![2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第03讲 绝对值与有理数的比较大小(知识点+练习)01](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/15972101/1-1720826152783/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
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2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第03讲 绝对值与有理数的比较大小(知识点+练习)
展开1.绝对值
二.有理数的比较大小
方法见思维导图
【考点一 绝对值的意义】
例1.(2023·江苏徐州·中考真题)如图,数轴上点分别对应实数,下列各式的值最小的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据数轴可直接进行求解.
【详解】解:由数轴可知点C离原点最近,所以在、、、中最小的是;
故选C.
【点睛】本题主要考查数轴上实数的表示、有理数的大小比较及绝对值,熟练掌握数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及绝对值是解题的关键.
变式1-1.(2021·四川南充·中考真题)数轴上表示数和的点到原点的距离相等,则为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且,可得和互为相反数,由此即可求得m的值.
【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等,,
∴和互为相反数,
∴+=0,
解得m=-1.
故选D.
【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离,根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键.
变式1-2.(2024九年级·全国·专题练习)如图,在数轴上,点A表示,点B与点A位于原点的两侧,且与原点的距离相等.则点B表示的数是 .
【答案】
【分析】由绝对值的定义,再根据原点左边的数是负数即可得出答案.
【详解】解:由题意得:点B表示的数是.
故答案为:.
【点睛】此题考查了数轴,绝对值的意义,掌握绝对值的意义是解本题的关键.
变式1-3.(2021·江苏常州·中考真题)数轴上的点A、B分别表示、2,则点 离原点的距离较近(填“A”或“B”).
【答案】B
【分析】先求出A、B点所对应数的绝对值,进而即可得到答案.
【详解】解:∵数轴上的点A、B分别表示、2,
∴,且3>2,
∴点B离原点的距离较近,
故答案是:B.
【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离,掌握绝对值的意义,是解题的关键.
【考点二 求一个数的绝对值】
例2.(22-23七年级上·福建宁德·期末)2023的绝对值为( )
A.2023B.C.D.
【答案】A
【分析】根据正数的绝对值是它本身进行解答即可.
【详解】解:,故A正确.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义,解题的关键是熟练掌握绝对值的意义,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
变式2-1.(2023·山东淄博·中考真题)的运算结果等于( )
A.3B.C.D.
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质:负数的绝对值等于它的相反数直接求解即可得到答案;
【详解】解:由题意可得,
,
故选:B;
【点睛】本题考查去绝对值符号,解题的关键是熟练掌握负数的绝对值等于它的相反数.
变式2-2.(2021·湖南永州·中考真题)的相反数为( )
A.B.2021C.D.
【答案】B
【分析】根据绝对值、相反数的概念求解即可.
【详解】解:由题意可知:,
故的相反数为,
故选:B.
【点睛】本题考查相反数、绝对值的概念,属于基础题,熟练掌握概念是解决本题的关键.
变式2-3.(22-23七年级上·广东汕头·期中)下列各对数中,互为相反数的是( )
A.2与B.和
C.与 D.与
【答案】C
【分析】先分别计算每组中的两个数,再根据相反数的定义判断即可.
【详解】A. 2与不是相反数,故不符合题意;
B. =,故不符合题意;
C. ,,2与-2互为相反数,故符合题意;
D. ,, = ,故不符合题意.
故选:C
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质,相反数的定义.熟练掌握以上知识是解题的关键.
变式2-4.(2022·江苏泰州·中考真题)若,则的值为 .
【答案】
【分析】将代入,由绝对值的意义即可求解.
【详解】解:由题意可知:当时,,
故答案为:.
【点睛】本题考查了绝对值的计算,属于基础题.
变式2-5.(22-23七年级上·江苏徐州·期中)一个数的绝对值等于8,这个数的等于 .
【答案】
【分析】根据绝对值的性质进行解答.
【详解】解:,,
,
一个数的绝对值等于8,这个数的等于,
故答案为:.
【点睛】本题考查了绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,熟练掌握绝对值的性质是解题的关键.
【考点三 绝对值非负性的应用】
例3.(22-23六年级下·上海浦东新·期中),则的值是( )
A.B.C.D.1
【答案】A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值,然后代入代数式计算即可.
【详解】解:∵,
∴
∴,
∴.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点,熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键.
变式3-1.(21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习)若与互为相反数,则a+b的值为( )
A.3B.﹣3C.0D.3或﹣3
【答案】A
【分析】先根据相反数的定义可得,再根据绝对值的非负性可得,,从而可得,然后代入计算即可得.
【详解】解:与互为相反数,
,
又,
,,
解得,
则,
故选:A.
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用,利用非负数互为相反数得出这两个数均为零0是解题关键.
变式3-2.(2023九年级·全国·专题练习)如果,那么a,b的值为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可.
【详解】解:∵,
∴,
解得,,
故选:C.
【点睛】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.
变式3-3.(2021七年级·全国·专题练习)若,则a的取值范围是( ).
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据绝对值的代数意义或绝对值的非负性解题.
【详解】解:【方法1】
正数的绝对值是本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,由此可知,当时,,即.选B.
【方法2】
任何数的绝对值都是非负数,即.
∵,
∴,即.
故选B.
【点睛】绝对值的非负性是指在中,无论a是正数、负数或者0,都是非负数(正数或0).这样的非负数我们在后面的学习中会陆续接触到.绝对值的非负性主要应用在解决“若几个非负数的和为零,则这几个非负数都是0”等问题上.
变式3-4.(22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习)对于任意有理数,下列式子中取值不可能为0的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案.
【详解】解:A.当时,,则,故A选项不符合题意;
B.当时,,故B选项不符合题意;
C.,则,不可能为0,故C选项符合题意;
D.当时,,故D选项不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查了绝对值的非负性,解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数,两个非负数的和一定为非负数.
【考点四 化简绝对值】
例4.(2021·贵州贵阳·中考真题)如图,已知数轴上两点表示的数分别是,则计算正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根据数轴上两点的位置,判断的正负性,进而即可求解.
【详解】解:∵数轴上两点表示的数分别是,
∴a<0,b>0,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查了数轴,绝对值,掌握求绝对值的法则是解题的关键.
变式4-1.(21-22七年级上·重庆万州·期末)对于有理数x,y,若,则的值是( ).
A.B.C.1D.3
【答案】B
【分析】由,可得异号,再分两种情况讨论,当时, 当时,再化简绝对值即可得到答案.
【详解】解: ,
异号,
当时,
当时,
故选B
【点睛】本题考查的是绝对值的化简,有理数的乘法与除法的符号确定,除法运算,掌握“绝对值的化简”是解本题的关键.
变式4-2.(20-21七年级上·浙江金华·阶段练习)已知a,b,c为非零有理数,则的值不可能为( )
A.0B.-3C.-1D.3
【答案】A
【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论,找出符合要求的取值,代入求值.
【详解】解:对a,b,c的取值情况分类讨论如下:
①当a,b,c都是正数时,,所以和为3;
②当a,b,c都是负数时,=-1,所以和为-3;
③当a,b,c中有两个正数,一个负数时,中有两个1,一个-1,所以=1,
④当a,b,c中有一个正数、两个负数时,中有两个-1,一个+1,所以=-1,
总之,=±1或±3.
故选:A.
【点睛】此题主要考查了绝对值,分类讨论时要全面,要做到不重复不遗漏.规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
变式4-3.(21-22七年级上·湖南长沙·期末)有理数a、b、c在数轴上位置如图,则的值为( ).
A.B.C.0D.
【答案】A
【分析】根据数轴,确定每个数的属性,每个代数式的属性,后化简即可.
【详解】根据数轴上点的位置得:,且,
则,,,
则.
故选A.
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简,掌握获取数轴信息,熟练化简是解题的关键.
变式4-4.(22-23七年级下·天津南开·开学考试)若,那么 .
【答案】7
【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号,然后去绝对值计算即可.
【详解】解:,
,,
,
故答案为:7.
【点睛】本题考查了绝对值的知识,解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号.
变式4-5.(22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图所示,已知数a,b,c在数轴上对应点的位置∶化简得 .
【答案】
【分析】根据数轴判断a,b,c大小,运用绝对值的性质解答即可;
【详解】根据图上的数轴可知:,
,
故答案为:
【点睛】该题主要考查了绝对值的化简,解题的关键是掌握绝对值的性质
变式4-6.(21-22七年级上·吉林长春·阶段练习)数a,b,c在数轴上的位置如图所示:化简:.
【答案】
【分析】根据数轴标注的大小关系可以确定,去掉绝对值要变号,去掉绝对值不变号,去掉绝对值后合并同类项即可.
【详解】解:原式=
=
=
【点睛】本题考查了去绝对值化简,理解绝对值的含义并熟练掌握去绝对值的方法是解题的关键.
变式4-7.(23-24七年级上·全国·课后作业)在数轴上,,,对应的数如图所示,.
(1)确定符号:______0,_____0,______0,______0,_____0;
(2)化简:;
(3)化简:.
【答案】(1)< ,<,>, =, <;
(2)
(3)
【分析】(1)根据数轴得到,,结合有理数加减法则求解即可得到答案;
(2)结合(1)根据绝对值的性质化简即可得到答案;
(3)结合(1)根据绝对值的性质化简即可得到答案;
【详解】(1)解:由数轴得,
,,,
故答案为:< ,<,>, =, <;
(2)解:原式;
(3)解:原式;
【点睛】本题考查根据数轴判断式子大小及绝对值化简,解题的关键是正确读懂数轴.
【考点五 解绝对值方程】
例5.(22-23七年级下·河南周口·期中)方程的解是( )
A. B.
C.或D.或
【答案】D
【分析】先根据绝对值的双值性,得到,分别求解即可.
【详解】解:,
或,
解得:或,
故选:D.
【点睛】本题考查了含绝对值方程的解法,熟记绝对值的双值性进行分类讨论是解题的关键.
变式5-1.(22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习)能使式子成立的数是( )
A.任意一个负数B.任意一个正数C.任意一个数D.任意一个非正数
【答案】D
【分析】分当时,当时,当时,三种情况去绝对值,看方程是否有解即可得到答案.
【详解】解:当时,
∵,
∴,
∴,这与事实矛盾,不符合题意;
当时,
∵,
∴,
∴,这与事实矛盾,不符合题意;
当时,
∵,
∴,等式恒成立,符合题意;
综上所述,,
故选D.
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程,利用分类讨论的思想求解是解题的关键.
变式5-2.(22-23七年级上·广东汕头·期中)如果,那么a的值为 .
【答案】6或/或6
【分析】根据“互为相反数的两个数的绝对值相等”进行计算即可.
【详解】∵,
或,
解得或,
故答案为:6或.
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质:互为相反数的两个数的绝对值相等,熟练掌握这一性质是解题的关键.
变式5-3.(21-22七年级上·福建福州·期末)阅读材料:我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”.如:|x|=2,|2x﹣1|=3,…都是含有绝对值的方程.怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是:含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程.我们知道,由|x|=2,可得x=2或x=﹣2.
【例】解方程:|2x﹣1|=3.我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题.
解:根据绝对值的意义,得2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3.
解这两个一元一次方程,得x=2或x=﹣1.
根据以上材料解决下列问题:
(1)解方程:|3x﹣2|=4;
(2)拓展延伸:解方程|x﹣2|=|3x+2|.
【答案】(1)x=2或x=
(2)x=-2或x=0
【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解.
【详解】(1)解:根据绝对值的意义得:3x-2=4或3x-2=-4.
解得:x=2或x=;
(2)由绝对值的意义得:x-2=3x+2或x-2+3x+2=0.
解得:x=-2或x=0.
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法,理解绝对值的意义是求解本题的关键.
【考点六 绝对值的几何意义】
例6.(2023七年级上·江苏·专题练习)计算的最小值为( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【分析】由,可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和,即可求解.
【详解】解:
,
表示在数轴上点x与1和之间的距离的和,
当时,
有最小值3.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用,数轴上两点之间的距离,理解绝对值的意义,掌握距离的求法是解题的关键.
变式6-1.(20-21七年级上·陕西西安·期中)已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|=10,则x+y的最小值是 .
【答案】
【分析】根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小,可得答案.
【详解】解:∴,
∴,,
∴的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查数轴上两点间距离,掌握线段上的点与线段两端点的距离的和最小是解题的关键.
变式6-2.(16-17七年级上·江苏无锡·期中)结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____;表示和1两点之间的距离是_____;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于.
(2)如果,那么______;
(3)若,,且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B,则A、B两点间的最大距离是______,最小距离是_____.
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间,则_____.
(5)当_____时,的值最小,最小值是_____.
【答案】(1);
(2)或
(3);
(4)
(5),
【分析】(1)根据数轴,观察两点之间的距离即可解决;
(2)根据数轴上两点间的距离,分两种情况即可解答;
(3)根据数轴上两点间的距离分别求出a,b的值,再分别讨论,即可解答;
(4)根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解;
(5)分类讨论,即可解答.
【详解】(1)解:由数轴得
数轴上表示和的两点之间的距离是:;
表示和两点之间的距离是:;
故答案:;.
(2)解:由得,
,
所以表示与距离为,
因为与距离为的是或,
所以或.
故答案:或.
(3)解:由,得,
,,
所以表示与的距离为,与的距离为,,
所以或,或,
当,时,则A、B两点间的最大距离是,
当,时,则A、B两点间的最小距离是,
故答案:,.
(4)解:
所以表示与的距离加上与的距离的和,
因为表示数a的点位于与之间,
所以,
故答案:.
(5)解:
,
所以表示与、、的距离之和,
①如图,当表示的点在的右侧时,即,
由数轴得:
,
所以,
所以;
②如图,当表示的点在和的之间时,即,
由数轴得:
因为,
所以,
所以;
③如图,当表示的点在和的之间时,即,
由数轴得:
因为,
所以,
所以;
④当表示的点在或或的点上时,
即或或,
如图,当时,
;
如图,当时,
;
如图,当时,
;
因为,
所以当表示的点在或或的点上时,仅当时,的最小值为;
综上所述:当,的最小值为.
故答案: ,.
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用,数轴上用绝对值表示两点之间的距离,理解绝对值表示距离的意义,掌握距离的求法是解题的关键.
【考点七 有理数比较大小】
例7.(2021·山东泰安·中考真题)下列各数:,,0,,其中比小的数是( )
A.B.C.0D.
【答案】A
【分析】根据正数比负数大,正数比0大,负数比0小,两个负数中,绝对值大的反而小解答即可.
【详解】解:∵∣﹣4∣=4,4>3>2.8,
∴﹣4<﹣3<﹣2.8<0<∣﹣4∣,
∴比﹣3小的数为﹣4,
故选:A.
【点睛】本题考查有理数大小比较,熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键.
变式7-1.(21-22七年级上·河北沧州·期末)a、b两数在数轴上位置如图所示,将a、b、、用“<”连接,其中正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】根据a、b在数轴上的位置,可对a、b赋值,然后即可用“<”连接;
【详解】令 ,则 ,
则可得:;
故选:C
【点睛】本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识,同学们注意赋值法的运用,这可以给我 们解题带来很大的方便
变式7-2.(22-23七年级上·湖南永州·期中)已知,则a,,,的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】利用特殊值法进行判断即可,进行判断即可.
【详解】解:令,
则:,
∵
∴;
故选D.
【点睛】本题考查比较有理数大小.熟练掌握特殊值法,是解题的关键.
变式7-3.(23-24七年级上·全国·课后作业)比较下列各组数的大小.
(1)与;
(2)与;
(3)与;
(4)与.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)先去绝对值,再比较大小;
(2)比较两个负数绝对值的大小,绝对值大的反而小;
(3)先去绝对值、多重符号,再比较大小;
(4)比较两个负数绝对值的大小,绝对值大的反而小.
【详解】(1)解:,,
;
(2)解:,
;
(3)解:,,
;
(4)解:,
.
【点睛】本题考查比较有理数的大小,去绝对值,去多重符号等,解题的关键是掌握“两个负数比较大小时,绝对值大的反而小” .
变式7-4.(22-23七年级上·浙江台州·期末)(1)在数轴上分别表示出下列三个数:,,,
(2)有理数m、n在数轴上的对应点如图所示:
①在数轴上分别表示出数, ,
②把,,,这四个数从小到大用“”号连接.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②
【分析】(1)先化简各数,再在数轴上表示各数即可;
(2)①由,再利用相反数的含义在数轴上描出,即可;②利用数轴比较,,,的大小即可.
【详解】解:(1)∵,,,
在数轴上表示如下图,
(2)①∵,
∴,
在数轴上分别表示数,如下图;
②由数轴可得:.
【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数,相反数的含义,绝对值的含义,绝对值的化简,利用数轴比较有理数的大小,掌握以上基础知识是解本题的关键.
变式7-5.(23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习)在如图所示的数轴上表示下列各数,并用“”将各数连接起来.
【答案】图见解析,
【分析】先把各数表示在数轴上,然后按数轴上比较大小的方法,把各数用“”连接起来.
【详解】解:,把各数表示在数轴上,如图所示:
用“”连接如下:
【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数以及有理数大小的比较.在数轴上表示的数,右边的总大于左边的.
一、单选题
1.(23-24七年级上·湖北襄阳·期末)的绝对值是( )
A.B.2024C.D.
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义,根据正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数即可得出答案.
【详解】解:,
故选:B.
2.(23-24七年级上·重庆长寿·期中)下列各数中,绝对值最小的是( )
A.2B.C.D.
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值,有理数的大小比较,熟知正数和0的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数是解题的关键.分别求出四个数的绝对值即可得到答案.
【详解】解:,,,,
,
绝对值最小的是,
故选∶C.
3.(23-24七年级上·广东清远·期中)p在数轴上的位置如图所示,则( )
A.B.C.D.1
【答案】D
【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质与化简等知识,熟练掌握绝对值的性质是解题的关键,注意本题运用了数形结合思想,根据观察P点在数轴上表示的数字,再根据绝对值的非负性求解即可.
【详解】解:根据题意得:,
,
,
故选:D.
4.(23-24七年级上·山西临汾·阶段练习)下列说法中,正确的是( )
A.绝对值最小的数是0B.最大的负数是
C.最小的有理数是0D.最小的整数是0
【答案】A
【分析】本题考查了有理数和绝对值,根据有理数和绝对值的有关性质,对各选项分析判断后选择.
【详解】解:A、绝对值最小的数是0,故该选项正确;
B、最大的负整数是,故该选项错误;
C、负数也是有理数,且比0小,故该选项错误;
D、负整数比0小,故该选项错误;
故选:A.
5.(23-24七年级上·广东肇庆·期末)如图所示,根据有理数a、b、c在数轴上的位置,比较a、b、c、的大小,正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】本题考查了相反数,绝对值和有理数的大小比较,能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键,在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大.
根据数轴得出|,再比较大小即可.
【详解】解:从数轴可知:,
故选:B.
6.(23-24七年级上·浙江杭州·期末)在数轴上,下列数表示的点离原点最远的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】本题考查了数轴,绝对值的定义,根据绝对值越大的数表示的点离原点越远进行解答便可,一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.
【详解】解:∵,
∴离原点最远的是,
故选:A.
7.(22-23七年级上·浙江湖州·期末)如果,那么等于( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】本题考查的是化简绝对值,先判断,,再化简绝对值即可.
【详解】解:∵,
∴,,
∴;
故选A
8.(23-24七年级上·山东德州·阶段练习)有理数在数轴上的位置如图所示,则化简得到的结果是( )
A.0B.C.D.
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减,数轴,以及绝对值.根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简,去括号合并即可得到结果.
【详解】解:根据数轴上点的位置得:,
∴,,,,
则原式.
故选:B.
9.(23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)下列各式中,大小关系正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小.
根据有理数大小比较的法则,绝对值的意义逐一判断即可.
【详解】解:A. ,故本选项不合题意;
B.,,故本选项不合题意;
C. ,故本选项合题意;
D. ,,故本选项不合题意.
故选:C.
10.(23-24七年级上·浙江温州·期中)如图所示为利用计算机编制的工作程序.若输入的数是3,则输出的数为( )
A. B.92C. D.116
【答案】C
【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算,绝对值,有理数比较大小.
根据题意,将输入的数代入计算判断即可.
【详解】解: 当输入的数是3,则.
因为,所以输入的数是,则.
因为,所以输出的数是.
故答案为:C.
二、填空题
11.(23-24七年级上·广东广州·期中)已知,,均为有理数,且满足,,那么的值为 .
【答案】2或10
【分析】本题考查了绝对值的性质,求绝对值的值.根据绝对值的性质,求得和,得到,再分类讨论,计算即可求解.
【详解】解:,,
,,
,,
,
于是可分类计算:
①,
②,
③,
④;
综上,的值为2或10.
故答案为:2或10.
12.(23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习)比较两数大小: (填“”,“”或“”).
【答案】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数比较大小,先将各数化简,再根据正数大于0,负数小于0,正数大于负数,即可得出答案.
【详解】解:,,
,
故答案为:.
13.(23-24七年级上·广东潮州·期中)如果一个数的绝对值是,那么这个数是 .
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的性质,根据负数的绝对值为它的相反数,正数的绝对值是它本身,进行作答即可.
【详解】解:∵一个数的绝对值是
∴这个数是
故答案为:
14.(23-24七年级上·湖北随州·期末)的相反数是 ,的绝对值是 ,2023的倒数是 .
【答案】 3
【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、相反数等知识点,掌握乘积为1的两个数互为倒数,正数和0的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0成为解题的关键.
根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可.
【详解】解:的相反数是,的绝对值是3,2023的倒数是
故答案为:,3,.
15.(23-24七年级上·四川成都·阶段练习)已知实数在数轴上的对应点如图所示,化简: .
【答案】
【分析】
本题考查了化简绝对值及数轴,整式的加减,根据数轴得,且,再进行化简绝对值即可,根据点在数轴上的位置判断式子的正负是解题的关键.
【详解】解:由题可知:,,
∴,
∴,
故答案为:.
三、解答题
16.(23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习)若,求的值.
【答案】5
【分析】本题考查非负数的性质.根据非负数的性质,可得,,求出a、b的值,据此即可求解.
【详解】解:∵,
∴,,
∴,,
∴.
17.(22-23七年级上·江西宜春·期中)如下图,数轴上的三点A,B,C分别表示有理数a,b,c.(O为原点)
(1) 0, 0, 0(用“<”或“>”或“=”号填空);
(2)化简:.
【答案】(1),,
(2)
【分析】本题主要考查了有理数大小比较,绝对值的性质等知识点,
(1)直接利用数轴结合的位置进而判断得出答案;
(2)利用(1)中的符号,结合绝对值的性质化简得出答案;
正确去掉绝对值是解决此题的关键.
【详解】(1)由数轴知:,,
∴,,,
故答案为:,,;
(2)
.
18.(23-24七年级上·广东深圳·期中)【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美的结合,研究数轴我们发现了许多重要的规律:数轴上A点、B点表示的数为a、b,则A,B两点之间的距离,若,则可化简为.
(1)已知数轴上有A、B两点,分别表示的数为,8,那么A、B两点的距离为 ;
【问题探究】为求代数式的最小值,可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离,看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离,并进行以下讨论:
当x在和3中间时,;
当x在-1左边时有,;
当x在3右边时也有;
综上所述,代数式最小值为4;
(2)的最小值为 ;
【方法应用】:
(3)已知,则 ;
【迁移应用】:
(4)若m,n为整数,且m,n满足,则当 , ,的最大值为 .
【答案】(1)18;(2)5;(3)5或;(4)、0、1、2;、、、0、1; 3
【分析】本题主要考查了数轴与绝对值,一元一次方程的应用等,熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键.
(1)根据两点之间的距离公式求解即可;
(2)根据[问题探究]可知:当x在和3之间时,有最小值,然后利用两点之间的距离公式求解即可;
(3)分;;三种情况讨论即可;
(4)利用[问题探究]中的结论可知:,,结合m,n为整数,得出、为整数,则可求,,然后利用[问题探究]中的结论求出m,n的值,即可求解.
【详解】解:(1),
故答案为:18;
(2)当x在和3之间时,有最小值,为:,
故答案为:5;
(3)当时,方程化为:,
解得:,
当时,方程化为:,
解得:,
当时,方程化为:,
无解,
故答案为:5或;
(4)根据题意,得,,
∵m,n为整数,
∴、为整数,
∵,
∴,,
∴m的值为:-、0、1、2;,
n的值为:、、、0、1,
∴的最大值为:3,
故答案为:、0、1、2;、、、0、1; 3.
19.(23-24七年级上·江苏扬州·期中)已知有理数,其中数在如图所示的数轴上对应点,是负数,且在数轴上对应的点与原点的距离为.
(1)______,______;
(2)写出大于的所有负整数:
(3)在数轴上标出表示的点,并用“”连接起来.
【答案】(1),;
(2)、、;
(3).
【分析】()根据点表示的数即可求出,根据是负数且到原点的距离为可以得出的值;
()根据有理数的大小比较法则即可得出答案;
()先在数轴上表示出各个数,再比较大小即可;
本题考查了有理数的比较大小,相反数,数轴,绝对值等知识点,能熟记有理数的大小法则是解题的关键.
【详解】(1)解:由图可得,,
∵是负数,且在数轴上对应的点与原点的距离为,
∴,
故答案为:,;
(2)解:为,,;
(3)解:,,
各数在数轴上表示为:
由数轴可得,.
20.(23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习)比较下列数的大小.
(1)和;
(2)和;
(3)和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简绝对值、化简多重符号,熟练掌握正数大于零,负数小于零,正数大于负数,两个负数进行比较,绝对值大的反而小,是解此题的关键.
(1)根据两个负数进行比较,绝对值大的反而小,即可得出答案;
(2)先将各数化简,再进行比较即可得出答案;
(3)先将各数化简,再进行比较即可.
【详解】(1)解:,,,
;
(2)解:,,,
;
(3)解:,,
.
21.(23-24七年级上·北京·期末)比较下列各组数的大小:
(1)与;
(2)与;
(3)与;
(4)与.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数大小比较,多重符号化简,绝对值运用,小数分数的互化,根据正数大于,负数小于,正数大于负数;两个正数中绝对值大的数大;两个负数中绝对值大的反而小,解答本题即可.
(1)将分数化为小数,根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可;
(2)将带分数化为假分数,根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可;
(3)化简多重符号,将分数化为小数,根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可;
(4)化简绝对值,多重符号,根据正数大于负数进行解答即可.
【详解】(1)解:,,
,
;
(2),,
,
;
(3),,
,
;
(4),,
,
.模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理(吃透教材)
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.借助数轴理解绝对值的意义及性质;
2.会求一个数的绝对值;
3.会利用数轴比较两个负数的大小.
基础
绝对值的定义:数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值,记为|a|.
【补充】
1)由于绝对值是两点间的距离,因此绝对值一定是大于等于0的,也就是非负数.
2) 数轴上表示一个数的点离原点越远,则这个数的绝对值就越大,反之,数轴上表示一个数的点离原点越近,这个数的绝对值就越小.
补充与拓展
绝对值的性质:正数的绝对值是它本身;0绝对值是0;负数的绝对值是它的相反数.
【补充】若|a|=a(或|a|-a=0),则a≥0,若|a|=-a(或|a|+a=0),则a≤0.
几何意义:一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离.
【补充】:1)|a|=|a-0|,表示数轴上点a的到原点的距离;
|a-b|=|b-a|,表示数轴上点a到点b的距离(或点b到点a的距离);
|a+b|=|a-(-b)|,表示数轴上点a到点-b的距离;
∣x-a∣+∣x-b∣,表示数轴上点x到点a,点b的距离之和.
绝对值的非负性的应用:几个非负数(式)之和为0,则需满足每个非负数(式)均为0.
例:若|a|+|b|=0,则a=0且b=0(其中a、b可以是多项式).
在初中阶段常用的非负数有三类:绝对值、平方(偶数次方)和算术平方根.
若a=b或a=-b,则|a|=|b|(反之亦成立).
要求一个数的绝对值,先判定这个数是正数、负数还是0,再根据绝对值的性质确定最终的结果.
化简含绝对值代数式的方法:首先需要去分析判断这个代数式的正负性,再根据绝对值的性质进行化简.
例如:①若a>b,则|a-b|=a-b;②若a=b,则|a-b|=0;③若a
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