2024年沪教版七年级数学暑期提升精讲 第12讲 整式的乘法与因式分解(知识点+练习)

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一、单选题
1．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．多项式与的公因式是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．若是一个完全平方式，则的值是（ ）
A．B．8C．12或D．7或
7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设P是关于x的四次多项式，Q是关于x的三次多项式，下列判断正确的是（ ）
A．P+Q是关于x的七次多项式
B．P﹣Q是关于x的一次多项式
C．P•Q是关于x的四次多项式
D．P•Q是关于x的七次多项式
9．若中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
10．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算： ．
12．计算： ．
13． ．
14．已知，则 ．
15．若2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则23m+10n＝ ．
16．边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知a＋b＝10，ab＝24．则图中阴影部分的面积为 ．
17．的结果是 ．
18．已知，，，则代数式的值为 ．
三、解答题
19．计算下列各题：
(1)；
(2)．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
22．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
23．分解因式：．
24．因式分解：．
25．（1）计算：
①；
②．
（2）化简求值：
①，其中，；
②，其中，．
26．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
27．已知：A＝，B＝C＝．
(1)求证：；
(2)当时，指出A与C哪个大？并说明理由；
(3)设，则m的取值范围为 ．（直接写出答案）
28．（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________．
（2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立．
（3）利用（2）得到的等式分解式：．

29．7张如图1的长为，宽为b的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．

(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含的代数式表示），长方形的面积为____________（用含的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，.
①用含的代数式表示；
②当的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么必须满足什么条件?
30．如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形纸片，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．

(1)通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式______（填选项前面的字母）；
A．
B．
C．
D．
(2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：
①如图，大正方形ABCD的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积；

②计算：．
31．【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x  c1a2x  c2  a1a2x2 a1c2x  a2c1x  c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x  c1c2．
反过来，就得到：．
我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x  c1a2 x  c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x  2)(x  3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）= ；
（2）= ．
【探究与拓展】
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式= ；
（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．