2025年高考数学一轮复习-第六章-第三节 等比数列-课时作业【含解析】

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1.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为（ ）
A.±2 B.2
C.±2 D.2
2.（2024·重庆）已知3，x，27三个数成等比数列，则x＝（ ）
A.9 B.－9
C.9或－9 D.0
3.（2024·上海）已知在等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝（ ）
A.12 B.－12
C.－29 D.－19
4.（2024·湖南衡阳）中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：升）为（ ）
A.253 B.503
C.507 D.1007
5.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为（ ）
A.30 B.10
C.9 D.6
6.（多选）设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是（ ）
A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D.数列1an是公比为1q的等比数列
7.（2024·浙江宁波）已知数列an为等比数列，且a5＝5，则（ ）
A.a1＋a9的最小值为50
B.a1＋a9的最大值为50
C.a1＋a9的最小值为10
D.a1＋a9的最大值为10
8.（多选）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），则有（ ）
A.Sn＝3n－1 B.{Sn}为等比数列
C.an＝2·3n－1 D.an＝1，n=1，2·3n－2，n≥2
9.（2024·福建龙岩）在等比数列an中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，则a13＝ .
10.已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为 ，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝ .
11.（2024·河南郑州）已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n（n∈N*）.若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝ .
12.已知数列{an}满足an＋1＝3an2an+1（n∈N*），且a1＝23.
（1）求证1an－1是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列1an的前n项和Tn.
[B组 能力提升练]
13.（2024·湖北武汉）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为（ ）
A.10 B.15
C.20 D.25
14.设等比数列an的前n项和为Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋12，n∈N*，则S6＝（ ）
A.312 B.16
C.30 D.632
15.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6－1a7－1＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A.0＜q＜1 B.a6a8＞1
C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T6
16.（多选）在数列{an}中，n∈N*，若an+2－an+1an+1－an＝k（k为常数），则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是（ ）
A.k不可能为0
B.等差数列一定是“等差比数列”
C.等比数列一定是“等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
17.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为32，则S5＝ .
18.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为 .
19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n（n∈N*）.
（1）求a1，a2，a3的值.
（2）是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由.
2025年高考数学一轮复习-第六章-第三节 等比数列-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为（ ）
A.±2 B.2
C.±2 D.2
答案：A
解析：设等比数列{an}的公比为q，根据题意得a3·a7＝a12·q8＝q8＝16＝24，所以q2＝2，即q＝±2.
2.（2024·重庆）已知3，x，27三个数成等比数列，则x＝（ ）
A.9 B.－9
C.9或－9 D.0
答案：C
解析：由于3，x，27成等比数列，所以x2＝3×27＝81，解得x＝9或－9.
3.（2024·上海调研）已知在等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝（ ）
A.12 B.－12
C.－29 D.－19
答案：B
解析：法一：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），则由a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，
得a1q·a1q4·a1q7＝－8，a1（1－q3）1－q＝a1q+3a1，得q2=2，a1＝－12.
法二：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以a3a1＝q2＝2.因为a2a5a8＝a53＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－12.
4.（2024·湖南衡阳）中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：升）为（ ）
A.253 B.503
C.507 D.1007
答案：D
解析：5斗＝50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则a1（1－23）1－2＝50，解得a1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a2＝2a1＝1007.
5.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为（ ）
A.30 B.10
C.9 D.6
答案：B
解析：an为各项均为正数的等比数列，则an＞0，可得a1＞0，q＞0，∵a32＝a2a4＝9， ∴a3＝3.
又∵9S4＝10S2，则9（a1＋a2＋a3＋a4）＝10（a1＋a2），可得9（a3＋a4）＝a1＋a2，
∴a3＋a4a1＋a2＝q2＝19，解得q＝13，故a2＋a4＝a3q＋a3q＝10.
6.（多选）设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是（ ）
A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D.数列1an是公比为1q的等比数列
答案：AD
解析：对于A，由anan+1an－1an＝q2（n≥2）知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D，1an+11an＝anan+1＝1q，
所以数列1an是公比为1q的等比数列.
7.（2024·浙江宁波）已知数列an为等比数列，且a5＝5，则（ ）
A.a1＋a9的最小值为50
B.a1＋a9的最大值为50
C.a1＋a9的最小值为10
D.a1＋a9的最大值为10
答案：C
解析：由题意，
在等比数列an中，a5＝5，
设公比为q，则a1＝a5q－4＞0，a9＝a5q4＞0，
∴a1＋a9＝a5q－4＋a5q4＝a5q－4＋q4≥5×2q－4·q4＝10，
当且仅当q－4＝q4即q＝±1时等号成立，
∴a1＋a9的最小值为10.
8.（多选）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），则有（ ）
A.Sn＝3n－1 B.{Sn}为等比数列
C.an＝2·3n－1 D.an＝1，n=1，2·3n－2，n≥2
答案：ABD
解析：由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn（n∈N*），
当n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得an＋1－an＝2（Sn－Sn−1）＝2an，
可得an＋1＝3an，即an+1an＝3（n≥2）.
又a1＝1，当n＝1时，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以a2a1＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝1，n=1，2·3n－2，n≥2.
当n≥2时，Sn＝an+12＝2·3n－12＝3n－1.
又S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1.
又Sn+1Sn＝3n3n－1＝3，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列.
综上可得选项A，B，D是正确的.
9.（2024·福建龙岩）在等比数列an中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，则a13＝ .
答案：64
解析：在等比数列an中 ，a2a6＝8，
故a1a7＝8，结合a1＋a7＝9，以及an＜an＋1可得a1＝1，a7＝8，
设等比数列公比为q，则q6＝a7a1＝8，
故a13＝a7q6＝8×8＝64.
10.已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为 ，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝ .
答案：an＝4×12n－1 323×1－14n
解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列得a1＝4，a3＝1，所以q＝12，an＝4×12n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为14的等比数列的前n项和，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋12＋…＋8×14n－1＝8×1－14n1－14＝323×1－14n.
11.（2024·河南郑州）已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n（n∈N*）.若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝ .
答案：2
解析：数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n（n∈N*），①
则n≥2时，Sn－1＝3an－1－2（n－1），②
①－②，得an＝3an－3an－1－2，
∴2an＝3an－1＋2，
∴an＝32an－1＋1.若{an＋λ}成等比数列，
∴an＋λ＝32（an－1＋λ），解得λ＝2.
12.已知数列{an}满足an＋1＝3an2an+1（n∈N*），且a1＝23.
（1）求证1an－1是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列1an的前n项和Tn.
解：（1）记bn＝1an－1，
则bn+1bn＝1an+1－11an－1＝2an+13an－11an－1
＝2an+1－3an3－3an＝1－an3（1－an）＝13.
又b1＝1a1－1＝32－1＝12，
所以1an－1是首项为12，公比为13的等比数列，
所以1an－1＝12·13n－1，
即an＝2·3n－11+2·3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2·3n－11+2·3n－1.
（2）由（1）知，1an－1＝12·13n－1，
即1an＝12·13n－1＋1，
所以数列1an的前n项和为
Tn＝121－13n1－13＋n＝341－13n＋n.
[B组 能力提升练]
13.（2024·湖北武汉）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为（ ）
A.10 B.15
C.20 D.25
答案：C
解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.
又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4（S12－S8）＝（S8－S4）2.
于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝（S8－S4）2S4＝（S4+5）2S4＝S4＋25S4＋10≥2 S4×25S4＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立.
所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
14.设等比数列an的前n项和为Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋12，n∈N*，则S6＝（ ）
A.312 B.16
C.30 D.632
答案：D
解析：由题得：Sn＋1＝2Sn＋12 ①，
Sn＋2＝2Sn＋1＋12 ②，①－②得： an＋2＝2an＋1，q＝2，
则Sn＝a1（1－2n）1－2＝（2n－1）a1，代入①中，即（2n＋1－1）a1＝2（2n－1）a1＋12，a1＝12，故S6＝632.
15.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6－1a7－1＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A.0＜q＜1 B.a6a8＞1
C.Sn的最大值为S7 D.Tn的最大值为T6
答案：AD
解析：由题意知，等比数列{an}的公比q＞0，
则{lg an}为等差数列，公差d＝lg q，
由a1＞1，a6a7＞1，q＞0且q≠1，
得lg a1＞0，lg a6＋lg a7＞0，
又a6－1a7－1＜0，所以a6＞1，a7＜1，
则0＜q＜1，故A中的结论正确；
lg a6＞0，lg a7＜0，又lg a1＞0，
所以数列{lg an}是递减数列，
{lg an}从第7项开始小于零，故其前6项和lg T6最大，即Tn的最大值为T6，故D中的结论正确；
由lg a6＋lg a8＝2lg a7＜0，得0＜a6a8＝a72＜1，故B中的结论错误；
因为0＜q＜1，a1＞1，所以数列{an}的各项均为正数，Sn没有最大值，故C中的结论错误.
16.（多选）在数列{an}中，n∈N*，若an+2－an+1an+1－an＝k（k为常数），则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是（ ）
A.k不可能为0
B.等差数列一定是“等差比数列”
C.等比数列一定是“等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
答案：AD
解析：对于A，k不可能为0，正确；
对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
对于C，当等比数列的公比q＝1时，an+1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；
对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确.
17.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为32，则S5＝ .
答案：31
18.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为 .
答案：132
解析：由题意，得正方形的边长构成以22为首项，22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为2210＝132.
19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n（n∈N*）.
（1）求a1，a2，a3的值.
（2）是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由.
解：（1）当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
（2）假设{an＋λ}是等比数列，则（a2＋λ）2＝（a1＋λ）·（a3＋λ），
即（9＋λ）2＝（3＋λ）（21＋λ），解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
∴2（an＋3）＝an＋1＋3，∴an+1+3an+3＝2，
∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列.
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3（2n－1）.