2023-2024学年广西壮族自治区防城港市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区防城港市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x∣x−1≤1,B=0,1,2,4，则A∩B=( )
A. 1,2B. 0,1,2C. 0,1,2,4D. 1,4
2.“1x<1”是“x>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有( )
A. 4B. 7C. 10D. 12
4.随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“6⋅18”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x(单位：元)和销售量y(单位：百件)之间的一组数据：
用最小二乘法求得y与x之间的经验回归方程是y=0.28x+a，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为( )(单位：百件)
A. 11.2B. 11.75C. 12D. 12.2
5.下列命题中正确的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若aC. 若a2>b2，则a>bD. 若ac2>bc2，则a>b
6.某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(400,4)，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为( ) 附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−2σA. 341B. 421C. 477D. 489
7.已知定义在R上的偶函数fx满足：①对任意的x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2<0成立；②f−1=0.则不等式xfx<0的解集为( )
A. −1,0∪1,+∞B. −∞,−1∪0,1
C. −1,0∪0,1D. −∞,−1∪1,+∞
8.已知函数fx在R上可导，其导函数为f′x，若fx满足：x−1f′x−fx>0，f2−x=fxe2−2x，则下列判断正确的是( )
A. f1>ef0B. f2>e2f0C. f3>e3f0D. f4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若PA>0,PB>0，则事件A,B相互独立与事件A,B互斥不能同时成立
B. 一组数据4,3a,3−a,5的平均数为4，则a的值为1
C. 五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种
D. 若随机变量X∼Nμ,σ2，且PX>7=PX<−3=0.1，则P−310.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是( )
A. ab≥14B. 4a+9b≥25C. a+ b≤ 2D. a211.已知函数fx=xsinx，x∈R，则下列说法正确的有( )
A. fx为偶函数
B. fx为周期函数
C. 在区间π2,π上，fx有且只有一个极小值点
D. 过0,0作y=fx的切线有且仅有3条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x2−x，则f(−1)= ．
13.曲线f(x)=x3−lnx在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．
14.已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设集合A=x−1(1)当a=4时，求A∩B，A∪B
(2)若B⊆A，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．
附表及公式：X2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d．
17.(本小题12分)
已知二项式(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，且其二项式系数之和为64．
(1)求n和a0+a1+a2+⋯+an的值；
(2)求a1+2a2+⋯+nan．
18.(本小题12分)
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3)如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+3(a∈R)．
(Ⅰ)当a=−12时，求函数f(x)的极值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当a=0时，若xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，求整数k的最大值．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.D
5.D
6.D
7.A
8.C
9.AD
10.BCD
11.AD
12.−1
13.14或0.25
14.8或9
15.解：(1)当a=4时，B=x5≤x≤11，A∩B=x−1A∪B=x−1(2)因为B⊆A，
当B=⌀时，a+1>3a−1，解得a<1，
当B≠⌀时，a+1≤3a−1a+1>−13a−1<6，解得1≤a<73，
综上，a的取值范围是a<73．
16.解：(1)根据题意可得如下列联表：
(2)由列联表可得K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=20050×35−75×40290×110×125×75≈3.367>2.706，
∴在犯错误的概率不超过10%的前提下认为药物有效．
解释：由于K2>2.706，所以表示有小于10%的可能性证明这两个事件无关，
也就是在犯错误的概率不超过10%的前提下认为药物有效．
(3)根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，
所以ξ的值可能为0，1，2，3，4，则P(ξ=0)=C64C104=15210，P(ξ=1)=C63C41C104=80210，
P(ξ=2)=C62C42C104=90210，P(ξ=3)=C61C43C104=24210，P(ξ=4)=C44C104=1210，
ξ的分布列如下：
则E(ξ)=0×15210+1×80210+2×90210+3×24210+4×1210=1.6．
17.解：(1)二项式系数之和2n=64，则n=6，
令x=1，则a0+a1+a2+a3+⋯+a6=1+26=729．
(2)对二项式两边求导，2×6×1+2x5=a1+2a2x+3a3x2+⋯+6a6x5．
令x=1，则2×6×35=a1+2a2+3a3+⋯+6a6，
故a1+2a2+3a3+⋯+6a6=2916．
18.解：(1)用A1表示“甲出任边锋”，A2表示“甲出任前卫”，A3表示“甲出任中场”，用B表示“球队赢球”．
则甲出场时，球队赢球的概率为：
PB=PA1⋅PB|A1+PA2⋅PB|A2+PA3⋅PB|A3=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：1−PB=1−0.68=0.32．
(2)因为PB=0.68．
所以PA1|B=PA1BPB=0.3×．
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为617．
(3)因为PA2|B=PA2BPB=0.5×，PA3|B=PA3BPB=0.2×．
因为PA2|B>PA1|B>PA3|B．
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫．
19.解：(Ⅰ)当a=−12时，f(x)=lnx−12x2+3，x∈(0,+∞)，
所以f′(x)=1x−x=1−x2x，
令f′(x)>0，即0令f′(x)<0，即x>1，f(x)单调递减；
所以f(x)在x=1处取得极大值即f(1)=52，无极小值．
(Ⅱ)f′(x)=1x+2ax=1+2ax2x，x∈(0,+∞)，
①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a<0时，
当x∈(0,− −2a2a)时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈(− −2a2a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减．
综上，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a<0时，f(x)在(0,− −2a2a)上单调递增，在(− −2a2a,+∞)上单调递减．
(Ⅲ)xf(x)>kx−k+2在x∈(1,+∞)时恒成立，
即k令F(x)=xlnx+3x−2x−1，则F′(x)=x−lnx−2(x−1)2．
令m(x)=x−lnx−2，
则m′(x)=1−1x=x−1x>0在x>1上恒成立，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，且m(3)=1−ln3<0，m(4)=2−ln4>0，
所以m(x)在(1,+∞)上存在唯一实数b∈(3,4)，使得m(b)=0．
当x∈(1,b)时，m(x)<0，即F′(x)<0；
当x∈(b,+∞)时，m(x)>0，即F′(x)>0，
所以F(x)在(1,b)上单调递减，在(b,+∞)上单调递增，
所以F(x)min=F(b)=blnb+3b−2b−1=b(b−2)+3b−2b−1=b+2∈(5,6)，
故kx
20
25
30
35
40
y
5
7
8
9
11
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
服用
合计
75
200
α
0.15
0.10
0.05
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.3
0.5
0.2
球队胜率
0.8
0.6
0.7
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40
90
服用
75
35
110
合计
125
75
200
ξ
0
1
2
3
4
P
15210
80210
90210
24210
1210