2023-2024学年安徽省淮南第一中学等校高二下学期7月期末质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南第一中学等校高二下学期7月期末质量检测数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列−2，43，−65，87，⋯的通项公式可以为( )
A. (−1)nn2n+1B. (−1)n2n2n−1C. (−1)n−12n2n+1D. (−1)n+12n2n−1
2.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )
A. 等边三角形的边长a与其面积S
B. 匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t
C. 杂交水稻植株的高度ℎ与土壤湿润度r
D. 某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x
3.若圆O1:x2+y2+y=0和圆O2:x2+y2−2x=0的交点为A，B，则线段AB的中垂线方程为( )
A. x−y−2=0B. x−2y−1=0C. 2x−y−1=0D. x−2y=0
4.已知函数f(x)=−x2f′(1)+6x，则f(2)=( )
A. 11B. 7C. −1D. −3
5.在(2 x−1x)6的展开式中，常数项为( )
A. 240B. 120C. 84D. 64
6.甲、乙两名同学计划今年暑假各自从黄山、琅琊山、天堂寨、三河古镇4个旅游景点中随机选择一个游玩.现已知至少有一名同学选择了琅琊山，则两名同学选择的景点不同的概率为( )
A. 12B. 58C. 34D. 67
7.过点A(52,0)能向曲线y=xlnx作切线的条数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)作该椭圆的切线，切线方程为x0xa2+y0yb2=1.”设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线l，若切线l与直线AM的倾斜角互补，则C的离心率为( )
A. 13B. 33C. 12D. 22
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列不等式一定成立的是( )
A. f(−2)f(0)C. f(1)>f(3)D. f(2)>f(4)
10.已知随机变量X~N(100,σ2),且P(X>120)=0.1,则下列说法中正确的是( )
A. P(80≤X≤120)=0.9B. 若P(X>2a)=P(X< a-4),则a=68
C. D(X)=σD. P(100< XP(80< X2n
C. a2n=C2nn4nD. a2n+1=(n+1)C2n+1n4n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙等6名同学站成一排，若甲、乙两名同学相邻，则不同的站法共有 种.(用数字作答)
13.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为正方形ABCD和正方形CDD1C1的中心，则点A到平面A1EF的距离为 ．
14.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l:y=x与E交于A，B两点，且AF⊥BF，则b2a2= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2024年4月25日，第18届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心开幕，本届展会以“新时代新汽车”为主题，在展览会上国内新能源车引得了国内外车友的关注.为了解人们的买车意向，在车展现场随机调查了40名男观众和40名女观众，已知男观众中有32人偏向燃油车，女观众中有16人偏向燃油车，剩余被调查的观众则偏向新能源车．
(Ⅰ)根据已知条件，填写下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断男观众和女观众买车意向的偏向情况是否有差异;
(Ⅱ)现按比例用分层随机抽样的方法从被调查的偏向燃油车的观众中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记X表示这4人中女观众的人数，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ADC=90∘，且AB=PA=2，AD=CD=1．
(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)求平面PAC与平面PCD夹角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和Sn=2×3n−1−1．
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线过点M(0,−1)，过点M的直线l交C于A，B两点．
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若l的斜率为2，求||FA|−|FB||;
(Ⅲ)设点P(− 2,0)，Q( 2,0)，且|AP|−|AQ|=|BP|−|BQ|，求l的斜率．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax−xa(a>1)．
(Ⅰ)若a=2，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线在y轴上的截距；
(Ⅱ)若f(x)只有一个零点，求a；
(Ⅲ)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：lnx1+lnx2>2．
答案简析
1.B
【简析】解：由数列−2，43，−65，87，⋯可得：a1=−21，a2=43，a3=−65，a4=87，⋯，归纳可得其一个通项公式为an=(−1)n2n2n−1．
故选B．
2.C
【简析】解：对于A，等边三角形的边长a与其面积S是函数关系，不是相关关系；
对于B，匀速直线行驶的汽车的位移s与行驶时间t是函数关系，不是相关关系；
对于C，杂交水稻植株的高度ℎ与土壤湿润度r，之间是相关关系；
对于D，某班的学生人数n与该班某次数学考试的平均分x受总分数和人数的影响，不是相关关系．
故选：C．
3.B
【简析】解：因为两圆的圆心坐标分别为(0,−12)，(1,0)，
那么过两圆圆心的直线斜率为12，
而线段AB的中垂线即为过两圆圆心的直线，
故所求直线方程为y−(−12)=12(x−0)，
整理可得x−2y−1=0．
故选B．
4.A
【简析】解：由f(x)=−x2f′(1)+6x得 f′x=−2f′(1)x−6x2，
当x=1时， f′1=−2f′1−6解得f′1=−2．
所以f(x)=2x2+6x，f(2)=11．
故选A．
5.A
【简析】解：2 x−1x6展开式的通项为Tr+1=C6r(2 x)6−r(−1)r(x−r)，
=C6r26−r(−1)rx3−32r，
令3−32r=0，解得r=2，
则可知展开式中常数项为C6224=240．
故选 A．
6.C
【简析】解：记事件A:至少有一名同学选择了琅琊山，
事件B:两名同学选择的景点不同，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=C21C31C41C41C21C41C41C41=34．
7.B
【简析】解：设切点为(t,tlnt)(t>0且t≠1)，
∵y′=lnx−1(lnx)2， ∴切线斜率k=lnt−1(lnt)2，
∴切线方程为y−tlnt=lnt−1(lnt)2(x−t)，
又切线过A(52,0)， ∴−tlnt=lnt−1(lnt)2(52−t)，即52lnt+t=52
设f(t)= 52lnt+t−52，则f′(t)=52t+1>0，
∴f(t)在t>0且t≠1上单调递增，
且tb>0)上一点P(x0,y0)作该椭圆的切线，切线方程为x0xa2+y0yb2=1，
把x=−c代入可得y=±b2a，不放取M(−c,b2a)，
则过M作椭圆的切线l方程为−cxa2+b2ayb2=1，
可得切线l的斜率为ca，
再由A(a,0)可得kAM=b2a−c−a=−b2a(a+c)，
因为切线l与直线AM的倾斜角互补，
所以ca−b2a(a+c)=0，结合b2=a2−c2整理可得a=2c，
所以椭圆C的离心率e=ca=12．
故选C．
9.AD
【简析】解：A选项，由图象可知，当x∈−2,−1时，f′x>0，
所以函数f(x)在−2,−1上单调递增，所以f(−2)0，
所以函数f(x)在−1,0上单调递增，所以f(−1)0，
当x∈2,3时，f′x120)=0.1​​​​​​​，可得P(80≤X≤120)=1-2×0.1=0.8，A错误；
由P(X>2a)=P(X< a-4)可得2a+a-4=200，解得a=68，B正确；
由正态曲线的图像和对称性可知P(100< XP(80< X