2024年人教版七年级数学暑期提升精讲 第11讲 整式(知识点+练习）

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知识点1.单项式
单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点归纳：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点归纳：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点归纳：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
知识点2.多项式（重点）
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点归纳：“几个”是指两个或两个以上．
多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点归纳：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点归纳：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
知识点3.整式（重点）
整式
单项式与多项式统称为整式．
要点：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
易错点1.确定单项式的系数和次数时出错
单项式的系数包括前面的符号,且只与数字因数有关,而次数只与字母有关;确定系数时容易漏掉系数中的“_”号和“π”.确定次数时注意不要把“π”的次数也计算在内
易错点2.混淆多项式次数和单项式次数
不要与单项式的次数混淆,误将所有字母的指数和作为多项式的次数
考点1：单项式的判断
【例1】下列代数式2x，－eq \f(1,3)ab2c，eq \f(x＋1,2)，πr2，eq \f(4,x)，a2＋2a，0，eq \f(m,n)中，单项式有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解析：2x，－eq \f(1,3)ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A.
方法总结：数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．
【变式1-1】（2023秋•赤坎区校级期末）下列式子是单项式的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用数或字母的积组成的式子叫做单项式，即可得出答案．
【解答】解：、是多项式，不合题意；
、是单项式，符合题意；
、是多项式，不合题意；
、是方程，不合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式1-2】（2023秋•舟山期末）下列各式不是单项式的是
A．3B．C．D．
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，找出单项式即可．
【解答】解：因为式子的分母含有字母，
所以式子不是单项式．
故选：．
【点评】此题考查的是单项式，掌握其定义是解决此题的关键．
【变式1-3】在代数式中，单项式的个数是（ ）
A．6B．5C．3D．4
【答案】D
【分析】根据单项式的概念即可判断．
【详解】解：是多项式，不是整式，
则单项式有共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查单项式的概念，属于基础题型．
考点2：确定单项式的系数和次数
【例2】分别写出下列单项式的系数和次数．
(1)－ab2； (2)eq \f(5ab3c2,7)； (3)eq \f(2πxy2,3).
解析：单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可．
解：(1)单项式的系数是－1，次数是3；
(2)单项式的系数是eq \f(5,7)，次数是6；
(3)单项式的系数是eq \f(2π,3)，次数是3.
方法总结：(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．
【变式2-1】单项式﹣23a2b3的系数和次数分别是（ ）
A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5
【分析】根据单项式的系数和次数的概念求解可得．
【解答】解：单项式﹣23a2b3的系数是﹣23＝﹣8，次数分别是2+3＝5，
故选：D．
【变式2-2】（2021•海南）下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A．x2+1B．xyC．x2yD．﹣3x
【分析】根据单项式的次数的意义判断即可．
【解答】解：A．x2+1是多项式，故A不合题意；
B．xy是二次单项式，故B符合题意；
C．x2y是次数为3的单项式，故C不符合题意；
D．﹣3x是次数为1的单项式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．
【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）填表：
【答案】,,,,,6,2,3,8,1
【分析】先找出每个单项式中所有字母的指数，然后分别求得每个单项式中所有字母的指数和即可得到每个单项式的次数，据此完成表格．
【详解】
【点睛】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．
考点3：单项式的应用
【例3】用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．
(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？
(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？
解析：(1)根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花eq \f(n,2)元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可；
(2)根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．
解：(1)∵买2本练习册花了n元，
∴买1本练习册花eq \f(n,2)元，∴买m本练习册要花eq \f(1,2)mn元，∴它的系数是eq \f(1,2)，次数是2；
(2)∵正方体的棱长为a，
∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；
它的体积是a3，系数是1，次数是3.
方法总结：此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．
【变式1-1】（2023秋•路北区期中）已知表示的相反数，表示的立方，表示的系数，表示0.6的倒数．
（1）直接写出各字母所表示的数；
（2）计算，，，中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数．
【分析】（1）根据相反数、立方、单项式的系数、倒数的概念解答即可；
（2）根据有理数的乘法法则、正整数的概念解答．
【解答】解：（1），，，；
（2）由题意得：，4是正整数，
所有负数的乘积结果是正整数．
【点评】本题考查的是相反数、立方、单项式的系数、倒数，熟记它们的概念是解题的关键．
【变式1-2】写出满足条件的单项式．
（1）写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式；
（2）系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6；
（3）系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2．
【分析】（1）直接利用单项式的定义分析得出答案；
（2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案；
（3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，；
（2）由题意可得：；
（3）由题意可得：．
【点评】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和．
【变式1-3】．（2023秋•衡东县校级期中）已知单项式与的次数相同．
（1）求的值；
（2）求当，时单项式的值．
【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值；
（2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：；
（2），
则当，时，原式．
【点评】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键．
【变式1-4】．（2023秋•蓬江区校级月考）已知是关于、的五次单项式，求的值．
【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出、的值，代入代数式即可得出答案．
【解答】解：是关于，的五次单项式，
，
解得：，
则当，时，；
当，时，．
【点评】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．
考点4：单项式、多项式与整式的识别
【例4】指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，eq \f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq \f(1,x)，eq \f(1,7)m2n，2x2－x－5，eq \f(2,x2＋x)，a7.
解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．
解：eq \f(2,x2＋x)，eq \f(1,x)的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．
单项式有：－x，10，eq \f(1,7)m2n，a7；
多项式有：x2＋y2，eq \f(a＋b,3)，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x，eq \f(a＋b,3)，10，6xy＋1，eq \f(1,7)m2n，2x2－x－5，a7.
方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．
【变式4-1】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列式子：中，多项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据多项式的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，是多项式，符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式．解题的关键在于熟练掌握：几个单项式的和（或差）叫做多项式．
【变式4-2】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内：
．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}
整式：{ …}．
【答案】单项式：；多项式：；整式：
【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可．
【详解】解：单项式：；
多项式：；
整式：．
【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．
【变式4-3】.把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：
①2a2b+ ；② ；③0；④ ；⑤﹣ mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k
单项式集合：{ }；
多项式集合：{ }；
二项式集合：{ }．
【答案】单项式集合：{③，⑤，……}；多项式集合：{①，④，⑦，……}；二项式集合：{①，④，……}
【分析】根据单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式和多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式判断即可；
【详解】解：单项式集合：{③，⑤，……}；
多项式集合：{①，④，⑦，……}；
二项式集合：{①，④，……}
【点睛】本题主要考查了单项式和多项式的判定，准确分析判断是解题的关键．
考点5：确定多项式的项数和次数
【例5】写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．
(1)eq \f(2,3)x2－3x＋5； (2)a＋b＋c－d； (3)－a2＋a2b＋2a2b2.
解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．
解：(1)eq \f(2,3)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；
(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．
方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．
【变式5-1】（2023秋•莲都区期末）多项式的次数和常数项分别是
A．3，1B．3，C．5，1D．5，
【分析】根据多项式的次数及常数项的定义即可求得答案．
【解答】解：多项式中的项为，，，
它们的次数分别为，，0，
那么多项式的次数为3，其中为常数项，
故选：．
【点评】本题考查多项式的次数及常数项，熟练掌握其定义是解题的关键．
【变式5-2】．（2023秋•庆阳期末）多项式的一次项系数是
A．3B．1C．D．
【分析】根据多项式的项与系数即可求得答案．
【解答】解：多项式的一次项是，其系数是，
故选：．
【点评】本题考查多项式，熟练掌握其定义是解题的关键．
【变式5-3】．（2023秋•山阳县期末）对于多项式，下列说法正确的是
A．它是三次三项式B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是D．它的二次项系数是2
【分析】利用多项式相关定义进行解答即可．
【解答】解：、它是二次三项式，故原题说法错误；
、它的常数项是，故原题说法错误；
、它的一次项系数是，故原题说法正确；
、它的二次项系数是1，故原题说法错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【变式5-4】．（2023秋•赣州期末）多项式的项数和次数分别为
A．2，7B．3，8C．2，8D．3，7
【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定．
【解答】解：是八次三项式，故项数是3，次数是8．
故选：．
【点评】此题考查了多项式的定义．解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
考点6：根据多项式的概念求字母的取值
【例6】已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．
解：由题意得m＋2＝6，
解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
【变式6-1】．（2023秋•武功县期末）已知关于、的多项式是七次五项式，是五次项的系数，求，的值．
【分析】根据关于、的多项式是七次五项式得，由此可求出的值，进而再根据是五次项的系数求出的值即可．
【解答】解：关于、的多项式是七次五项式，
，
解得：，
又是五次项的系数，
．
【点评】此题主要考查了多项式的定义，熟练掌握多项式的定义，理解多项式的次数和项数是解决问题的关键．
【变式6-2】．（2023秋•合阳县期末）已知关于、的多项式是五次四项式，为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．求，的值．
【分析】根据多项式的次数、项的定义得出，，即可求出的值，再根据单项式的次数的定义得出，即可求出的值．
【解答】解：关于、的多项式是五次四项式，
，，
，，
单项式的次数与该多项式的次数相同，
单项式的次数为五次，
，
，
．
【点评】本题考查了多项式的项、次数，单项式的次数，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
【变式6-3】．（2023秋•汉阴县期末）已知关于，的多项式是六次四项式，常数项是2．求，的值．
【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出，是解题关键．
【解答】解：多项式是六次四项式，常数项是2，
，，
解得：．
【点评】本题主要考查了多项式与单项式的次数，利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出，是解题关键．
【变式6-4】．（2023秋•东丰县期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值．
【分析】根据已知得出方程，求出，根据已知得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：多项式是六次四项式，
，
，
单项式的次数与这个多项式的次数相同，
，
，
．
．
【点评】本题考查了多项式的有关内容的应用，注意：多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．
考点7：多项式中不含某项问题
【例7】若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．
解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，
∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
【变式7-1】．（2023秋•辉县市期中）对于多项式
（1）若此多项式是关于的三次三项式，求的值．
（2）若此关于的多项式不含常数项，求的值．
【分析】（1）利用多项式的定义进行解答即可；
（2）关于的多项式不含常数项，得出，再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意可知
所以；
（2）由题意可知，
，
所以或．
【点评】此题主要考查了多项式的定义及整式的加减，正确把握其次数与系数是解题关键．
【变式7-2】若关于的多项式不含二次项和一次项，求，的值．
【分析】根据多项式不含二次项与一次项，得到两项系数为0，即可求出与的值．
【解答】解：多项式不含二次项和一次项，
，，
解得：，．
【点评】此题考查了多项式中不含的几次项问题，熟练掌握多项式合并是解本题的关键．
【变式7-3】．（2022秋•虎林市校级期中）（1）已知多项式是六次三项式，求的值．
（2）关于，的多项式不含二次项，求的值．
【分析】（1）首先根据多项式是六次三项式确定、的值，从而代入代数式求解即可．
（2）由于多项式不含二次项，则，，求出、的值后再代入代数式即可求代数式的值．
【解答】解：（1）由题意可知，多项式最高项的次数为6，所以，
因为多项式为三项式，所以，
所以，，
所以
（2）由题意可得，且，
所以，，，5 ，
所以
【点评】本题考查了多项式的知识，解题的关键是能够确定多项式的次数，难度不大．
【变式7-4】．（2023秋•巴东县期末）已知二项式中，含字母的项的系数为，多项式的次数为，且，在数轴上对应的点分别为，，点为数轴上任意一点，对应的数为．
（1） ， ，并在数轴上标出，；
（2）当点为线段的三等分点时，求的值；
（3）在（2）的条件下，若点离点较近时，点、、分别从点、、同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据多项式的系数和次数的定义得出即可；
（2）由（1）得出线段的长度，再根据三等分点的定义得出的值；
（3）根据已知条件得出线段、的长度，设运动时间为秒，代入，分类讨论得出代数式中含有的项，因为为定值，所以含有项的系数为0，得出的值即可．
【解答】解：（1）二项式中，系数是，次数是5，
故答案为：，5．
（2），，
，
当点为线段的三等分点，
点表示的数为1或3．
的值为1或3．
（3）存在，
在（2）的条件下，若点离点较近，
，
设运动时间为秒，
根据题意得，，，
当时，
，
为定值，
，
，
不符合题意，舍去；
当时，
，
为定值，
，
．
【点评】本题考查了数轴，多项式的系数和次数，解题关键是能够利用数轴表示出线段的长度．
考点8：多项式的应用
【例8】如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？
解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．
解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．
方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．
【变式8-1】．（2023秋•山阳县期末）如图是某居民小区的一块宽为米，长为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这块长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．（单位：
（1）请用含，的式子表示种草的面积；
（2）当，时，求种草的面积．取
【分析】（1）根据种草面积长方形面积一个半径为米的圆的面积，列出代数式进行计算即可；
（2）把，代入（1）中所求代数式，进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：平方米，
种草的面积为平方米；
（2）当，时，种草的面积为：
（平方米），
答：种草的面积为386平方米．
【点评】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题关键是理解题意，列出代数式．
【变式8-2】如图是某居民小区的一块长为米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形的四个顶点处各修一个半径为米的四分之一圆形花台，然后在花坛内种花，其余植草．（本题中的取
（1）请用含，的式子表示种花的面积和种草的面积．
（2）如果，，且建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
【分析】（1）由已知图形是长方形，四角都有一块半径相同的四分之一圆形的花台，所以四角花台构成一个正圆，则种草的面积等于长方形的面积减去半径为的圆的面积；
（2）把，代入（1）中式子，再分别乘以各自的单价，相加即可求解．
【解答】解：（1）种花的面积为：平方米；
种草的面积为：平方米；
（2）当，时，
（元．
答：美化这块空地共需资金55900元．
【点评】此题考查列代数式，关键是观察图形，要明确种草的面积等于长方形的面积减去半径为的圆的面积．
【变式8-3】．（2023秋•市中区期中）如图，某居民小区有一块长为，宽为的长方形空地．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处修建一个半径为的扇形花台，其余部分铺设草坪．
（1）草坪（阴影部分）的周长为 ，面积为 ．（结果用含有，，的式子表示）
（2）如果铺设草坪的费用为每平方米50元．当米，米，取3时，铺设草坪共需多少元？
【分析】（1）结合图形及已知条件列得代数式即可；
（2）结合（1）中所求列式计算即可．
【解答】解：（1）；
；
即草坪（阴影部分）的周长为；面积为，
故答案为：；；
（2）当米，米，取3时，
（平方米），
则（元，
即铺设草坪共需600元．
【点评】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【变式8-4】（2023秋•武汉期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且是关于、的三次二项式．解答下列问题：
（1） ， ；
（2）若数轴上有一点，且，求点对应的数；
（3）若点、分别从、出发，同时向左匀速运动，点的速度为个单位长度每秒，点的速度是3个单位长度每秒，点、分别为线段、线段的中点．设运动时间为秒，在点，的运动过程中，若的长度与的取值无关，求的值及的长度．
【分析】（1）根据多项式为关于、的三次二项式，得出，，从而求出、的值；
（2）设点对应的数为，且，判断出点在点的左边，于是有，即可求出的值；
（3）秒后，对应的数为，对应的数为，根据数轴上中点的定义即可表示出中点的坐标，再计算、的长，根据的长度与的取值无关，即的系数为0，从而得解．
【解答】解：（1）若是关于、的三次二项式，
则，，
解得，，
故答案为：，12；
（2）设点对应的数为，
，
点在点的左边，
，
解得或，
即点对应的数为或；
（3）秒后，对应的数为：，对应的数为：，
、为、的中点，
点对应的数为：，点对应的数为：，
，
的长度与无关，
，
．
【点评】本题考查了多项式，数轴上两点之间的距离，中点坐标的求法，熟练掌握多项式的项、次数的定义是解题的关键．
考点9：整式的规律探究
【例9】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第n个“口”字需要用棋子（ ）
A．（4n﹣4）枚B．4n枚C．（4n+4）枚D．n2枚
【答案】B
【分析】观察图形可知，构成每个“口”字的棋子数量，等于构成边长为(n+1)的正方形所需要的棋子数量减去构成边长为(n+1-2)的正方形所需要的棋子数量.
【详解】解：由图可知第n个“口”字需要用棋子的数量为(n+1)2-(n+1-2)2=4n,
故选择B.
【点睛】本题考查了规律的探索.
【变式9-1】．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列单项式：，，，，…，根据你发现的规律，第10个单项式为_____________．
【答案】
【分析】根据第2、4、6个单项式归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：观察可知，第2个单项式为，
第4个单项式为，
第6个单项式为，
归纳类推得：第个单项式为，其中为偶数，
所以第10个单项式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【变式9-2】如图所示，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列各图：则第n个图形中需要用黑色瓷砖 块．（用含n的代数式表示）
【答案】（4n+4）
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【详解】第1个图形中有黑色瓷砖（1+2）2﹣12＝8块；
第2个图形中有黑色瓷砖（2+2）2﹣22＝12块；
第3个图形中有黑色瓷砖（3+2）2﹣32＝16块；
…
第n个图形中有黑色瓷砖（n+2）2﹣n2＝4n+4块；
故答案为（4n+4）．
【点睛】考查了图形的变化规律，找到图形的变化规律是解答本题的关键，难度不大．
【变式9-3】（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 ．（用含n的式子表示）
【分析】第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，…，据此可求得第n个图案所需要的火柴棍的根数．
【解答】解：∵第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，
第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，
第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，
…，
∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3（2n+2）＝6n+6．
故答案为：6n+6．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律
【变式9-4】.观察下列图形：
它们是按一定规律排列的．
(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？
(2)摆成第n个图案需要几个五角星？
(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？
解析：通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．
解：(1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个．
(2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．
(3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)．
方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．
一．选择题（共6小题）
1．（2024•肇源县开学）在代数式，，，，，中，整式有
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据整式的定义进行解答．
【解答】解：和分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式．
故选：．
【点评】本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．
2．（2023秋•法库县期末）下列说法正确的是
A．整式就是多项式B．是单项式
C．是七次二项式D．是单项式
【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念及次数、项次，紧扣概念作出判断．
【解答】解：、根据整式的概念可知，单项式和多项式统称为整式，故错误；
、是单项式，故正确；
、是四次二项式，故错误；
、是多项式，故错误．
故选：．
【点评】主要考查了整式的相关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．
3．（2024•东莞市校级一模）单项式表示球的表面积，其中表示圆周率，表示球的半径．下列说法中，正确的是
A．系数是4，次数是2B．系数是4，次数是3
C．系数是，次数是3D．系数是，次数是2
【分析】根据单项式系数及次数的定义解答即可．
【解答】解：单项式的系数是，次数是2．
故选：．
【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．
4．（2024•凉州区校级三模）单项式的系数与次数分别是
A．，3B．，4C．，3D．，4
【分析】根据单项式的次数（所有的字母的指数的和）和系数的定义（数字因数是系数）解决此题．
【解答】解：单项式的系数与次数分别是和3．
故选：．
【点评】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键．
5．（2023秋•坡头区期末）下列说法正确的是
A．单项式的次数是1
B．多项式的常数项是5
C．单项式的系数是
D．是三次三项式
【分析】单项式的次数是各字母次数之和，多项式次数要找所组成的单项式中次数最高的那一项．根据定义逐项判断即可．
【解答】解：．单项式的次数是2，说法错误，不符合题意；
．多项式的常数项是，说法错误，不符合题意；
．单项式的系数是，说法错误，不符合题意；
．是三次三项式，说法正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查单项式和多项式的次数与系数，明确概念是解题关键．
6．（2023秋•龙华区期末）多项式的二次项系数是
A．B．C．3D．
【分析】根据多项式的意义，即可解答．
【解答】解：多项式的二次项系数是，
故选：．
【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
7．（2023秋•锦州期末）单项式的次数是 5 ．
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．
【解答】解：单项式的次数是5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．
8．（2023秋•赤坎区校级期末）单项式的系数是 ．
【分析】根据单项式的系数的概念解答即可．
【解答】解：单项式的系数是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是单项式的系数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
9．（2023秋•斗门区期末）请你写出一个单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ．
【分析】根据单项式次数和系数的定义写出满足题意的单项式即可．
【解答】解：系数为5，次数为3的单项式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了单项式的系数和次数，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．
10．（2023秋•通辽期中）下列式子：，，，，，0，整式的个数是 4 个．
【分析】根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可．
【解答】解：在，，，，，0中，整式有，，，0，共4个．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了整式的概念，正确把握定义是解题关键．
11．（2023秋•永州期末）单项式的系数为，次数为，则 ．
【分析】根据单项式的意义可得，，然后把，的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：单项式的系数为，次数为3，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的意义是解题的关键．
12．（2023秋•崇明区期末）多项式的常数项是 ．
【分析】先将多项式整理，再判断常数项即可．
【解答】解：整理，得，
所以这个多项式的常数项为．
故答案为：．
【点评】本题考查多项式，正确记忆相关概念是解题关键．
13．（2023秋•台儿庄区期末）若多项式为三次三项式，则的值为 ．
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法进而得出答案．
【解答】解：多项式是关于的三次三项式，
，，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式次数确定方法是解题关键．
14．（2023秋•荔城区期末）若关于的多项式中不含有项，则 ．
【分析】直接利用多项式中不含有项，即的系数为零，进而得出答案．
【解答】解：关于的多项式中不含有项，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了多项式，正确得出的系数为零是解题关键．
三．解答题（共8小题）
15．（2023秋•永福县期中）已知单项式与的次数相同，求的值．
【分析】根据单项式的次数的概念列出方程，解方程求出的值，代入计算即可．
【解答】解：单项式与的次数相同，
，
解得：，
．
【点评】本题考查的是单项式的次数的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
16．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值；
（2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式．
【分析】根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4，
，
解得；
（2）是关于的四次单项式，
，，，
解得，．
单项式是．
【点评】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和．
17．（2023秋•蒲城县期末）已知多项式是关于，的七次五项式．求该多项式的三次项．
【分析】根据多项式的次数是7次，可求出的值，进而确定这个七次五项式，进而确定三次项．
【解答】解：多项式是关于，的七次五项式，
，
解得，
关于，的七次五项式为，
它的三次项为．
【点评】本题考查多项式，掌握多项式的次数、项数的定义是正确解答的关键．
18．（2023秋•衡东县校级期中）【观察与发现】
，，，，，，，
（1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；
（2）第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：
单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，，
的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，，
故第7个单项式是：，
第8个单项式是：．
故答案为：，；
（2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：．
【点评】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
19．（2023秋•台山市期中）已知整式．
（1）若它是关于的一次式，求的值并写出常数项；
（2）若它是关于的三次二项式，求的值并写出最高次项．
【分析】（1）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案；
（2）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案．
【解答】解：（1）若它是关于的一次式，则，
，常数项为；
（2）若它是关于的三次二项式，则，，，
，所以最高次项为．
【点评】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式次数与项数确定方法是解题关键．
20．（2023秋•长岭县期中）已知多项式是关于，的八次五项式．求该多项式的四次项．
【分析】单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答．
【解答】解：多项式是关于，的八次五项式，
，
即，
故该多项式为，
该多项式的四次项是．
【点评】本题考查了多项式的次数和项数，单项式的个数是多项式的项数是关键．
21．（2023秋•蓝田县期末）已知，为有理数，关于、的代数式：化简之后仍为单项式，求，的值．
【分析】由题意可知，，求值即可．
【解答】解：代数式化简之后为单项式，
，，
，．
【点评】本题考查整式的加减运算，单项式的定义等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22．（2023秋•浠水县期中）我们知道：若数轴上点对应的数为，点对应的数为，则，之间距离可表示为，已知多项式的次数为，常数项为．
（1）直接写出： 5 ， ，，之间的距离是 ；
（2）若点为数轴上的一个动点，其对应的数为．
化简；
直接写出点到点，点距离之和的最小值是 ．
【分析】（1）根据多项式的次数为最高一项的次数和常数项是不含字母的项来确定和的值；
（2）分三种情况：点在点的右边、在点的左边、在点的中间化简绝对值的式子；再根据化简的结果写出最小值．
【解答】解：（1）多项式的次数是5，常数项是，
，，
，之间的距离是，
故答案为：5，，7；
（2）当时，
；
当时，
；
当时，
．
点在线段上时，
点到点，点距离之和最小，
最小值是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了多项式和绝对值在数轴上的应用，关键根据多项式的次数和常数项的定义、绝对值的运算来解答．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.了解单项式、多项式、整式的概念
2.理解单项式的系数和次数的概念
3.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念
4.了解整式在解决实际问题中的应用
单项式
系数
次数
单项式
系数
次数
6
2
3
8
1