8、（2014，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大
9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
11、（2014，广东）若等比数列各项均为正数，且，则
12、（2014，安徽）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_______
13、（2014，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，，其中为常数
（1）证明：
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由
14、（2016，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（ ）
A. B. C. D.
16、（2014，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列
（1）求数列的通项公式
（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由
习题答案：
1、答案：C
解析：设等比数列的公比为，由已知可得，则有，所以
，等号成立当且仅当
2、答案：C
解析：由交点对称可知：① 交点所在直线与垂直，所以；② 直线为圆上弦的中垂线，所以该直线过圆心，由圆方程可得圆心坐标：，代入可得：，所以，
3、答案：B
解析：本题从“等比数列中不含0项”入手，不妨设的公比为，可得①中若公比，则无法构成等比数列，同理③中若，则无法构成等比数列；对于②可知均能构成公比为的等比数列
4、答案：D
解析：，可得在中，且最大。所以可知，从而最大
5、答案：A
解析：设公差为，因为成等比数列
解得：

，令
6、答案：C
解析：A选项：反例为公差小于0，且的数列，例如：，所以A错误
B选项：同A中的例子即可判定B错误
C选项：由可知，且，则，再将统一用表示，即，所以C正确
D选项：由等差数列可得：，所以D错误
综上所述：C选项正确
7、答案：10
解析：，可得，所以
8、答案：8
解析：由可得：，由可得，从而，由此可知数列前8项为正项，且数列单调递减，从第9项开始为负项，所以前8项和最大
9、答案：D
解析：由韦达定理可知，且由可知，因为可构成等比数列，所以必为等比中项，，即，所以构成等差数列，同样由判断出则等差中项只能是或，所以有或，解得或，则，所以
10、解析：成等比数列





综上所述：
11、答案：50
解析：由可得，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，从而有：
12、答案：1
解析：方法一：设的公差为，由成等比数列可得：



方法二：由等比数列性质可知：，由合比性质可得：
13、解析：（1）



，即
（2）由题设可得：
由（1）可得：
若为等差数列，则
解得：
下面验证是否能让为等差数列
由（1）可得：是首项为1，公差为4的等差数列

是首项为，公差为4的等差数列
且
为公差是2的等差数列

14、答案：D
解析：
15、答案：D
解析：，所以，所以可得在中，最大，在中，是最小的正数。所以最大
16、解析：（1）设的公差为
成等比数列

或
当时，可得
当时，
或
（2）当时，，故不存在符合条件的
当时，
令
解得或（舍）
，即的最小值为
综上所述：当时，不存在符合条件的；当时，的最小值为