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所属成套资源：第四章《图形的相似》观测试卷
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初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件优秀课时作业
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这是一份初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件优秀课时作业，文件包含44探索三角形相似的条件一训练与观测试卷解答卷doc、44探索三角形相似的条件一训练与观测试卷doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
1．下列各组图形中可能不相似的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
【答案】A
2 . 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，
一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米B．3.2米C．2.30米D．1.5米
【答案】B
为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，
使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．
若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
【答案】A
4 . 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，
他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（ ）
A．12mB．13.5mC．15mD．16.5m
【答案】D
5 . 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，
若，则BD的长度是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
6 .如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，
大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，
则大树C离木桩B（ ）米．
A．60B．50C．40D．45
【答案】B
7 . 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，
若DEBC，=，DE=6cm，则BC的长为（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm
【答案】C
如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，
点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
如图，平行四边形ABCD中，点为中点，若的面积为1，
则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．
将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．
【答案】6
12 . 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．
点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，
那么该古城墙的高度CD是 米．
【答案】8
13 . 如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，
若PQ⊥AQ，则CP= ．
【答案】
如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，
连接DE交BC于点F，则CF：AD= ．
【答案】3∶5
15 .如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，
则小明的影子AM长为 米．
【答案】5
16 . 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，
若，，则的长为 ．
【答案】
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．已知：如图，在中，.求证：.
证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
18 .如图，点D是△ABC的边AB上一点，连接CD，
若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．
解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝12，
∴AC＝2 (负值舍去)
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=45°．
求证：△ABD∽△DCE．
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=45°+∠EDC，∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE.
20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，
交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE－AD=4.9．
如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，
连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.
求证：△ABF∽△BGC；
若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．
解:（1）∵在正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCG=90°，
∵∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
∴△ABF∽△CBG；
（2）∵△ABF∽△CBG，
∴ ，
∵AB=2，G是CD的中点，正方形ABCD，
∴BC=2，CG=1，
∴BG== ，
∴= ，
解得：AF==
如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，
使，连接相交于点.
（1）求证：，并求的度数；
（2）若，试求的值.
解：（1）∵为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴
1．下列各组图形中可能不相似的是（ ）
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
【答案】A
2 . 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，
一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米B．3.2米C．2.30米D．1.5米
【答案】B
为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，
使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．
若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
【答案】A
4 . 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，
他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．
纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，
则树高AB为（ ）
A．12mB．13.5mC．15mD．16.5m
【答案】D
5 . 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，
若，则BD的长度是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
6 .如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，
大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，
则大树C离木桩B（ ）米．
A．60B．50C．40D．45
【答案】B
7 . 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，
若DEBC，=，DE=6cm，则BC的长为（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm
【答案】C
如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，
点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
如图，平行四边形ABCD中，点为中点，若的面积为1，
则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
10 . 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．
将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．
【答案】6
12 . 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．
点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，
已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，
那么该古城墙的高度CD是 米．
【答案】8
13 . 如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，
若PQ⊥AQ，则CP= ．
【答案】
如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，
连接DE交BC于点F，则CF：AD= ．
【答案】3∶5
15 .如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，
则小明的影子AM长为 米．
【答案】5
16 . 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，
若，，则的长为 ．
【答案】
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．已知：如图，在中，.求证：.
证明：∵，
∴.
∵， 且，
∴，
∴.
18 .如图，点D是△ABC的边AB上一点，连接CD，
若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC的长．
解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD·AB，
∴AC2＝12，
∴AC＝2 (负值舍去)
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=45°．
求证：△ABD∽△DCE．
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=45°+∠EDC，∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE.
20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，
交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE－AD=4.9．
如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，
连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.
求证：△ABF∽△BGC；
若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．
解:（1）∵在正方形ABCD中，
∴∠ABE=∠BCG=90°，
∵∠BAE+∠ABF=90°，∠CBG+∠ABF=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
∴△ABF∽△CBG；
（2）∵△ABF∽△CBG，
∴ ，
∵AB=2，G是CD的中点，正方形ABCD，
∴BC=2，CG=1，
∴BG== ，
∴= ，
解得：AF==
如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，
使，连接相交于点.
（1）求证：，并求的度数；
（2）若，试求的值.
解：（1）∵为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴
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