2024年人教版七年级数学暑期提升精讲 第01讲 正数和负数、有理数(知识点+练习）

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知识点1：正数、负数的定义（重点）
1.正数
像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。
2.负数
像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数
3.“0” 的特性
0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界
【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
，，，，+2.009，，，81．
【变式】任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里．

知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点）
1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语:
2.具有相反意义的量的规定
为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负.
【例2】.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ）
A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果
B高出海平面786m与低于海平面230m
C向东走-9m和向西走10m
D 飞机上升100m与飞机前进100m
【变式】如果某水库警戒水位150米记作0米，那么151米记作 ，148米记作 ．
知识点3：对“0”的认识
1. 表示没有
例如,0个苹果,意思是没有苹果
2.表示数时起到占位的作用
如10605中的两个0,分别占的是十位和千位
3.表示某种量的基准
例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度
4.表示某些数量的分界
0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界
5. 表示起点
例如,在米尺上,刻度的起点为“0”
【例3】下列对“0”的说法正确的个数是( )
①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．
A．3 B．4 C．5 D．0
【变式】判断题
（l）0是自然数，也是偶数（ ）。
（2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。
（3）温度0℃就是没有温度（ ）。
知识点4：有理数的相关概念（重点）
1. 整数
正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等
2.分数
正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数.
3.有理数
整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式，
4.几个常用数学名词的含义
(1)正整数:既是正数,又是整数的数
(2)负整数:既是负数,又是整数的数
(3)正分数:既是正数,又是分数的数
(4)负分数:既是负数,又是分数的数
(5)非负数:正数和 0.
(6)非正数:负数和 0.
(7)非负整数(也叫自然数):正整数和0.
(8)非正整数:负整数和0.
(9)正有理数:正整数和正分数
(10)负有理数:负整数和负分数
(11)非正有理数:0、负整数和负分数
(12)非负有理数:0、正整数和正分数
【例4】下列各数：－eq \f(4,5)，1，8.6，－7，0，eq \f(5,6)，－4eq \f(2,3)，＋101，－0.05，－9中，( )
A．只有1，－7，＋101，－9是整数
B．其中有三个数是正整数
C．非负数有1，8.6，＋101，0
D．只有－eq \f(4,5)，－4eq \f(4,5)，－0.05是负分数
【变式】下列说法中正确的是（ ）
A．0不是有理数B．有理数不是整数就是分数
在有理数中有最小的数D．若a是有理数，则一定是负数
知识点5：有理数的分类（重点、难点）
1.有理数的分类：
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2.集合
把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集
【例5】把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7eq \f(1,2)，3eq \f(3,4)，－10%，eq \f(3,101)，2，0，3.14，－67，eq \f(3,7)，0.618，－1，0.3080080008…
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
分数集合{ …}．
【变式1】把以下各数填入相应的集合里：，，，，，，，，，，，．
(1)正数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)正整数集合：{ …}；
(4)负整数集合：{ …}；
(5)非负数集合：{ …}．
【变式2】把下列的数填入相应的集合中：7，，，，0，，，
正分数集合：（ ）；
非负整数集合：（ ）；
负分数集合：（ ）．
【变式3】把下列各数分别填入相应的集合里．
1，－0.20，，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．
非正数集合：{ …}；
非负数集合：{ }；
非正整数集合：{ …}；
非负整数集合：{ }；
非正有理数集合：{ …}；
非负有理数集合：{ }．
易错点01对“0”的含义理解不准确
小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界
易错点02对负数表示的意义理解不清
具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示
易错点03用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位
易错点04误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数
正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数,带有“-”号的数不一定是负数.
易错点05不能正确理解有理数的分类而出错
有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起
考点一：正数、负数的实际应用
考查题型一：用正数、负数记录成绩
例1.某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中，
【变式1-1】某班级抽查了名同学的期末成绩，以分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：、﹣、、﹣、﹣、﹣、﹣、、、．这名同学中，
(1)最高分是多少？
(2)最低分是多少？
【变式1-2】某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中，
(1)最高分是多少？
(2)最低分是多少？
(3)10名同学的平均成绩是多少？
【变式1-3】下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：
(1)把表格补充完整；
(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率?
考查题型二：用正数、负数表示误差范围
例2.如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（ ）
A．30mmB．30.03mmC．30.3mmD．30.04mm
【变式2-1】一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．25.30kgB．24.80kgC．25.51kgD．24.70kg
【变式2-2】“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“”字样，其中表示标准容量是L，表示最多不超过，那么表示 ．
【变式2-3】某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？
考点二：与正数、负数相关的表格信息题
例3.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：
这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？
【变式3-1】（2023秋•台州期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如表：
（1）该汽车行驶路程最多的一天是 ，这一天的实际行驶路程是 ．
（2）若该新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费．
【变式3-2】今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）
若9月30日的游客人数为0.1万人，问：
（1）10月4日的旅客人数为 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人？
（3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？
【变式3-3】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元：
（1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？
（2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元）
考点三：正数、负数的规律探究题
例4. 观察下列数列，填上空缺的数．
（1）1，-1，2，-2，3，______，______，______；
（2）1，-2，3，-4，5，______，______，______．
14．桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上．
【变式4-1】．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数．
（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ；
（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ；
（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， .
【变式4-2】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别
是 ， ， ；
（2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ．
【变式4-3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗？
(1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；
(2)一列数：－1，eq \f(1,2)，－3，eq \f(1,4)，－5，eq \f(1,6)，____，____，____，….
一、单选题
1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）在，，0，，中分数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）在十月份结束的杭州亚运会女子举重49公斤级比赛中，朝鲜选手李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩216公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩213公斤拿到银牌，泰国选手素乍龙以总成绩199公斤获得铜牌．若将216公斤记为，则199公斤可记为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级上·广东广州·期中）初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为个，则个数为46个应记为（ ）
A．个B．个C．4个D．个
二、填空题
4．大米包装袋上的标识表示此袋大米重量的范围是 ．
5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）某厂家生产一种袋装食品的标准重量是500克，质检员把每袋超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，质检员随机测得袋食品质量为501克，则记作 ．
6．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为，若表示水面高于标准水位，则水面低于标准水位，可记为 m．
三、解答题
7．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置．
8．把下列各数按要求分类填在相应的大括号内：，，，0，，，，．
(1)整数集合：｛ ｝
(2)分数集合：｛ ｝
(3)非负整数集合：｛ ｝
(4)负有理数集合：｛ ｝
9．（2023秋•荔湾区期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．
（1）第2棒火炬手的实际里程为 66 米，第6棒火炬手的实际里程为 米；
（2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程．
10．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米）
(1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？
(2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．
11．出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，
(1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？
(2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？
12．某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等．
7，－8eq \f(2,3)，0，－100，＋3eq \f(1,3)，－9.21，－0.01,36，－eq \f(2,5)，－10%，＋200，－24.
(1)问张红、李强坐的各是第几号位置？
(2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？
13．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？
(3)第2021个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。
2.会判断一个数是正数是负数
3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。
4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。
方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数．
收入
盈利
上升
零上
增加
向东(南)
…
支出
亏损
下降
零下
减少
向西(北)
…
方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负．
方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是0℃，0是正、负数的分界点等．
方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数．
方法总结：在填数时要注意以下两种方法：
(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象．
姓名
王芳
刘兵
张沂
李聪
江文
成绩
89
84
与全班平均分之差
方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少．
美国
德国
英国
中国
日本
意大利
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
路程
0
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化
单位：万人
+1.1
﹣0.6
+0.2
﹣0.4
﹣0.2
+0.4
﹣0.5
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
+4
+3
+2
0
﹣1
﹣3
﹣5
方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征．
棒次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
里程波动值
2
6
3
0
4
1