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2023-2024学年辽宁省沈阳实验中学八年级（下）月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳实验中学八年级（下）月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x>y，下列不等式一定成立的是( )
A. x−6−2yD. 2x+1>2y+1
2.在数轴上表示不等式组x>0.5x>1的解集正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，平移△ABC得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是( )
A. AD//BE
B. ∠BAC=∠DFE
C. AC=DF
D. ∠ABC=∠DEF
4.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x−1=x(1−1x)
6.如图，直线l1//l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A. 23°B. 46°C. 67°D. 78°
7.在△ABC中，AB=BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，BP交边AC于点D，则下列结论错误的是( )
A. BP平分∠ABCB. AD=DCC. BD垂直平分ACD. AB=2AD
8.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，若点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集是( )
A. x≥−1B. x>−1C. x≤−1D. x<−1
9.如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.点P(−2,−3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得的点的坐标为 ( )
A. (−3,0)B. (−1,6)C. (−3,−6)D. (−1,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.3x−7≤2的解集是______．
12.如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G.若∠B=70°，∠C=25°，则∠FGC=______°.
13.如图，在△ABC中，BC=8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A′DC′，则点A平移的距离AA′=______cm．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=40°，将△ABC绕点B旋转θ(0°<θ<90°)到△A′BC′，边A′C′和边AC相交于点P，这AC和边BC′相交干Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ= ______．
15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，且AD=4，CD=3，则BD的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解
(1)3x3−12x；
(2)8a3b2+12a3bc．
17.(本小题6分)
利用数轴求出不等式组的解集：
解不等式组：2x+3≥8x−4<5．
18.(本小题12分)
利用因式分解的方法简算
(1)2022−542+256×352
(2)89×18−25×0.125
(3)1022+102×196+982
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF.求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
20.(本小题8分)
某商店需要购进甲、乙两种商品(两种商品均购进)，其进价和销售价如表所示：
(1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润.(利润=售价−进价)
21.(本小题9分)
按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
(1)图中线段AB的长度为______；
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(3)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，直接写出点A2、C2的坐标．
22.(本小题12分)
某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动.请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1：如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行．
素材2：2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C(10,3)处．
(1)OA段ℎ关于s的函数解析式为______，2号机的爬升速度为______km/min．
(2)求出BC段ℎ关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．
(3)两机距离PQ不超过2km的时长为______min．
23.(本小题12分)
【问题提出】
如图，在△ABC中，AB=AC，点P是AB边上的动点(不与点A、B重合)，把△ABC沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为PQ．
(1)若点D恰好在AC边上．
①如图1，当PQ//AC时，连接AQ，求证：AQ⊥BC．
②如图2，当DP⊥AB，且BP=3，CD=2，直接写出△ABC与△CDQ的周长差．
【探究迁移】
(2)如图3，点P在AB边上运动时，若直线l始终垂直于AC，且AB=2 5，BC=4.直接写出△ACD的面积．
【拓展应用】
(3)若点Q与点C重合，AC⊥DP，BC= 6，BP=2，则CP= ______．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.B
9.C
10.A
11.x≤3
12.65
13.4
14.(203)°或(1003)°
15.5
16.解：(1)原式=3x(x2−4)
=3x(x+2)(x−2)；
(2)原式=4a3b(2b+3c)．
17.解：2x+3≥8①x−4<5②，
解不等式①得，x≥52；
解不等式②得，x<9；
在数轴上表示为：
所以，不等式组的解集为：52≤x<9．
18.解：(1)2022−542+256×352
=(202+54)(202−54)+256×352
=256×148+256×352
=256×(148+352)
=256×500
=128000；
(2)89×18−25×0.125
=89×18−25×18
=(89−25)×18
=64×18
=8；
(3)1022+102×196+982
=1022+2×102×98+982
=(102+98)2
=2002
=40000．
19.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
20.解：(1)设甲、乙两种商品分别购进x件，y件，根据题意可得：
x+y=30120x+150y=3900，
解得：x=20y=10，
答：甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
(2)设甲商品最多能购进a件，根据题意可得：
(135−120)a+(180−150)(30−a)≥785，
解得：a≤723，
因为a取整数，
所以甲商品最多能购进7件，
全部售完后总利润：(135−120)×7+(180−150)×(30−7)=795(元)，
答：甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元．
21.(1) 10；
(2)如图，△A1B1C1为所作；
(3)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为(0,0)，点C2的坐标为(3,2)．
22.(1)ℎ=s，3 2；
(2)∵过1min到达B处开始沿直线BC降落，
∴AB=3×1=3，
∵A(4,4)，
∴B(7,4)，
设BC段ℎ关于s的函数解析式为ℎ=k2s+b，
代入B(7,4)，C(10,3)得：7k2+b=410k2+b=3，
解得：k2=−13b=193，
∴BC段ℎ关于s的函数解析式为ℎ=−13s+193；
令ℎ=−13s+193=0，
解得：s=19，
∴预计2号机着陆点的坐标为(19,0)；
(3)73．
23.(1)①证明：如图1中，连接AQ，BD.BD交PQ于O．
∵△PQD是由△PQB翻折得到，
∴PQ垂直平分线段BD，
∴OB=OD，BQ=DQ，
∵PQ//AC，
∴∠C=∠PQB，∠QDC=∠PQD，
∴∠C=∠QDC，
∴DQ=QC，
∴BQ=QC，
∵AB=AC，
∴AQ⊥BC．
②解：如图2中，设PA=x，则
AB=AC=x+3，
AD=AC−CD=x+1，
∵PB=PD=3，DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴AD2=PA2+PD2，
∴(x+1)2=x2+32，
解得x=4，
∵BQ=DQ，
∴△ABC的周长−△CDQ的周长=AB+AC+BC−(QD+QC+CD)=2AB−CD=14−2=12．
(2)解：如图，连接BD，
∵△APD与△CPB关于直线PQ对称，
∴BD⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴BD//AC，
∴S△ADC=S△ABC，
过点A作AM⊥BC，
∵AB=AC，BC=4，
∴BM=CM=12BC=2，
∴AM= AB2−BM2=4，
S△ABC=12×4×4=8；
(3) 3+1．甲
乙
进价(元/件)
120
150
售价(元/件)
135
180
1.已知x>y，下列不等式一定成立的是( )
A. x−6
2.在数轴上表示不等式组x>0.5x>1的解集正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，平移△ABC得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论中不成立的是( )
A. AD//BE
B. ∠BAC=∠DFE
C. AC=DF
D. ∠ABC=∠DEF
4.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x−1=x(1−1x)
6.如图，直线l1//l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC.若∠ABC=67°，则∠1=( )
A. 23°B. 46°C. 67°D. 78°
7.在△ABC中，AB=BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，BP交边AC于点D，则下列结论错误的是( )
A. BP平分∠ABCB. AD=DCC. BD垂直平分ACD. AB=2AD
8.如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，若点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集是( )
A. x≥−1B. x>−1C. x≤−1D. x<−1
9.如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.点P(−2,−3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得的点的坐标为 ( )
A. (−3,0)B. (−1,6)C. (−3,−6)D. (−1,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.3x−7≤2的解集是______．
12.如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G.若∠B=70°，∠C=25°，则∠FGC=______°.
13.如图，在△ABC中，BC=8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A′DC′，则点A平移的距离AA′=______cm．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=40°，将△ABC绕点B旋转θ(0°<θ<90°)到△A′BC′，边A′C′和边AC相交于点P，这AC和边BC′相交干Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ= ______．
15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，且AD=4，CD=3，则BD的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解
(1)3x3−12x；
(2)8a3b2+12a3bc．
17.(本小题6分)
利用数轴求出不等式组的解集：
解不等式组：2x+3≥8x−4<5．
18.(本小题12分)
利用因式分解的方法简算
(1)2022−542+256×352
(2)89×18−25×0.125
(3)1022+102×196+982
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF.求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
20.(本小题8分)
某商店需要购进甲、乙两种商品(两种商品均购进)，其进价和销售价如表所示：
(1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润.(利润=售价−进价)
21.(本小题9分)
按要求画图及填空：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上．
(1)图中线段AB的长度为______；
(2)将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(3)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，直接写出点A2、C2的坐标．
22.(本小题12分)
某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动.请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1：如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机(看成点P)始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行．
素材2：2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿45°角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C(10,3)处．
(1)OA段ℎ关于s的函数解析式为______，2号机的爬升速度为______km/min．
(2)求出BC段ℎ关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．
(3)两机距离PQ不超过2km的时长为______min．
23.(本小题12分)
【问题提出】
如图，在△ABC中，AB=AC，点P是AB边上的动点(不与点A、B重合)，把△ABC沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为PQ．
(1)若点D恰好在AC边上．
①如图1，当PQ//AC时，连接AQ，求证：AQ⊥BC．
②如图2，当DP⊥AB，且BP=3，CD=2，直接写出△ABC与△CDQ的周长差．
【探究迁移】
(2)如图3，点P在AB边上运动时，若直线l始终垂直于AC，且AB=2 5，BC=4.直接写出△ACD的面积．
【拓展应用】
(3)若点Q与点C重合，AC⊥DP，BC= 6，BP=2，则CP= ______．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.D
8.B
9.C
10.A
11.x≤3
12.65
13.4
14.(203)°或(1003)°
15.5
16.解：(1)原式=3x(x2−4)
=3x(x+2)(x−2)；
(2)原式=4a3b(2b+3c)．
17.解：2x+3≥8①x−4<5②，
解不等式①得，x≥52；
解不等式②得，x<9；
在数轴上表示为：
所以，不等式组的解集为：52≤x<9．
18.解：(1)2022−542+256×352
=(202+54)(202−54)+256×352
=256×148+256×352
=256×(148+352)
=256×500
=128000；
(2)89×18−25×0.125
=89×18−25×18
=(89−25)×18
=64×18
=8；
(3)1022+102×196+982
=1022+2×102×98+982
=(102+98)2
=2002
=40000．
19.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
20.解：(1)设甲、乙两种商品分别购进x件，y件，根据题意可得：
x+y=30120x+150y=3900，
解得：x=20y=10，
答：甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
(2)设甲商品最多能购进a件，根据题意可得：
(135−120)a+(180−150)(30−a)≥785，
解得：a≤723，
因为a取整数，
所以甲商品最多能购进7件，
全部售完后总利润：(135−120)×7+(180−150)×(30−7)=795(元)，
答：甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元．
21.(1) 10；
(2)如图，△A1B1C1为所作；
(3)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为(0,0)，点C2的坐标为(3,2)．
22.(1)ℎ=s，3 2；
(2)∵过1min到达B处开始沿直线BC降落，
∴AB=3×1=3，
∵A(4,4)，
∴B(7,4)，
设BC段ℎ关于s的函数解析式为ℎ=k2s+b，
代入B(7,4)，C(10,3)得：7k2+b=410k2+b=3，
解得：k2=−13b=193，
∴BC段ℎ关于s的函数解析式为ℎ=−13s+193；
令ℎ=−13s+193=0，
解得：s=19，
∴预计2号机着陆点的坐标为(19,0)；
(3)73．
23.(1)①证明：如图1中，连接AQ，BD.BD交PQ于O．
∵△PQD是由△PQB翻折得到，
∴PQ垂直平分线段BD，
∴OB=OD，BQ=DQ，
∵PQ//AC，
∴∠C=∠PQB，∠QDC=∠PQD，
∴∠C=∠QDC，
∴DQ=QC，
∴BQ=QC，
∵AB=AC，
∴AQ⊥BC．
②解：如图2中，设PA=x，则
AB=AC=x+3，
AD=AC−CD=x+1，
∵PB=PD=3，DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴AD2=PA2+PD2，
∴(x+1)2=x2+32，
解得x=4，
∵BQ=DQ，
∴△ABC的周长−△CDQ的周长=AB+AC+BC−(QD+QC+CD)=2AB−CD=14−2=12．
(2)解：如图，连接BD，
∵△APD与△CPB关于直线PQ对称，
∴BD⊥PQ，
∵AC⊥PQ，
∴BD//AC，
∴S△ADC=S△ABC，
过点A作AM⊥BC，
∵AB=AC，BC=4，
∴BM=CM=12BC=2，
∴AM= AB2−BM2=4，
S△ABC=12×4×4=8；
(3) 3+1．甲
乙
进价(元/件)
120
150
售价(元/件)
135
180
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