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2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第05讲 有理数乘除法(知识点+练习)
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【考点一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】
例1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是( )个．
A．1B．2C．3D．4
变式1-1．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）若，且，那么（ ）
A．B．
C．异号D．中有一个负数，且负数的绝对值较大
变式1-2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【考点二 利用有理数的乘法法则进行计算】
例2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）若，，那么的值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
变式2-1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ．
变式2-4．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点三 有理数的乘法与相反数、数轴、绝对值的综合】
例3．（23-24七年级上·云南·阶段练习）已知 ，则式子：（ ）
A．2B．C．或2D．0
变式3-1．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知，，且，那么按照由小到大的顺序排列是（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）若的相反数是，，且，则的值为 ．
变式3-4．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若与互为相反数，试求x与y的积．
变式3-5．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知是5的相反数．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【考点四 有理数乘法的运算律】
例4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（ ）
A．加法交换律B．乘法结合律
C．乘法分配律D．乘法交换律和结合律
变式4-1．（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（ ）
A．2B．1C．0D．
变式4-2．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ．
【考点五 有理数乘法的实际应用】
例5．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（ ）
A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年
变式5-1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若，，且，则的值为( )
A．2B．C．2或D．8或
变式5-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（ ）分钟．
A．120B．130C．150D．180
变式5-3．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（ ）
A．亏损6元B．不亏不赚C．盈利6元D．亏损5元
变式5-4．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）出租车司机小李某天上午运营是在儿童公园门口出发，沿南北走向的人民大街进行的，如果规定向北为正，向南为负，那么他这天上午所接送七位乘客的行车里程（单位：km）如下：．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在儿童公园的哪个方向？距离是多少？
(2)若出租车消耗天然气量为，小李接送七位乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(3)如果出租车的起步价为3千米以内10元，超出部分每千米3元，则小李一天的营业额是多少元？
变式5-5．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）“国庆”期间，某超市购进一批价格为每斤6元的苹果，原计划每天卖50斤，但实际每天的销量与计划销量有出入，如表是某周的销售情况（记超额为正，不足为负，单位：斤）：
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出苹果 斤；
(2)根据记录的数据，求销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？
(3)若每斤按10元出售，那么该超市这周的利润一共有多少元？
【考点六 与有理数乘法运算有关的新定义问题】
例6．（22-23七年级下·广西南宁·开学考试）定义一种新运算：，例如，那么的值为（ ）
A．14B．C．5D．
变式6-1．（22-23七年级上·广西来宾·阶段练习）现定义一种新运算“*”，规定，如，则等于（ ）
A．B．125C．D．120
变式6-2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）对于有理数m、n（m、n为正整数且），定义一种新运算，规定，则 ．
变式6-3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【考点七 求一个数的倒数】
例7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）的倒数是 ．
变式7-1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ．
变式7-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若互为相反数，互为倒数，则 ．
【考点八 有理数除法运算】
例8．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8-1．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8-2．（21-22七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点九 有理数乘除混合运算】
例9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ．
变式9-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
变式9-3．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【考点十 巧用分配律进行有理数四则混合运算】
例10．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
变式10-1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）用简便方法计算：．
变式10-2．（2023七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【考点十一 巧用倒数解有关有理数除法问题】
例11．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知＝________．
变式11-1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料，然后回答问题．
计算
解法一：
原式
解法二：
原式
解法三：原式的倒数为
故原式
(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________；
(2)根据材料所给的正确方法，计算：
变式11-2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）阅读下列材料：计算：．
解法1思路：原式；对吗？答：____________．
解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300．
(1)请你用解法2的方法计算：；
(2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！
【考点十二 利用有理数的四则运算解决实际问题】
例12．（23-24七年级上·云南·阶段练习）为体现社会对高考的尊重，高考第一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送考生，向西为负，小王从自己所在小区出发接上第一个考生（单位：千米）：
．
(1)送完最后一个考生，小王在自己家的什么位置？
(2)若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午接送考生，汽车共耗油多少升？
变式12-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（ ）．
A．B．C．1D．3
变式12-2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
；；；；；；．
(1)计算到时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从开始到为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
变式12-3．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
变式12-4．（2023·安徽·一模）为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏．假如每张防护栏长米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为米．
(1)按照这样的规律每增加1根立柱，则护栏总长度将增大 米；
(2)若某安全防护栏一共有n（n为正整数）根立柱，求护栏的总长度（用含n的代数式表示，请写出具体的计算过程，最终结果要最简）．
【问题解决】
(3)现要按照以上规律围一个正方形的安全防护栏，且每一边的交界处为1根立柱．已知围成后护栏总长度为，则安全防护栏中使用了根多少立柱？
变式12-5．（20-21七年级上·全国·单元测试）某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：＋23，﹣30，﹣16，+35，﹣33，（“＋”表示进库，“一”表示出库）
(1)经过这5天，仓库里的货品是 （填“增多了”还是“减少了”）．
(2)经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨？
(3)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？
【考点十三 与有理数混合运算有关的分类讨论问题】
例13．（2023·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
变式13-1．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且，则 ．
变式13-2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是有理数，若，则 ．
一、单选题
1．（2024·四川德阳·一模）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，计算结果最大的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北邯郸·三模）算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（ ）．
A．＋B．C．×D．÷
4．（23-24六年级下·全国·假期作业）如果，那么（ ）
A．B．
C．a，b异号且负数的绝对值较小D．a，b异号且负数的绝对值较大
5．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
①
②
③
A．解题运用了乘法交换律B．从①步开始出错
C．从②步开始出错D．从③步开始出错
6．（2024·河北邯郸·二模）计算的结果是（ ）
A．8B．C．2D．
7．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．1C．2D．3
8．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24七年级下·重庆·期中）定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）如果，，，那么 ．
11．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ．
12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是 ．
13．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）已知：，为有理数，且满足：，则 ．
14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题
15．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如．
(1)求的值．
(2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明．
16．（23-24七年级下·山东淄博·期中）阅读下面的材料：
；……
利用上面材料中的方法解答下列各题：
(1)①___________；
②______________________；
你得到的规律是：___________（用含n的式子表示，n为大于1的整数）．
(2)计算：
17．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题．
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ；
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ；
(3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可）模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解并掌握有理数乘法/除法法则，并能运用法则进行计算；
2.掌握有理数乘法的交换律与结合律，能利用乘法运算律进行简化计算；
3.会求有理数的倒数；
有理数乘法
运算
有理数乘法运算法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2）0与任何数相乘都得0.
【补充】
1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数.
2）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
负因数的个数是偶数时，积是正数.负因数的个数为奇数时，积是负数.
3）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0.
4）在计算多个有理数相乘时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先将小数化成分数，再进行计算，方便约分.
有理数乘法运算率：乘法交换律：ab＝ba，乘法结合律：(ab)c ＝ a(bc)，
乘法分配率：a(b＋c) = ab＋ac.
有理数除法
运算
有理数除法运算法则：
1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,即：a÷b = a× QUOTE 1? 1b（b≠ 0）.
2）两数相除，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相除.
3）0除以任何一个不等于0的数，都得0.
【补充】
1）除法在运算时有2个要素要发生变化,①符号发生变化.（“÷”变“×”）
②除数发生变化.（除数变为它的倒数）
2）两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
【考点一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】
例1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是( )个．
A．1B．2C．3D．4
变式1-1．（22-23七年级上·内蒙古乌海·期末）若，且，那么（ ）
A．B．
C．异号D．中有一个负数，且负数的绝对值较大
变式1-2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【考点二 利用有理数的乘法法则进行计算】
例2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）若，，那么的值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
变式2-1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2-3．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ．
变式2-4．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点三 有理数的乘法与相反数、数轴、绝对值的综合】
例3．（23-24七年级上·云南·阶段练习）已知 ，则式子：（ ）
A．2B．C．或2D．0
变式3-1．（22-23七年级上·河北石家庄·期末）已知，，且，那么按照由小到大的顺序排列是（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若，则下列一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期中）若的相反数是，，且，则的值为 ．
变式3-4．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若与互为相反数，试求x与y的积．
变式3-5．（23-24七年级上·吉林长春·期中）已知是5的相反数．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【考点四 有理数乘法的运算律】
例4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（ ）
A．加法交换律B．乘法结合律
C．乘法分配律D．乘法交换律和结合律
变式4-1．（23-24七年级上·浙江·期末）用简便方法计算：，其结果是（ ）
A．2B．1C．0D．
变式4-2．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）计算最简便的方法是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ．
【考点五 有理数乘法的实际应用】
例5．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（ ）
A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年
变式5-1．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）若，，且，则的值为( )
A．2B．C．2或D．8或
变式5-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是（ ）分钟．
A．120B．130C．150D．180
变式5-3．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以元出售，若按成本计算，其中一件赢利，另一件亏本，在这次买卖中，该商贩（ ）
A．亏损6元B．不亏不赚C．盈利6元D．亏损5元
变式5-4．（23-24七年级上·贵州黔西·阶段练习）出租车司机小李某天上午运营是在儿童公园门口出发，沿南北走向的人民大街进行的，如果规定向北为正，向南为负，那么他这天上午所接送七位乘客的行车里程（单位：km）如下：．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在儿童公园的哪个方向？距离是多少？
(2)若出租车消耗天然气量为，小李接送七位乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(3)如果出租车的起步价为3千米以内10元，超出部分每千米3元，则小李一天的营业额是多少元？
变式5-5．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）“国庆”期间，某超市购进一批价格为每斤6元的苹果，原计划每天卖50斤，但实际每天的销量与计划销量有出入，如表是某周的销售情况（记超额为正，不足为负，单位：斤）：
(1)根据记录的数据可知前三天共卖出苹果 斤；
(2)根据记录的数据，求销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少斤？
(3)若每斤按10元出售，那么该超市这周的利润一共有多少元？
【考点六 与有理数乘法运算有关的新定义问题】
例6．（22-23七年级下·广西南宁·开学考试）定义一种新运算：，例如，那么的值为（ ）
A．14B．C．5D．
变式6-1．（22-23七年级上·广西来宾·阶段练习）现定义一种新运算“*”，规定，如，则等于（ ）
A．B．125C．D．120
变式6-2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）对于有理数m、n（m、n为正整数且），定义一种新运算，规定，则 ．
变式6-3．（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
【考点七 求一个数的倒数】
例7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）的倒数是 ．
变式7-1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ．
变式7-2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）若互为相反数，互为倒数，则 ．
【考点八 有理数除法运算】
例8．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8-1．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8-2．（21-22七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点九 有理数乘除混合运算】
例9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
变式9-1．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ．
变式9-2．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
变式9-3．（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【考点十 巧用分配律进行有理数四则混合运算】
例10．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
变式10-1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）用简便方法计算：．
变式10-2．（2023七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【考点十一 巧用倒数解有关有理数除法问题】
例11．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知＝________．
变式11-1．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读下面材料，然后回答问题．
计算
解法一：
原式
解法二：
原式
解法三：原式的倒数为
故原式
(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法是解法__________；
(2)根据材料所给的正确方法，计算：
变式11-2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）阅读下列材料：计算：．
解法1思路：原式；对吗？答：____________．
解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300．
(1)请你用解法2的方法计算：；
(2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！
【考点十二 利用有理数的四则运算解决实际问题】
例12．（23-24七年级上·云南·阶段练习）为体现社会对高考的尊重，高考第一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送考生，向西为负，小王从自己所在小区出发接上第一个考生（单位：千米）：
．
(1)送完最后一个考生，小王在自己家的什么位置？
(2)若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午接送考生，汽车共耗油多少升？
变式12-1．（21-22七年级上·重庆万州·期末）对于有理数x，y，若，则的值是（ ）．
A．B．C．1D．3
变式12-2．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
；；；；；；．
(1)计算到时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从开始到为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
变式12-3．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
变式12-4．（2023·安徽·一模）为保障校园体育活动安全有序的开展，学校计划利用假期在足球场四周安装安全防护栏．假如每张防护栏长米，每两张防护栏中间加装一个立柱进行加固，每根立柱宽为米．
(1)按照这样的规律每增加1根立柱，则护栏总长度将增大 米；
(2)若某安全防护栏一共有n（n为正整数）根立柱，求护栏的总长度（用含n的代数式表示，请写出具体的计算过程，最终结果要最简）．
【问题解决】
(3)现要按照以上规律围一个正方形的安全防护栏，且每一边的交界处为1根立柱．已知围成后护栏总长度为，则安全防护栏中使用了根多少立柱？
变式12-5．（20-21七年级上·全国·单元测试）某公司5天内货品进出仓库的吨数如下：＋23，﹣30，﹣16，+35，﹣33，（“＋”表示进库，“一”表示出库）
(1)经过这5天，仓库里的货品是 （填“增多了”还是“减少了”）．
(2)经过这5天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品508吨，那么5天前仓库里存有货品多少吨？
(3)如果进出货的装卸费都是每吨4元，那么这5天一共要付多少元装卸费？
【考点十三 与有理数混合运算有关的分类讨论问题】
例13．（2023·山东青岛·一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
变式13-1．（23-24七年级上·北京海淀·阶段练习）有理数a，b，c都不为零，且，则 ．
变式13-2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是有理数，若，则 ．
一、单选题
1．（2024·四川德阳·一模）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江杭州·二模）下列各式中，计算结果最大的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北邯郸·三模）算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（ ）．
A．＋B．C．×D．÷
4．（23-24六年级下·全国·假期作业）如果，那么（ ）
A．B．
C．a，b异号且负数的绝对值较小D．a，b异号且负数的绝对值较大
5．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
①
②
③
A．解题运用了乘法交换律B．从①步开始出错
C．从②步开始出错D．从③步开始出错
6．（2024·河北邯郸·二模）计算的结果是（ ）
A．8B．C．2D．
7．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．1C．2D．3
8．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24七年级下·重庆·期中）定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）如果，，，那么 ．
11．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ．
12．（23-24七年级上·江苏南京·期末）计算的结果是 ．
13．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）已知：，为有理数，且满足：，则 ．
14．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题
15．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如．
(1)求的值．
(2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明．
16．（23-24七年级下·山东淄博·期中）阅读下面的材料：
；……
利用上面材料中的方法解答下列各题：
(1)①___________；
②______________________；
你得到的规律是：___________（用含n的式子表示，n为大于1的整数）．
(2)计算：
17．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题．
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ；
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ；
(3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可）模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解并掌握有理数乘法/除法法则，并能运用法则进行计算；
2.掌握有理数乘法的交换律与结合律，能利用乘法运算律进行简化计算；
3.会求有理数的倒数；
有理数乘法
运算
有理数乘法运算法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2）0与任何数相乘都得0.
【补充】
1）任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数.
2）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
负因数的个数是偶数时，积是正数.负因数的个数为奇数时，积是负数.
3）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之如果积为0，那么至少有一个因数为0.
4）在计算多个有理数相乘时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先将小数化成分数，再进行计算，方便约分.
有理数乘法运算率：乘法交换律：ab＝ba，乘法结合律：(ab)c ＝ a(bc)，
乘法分配率：a(b＋c) = ab＋ac.
有理数除法
运算
有理数除法运算法则：
1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数,即：a÷b = a× QUOTE 1? 1b（b≠ 0）.
2）两数相除，同号结果为正，异号结果为负，并把绝对值相除.
3）0除以任何一个不等于0的数，都得0.
【补充】
1）除法在运算时有2个要素要发生变化,①符号发生变化.（“÷”变“×”）
②除数发生变化.（除数变为它的倒数）
2）两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.
星期
一
二
三
四
五
六
日
与计划量的差值
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