2025年高考数学一轮复习-第六章-第四节 数列求和-课时作业【含解析】

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1.数列{an}的前n项和为Sn，且an＝（－1）n（2n－1），则S2 024＝（ ）
A.2 024 B.－2 021
C.－2 024 D.2 021
2.等差数列{an}中，已知公差d＝12，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100等于（ ）
A.50 B.75
C.100 D.125
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 023＞0，S2 024＜0，对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则k的值为（ ）
A.1 010 B.1 011
C.1 012 D.1 013
4.（2024·重庆）已知数列{an}满足an＝nn+1，则a1＋a222＋a332＋…＋a2 0242 0242＝（ ）
A.2 0242 025 B.2 0232 024
C.2 0222 023 D.2 0212 022
5.（多选）已知数列{an}的首项为4，且满足2（n＋1）an－nan＋1＝0（n∈N*），则（ ）
A.数列ann为等差数列
B.数列{an}为递增数列
C.数列{an}的前n项和Sn＝（n－1）·2n＋1＋4
D.数列an2n+1的前n项和Tn＝n2＋n2
6.（多选）（2024·山东济宁）若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则下列说法正确的是（ ）
A.a5＝－16
B.S5＝－63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn＋1}是等比数列
7.（多选）（2024·安徽池州）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝－n+32，n为奇数，n2，n为偶数，则下列判断正确的是（ ）
A.a10＝－11
B.当n为奇数时，an＝－n－1
C.当n为偶数时，an＝n＋1
D.数列1anan+1的前n项和等于－n2n+2
8.（多选）（2024·重庆）已知数列{an}满足a1＝－2，anan－1＝2nn－1（n≥2，n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A.a2＝－8
B.an＝－2n·n
C.S3＝－30
D.Sn＝（1－n）·2n＋1－2
9.（2024·北京）已知数列an的前n项和为Sn，且an＋2＝2an，S2＝3a1＝3，则a5＝ ；若Sm＞30，则m的最小值为 .
10.已知数列{an}满足a1＝1，且an+1＋an＝n－1 009（n∈N*），则其前2 023项之和S2 023＝ .
11.（2024·重庆）已知等差数列an的前n项和为 Sn，且满足a3＝5，S3＝a5.
（1）求数列an的通项公式；
（2）若数列bn满足bn＝an＋2an， 求数列bn的前n项和Tn.
12.（2024·山东聊城）已知等差数列an满足a2＋a5＋a8＝15，S5＝15.
（1）求an的通项公式；
（2）已知求数列bn＝an2an，求bn的前n项和Sn.
[B组 能力提升练]
13.已知数列{an}满足对任意的正整数n，都有a1＋a2＋…＋an－an+1＝0，其中a1＝3，则数列{an}的前2 024项和是（ ）
A.3×22 024－3 B.3×22 023＋1
C.3×22 023 D.3×22 023＋2
14.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上往下数最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（ ）
A.an＋1－an＝n
B.S5＝35
C.Sn－Sn－1＝n（n+1）2，n≥2
D.1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2 023＝2 0231 012
15.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn， an＝2n－13，1≤n≤6，(−3）n－7－1，n>6，若Sk＝－32，则k可能为（ ）
A.4 B.8
C.9 D.12
16.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋n，则数列4anan+1的前8项的和为 .
17.若f（x）＋f（1－x）＝2，an＝f（0）＋f1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f（1），则数列{an}的通项an＝ .
18.已知正项数列an满足a1＝1，且an－an＋1＝2anan＋1.
（1）求数列an的通项公式；
（2）记bn＝an2n+1，求数列bn的前n项和为Sn，求证：13≤Sn＜12.
2025年高考数学一轮复习-第六章-第四节 数列求和-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.数列{an}的前n项和为Sn，且an＝（－1）n（2n－1），则S2 024＝（ ）
A.2 024 B.－2 021
C.－2 024 D.2 021
答案：A
解析：an＋an＋1＝（－1）n（2n－1）＋（－1）n＋1（2n＋1）＝（－1）n＋1（2n＋1－2n＋1）＝2×（－1）n＋1，因而S2 024＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋…＋（a2 023＋a2 024）＝2×1 012＝2 024.
2.等差数列{an}中，已知公差d＝12，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100等于（ ）
A.50 B.75
C.100 D.125
答案：B
解析：a2＋a4＋…＋a100
＝（a1＋d）＋（a3＋d）＋…＋（a99＋d）
＝（a1＋a3＋…＋a99）＋50d
＝50＋25＝75.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 023＞0，S2 024＜0，对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则k的值为（ ）
A.1 010 B.1 011
C.1 012 D.1 013
答案：C
解析：由已知可得S2 023＝2 023（a1＋a2 023）2＞0，S2 024＝2 024（a1＋a2 024）2＜0，即a1＋a2 023＞0，a1＋a2 024＜0，可得2a1 012＞0，a1 012＋a1 013＜0，∴a1 012＞0，a1 013＜0，可得等差数列{an}为递减数列.又a1 012＋a1 013＜0，∴｜a1 012｜＜｜a1 013｜，∴对任意正整数n，都有｜an｜≥｜ak｜，则k的值为1 012.
4.（2024·重庆）已知数列{an}满足an＝nn+1，则a1＋a222＋a332＋…＋a2 0242 0242＝（ ）
A.2 0242 025 B.2 0232 024
C.2 0222 023 D.2 0212 022
答案：A
解析：由题知，数列{an}满足an＝nn+1，所以数列ann2的通项公式为ann2＝1n（n+1）＝1n－1n+1，所以a1＋a222＋a332＋…＋a2 0242 0242＝1－12＋12－13＋…＋12 024－12 025＝1－12 025＝2 0242 025.
5.（多选）已知数列{an}的首项为4，且满足2（n＋1）an－nan＋1＝0（n∈N*），则（ ）
A.数列ann为等差数列
B.数列{an}为递增数列
C.数列{an}的前n项和Sn＝（n－1）·2n＋1＋4
D.数列an2n+1的前n项和Tn＝n2＋n2
答案：BD
解析：由2（n＋1）an－nan＋1＝0得an+1n+1＝2×ann，所以数列ann是以a11＝a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为ann＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝n·2n＋1，显然递增，故B正确；因为Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2，所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝22（1－2n）1－2－n·2n＋2，故Sn＝（n－1）·2n＋2＋4，故C错误；因为an2n+1＝n·2n+12n+1＝n，所以数列an2n+1的前n项和Tn＝n（1+n）2＝n2＋n2，故D正确.
6.（多选）（2024·山东济宁）若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则下列说法正确的是（ ）
A.a5＝－16
B.S5＝－63
C.数列{an}是等比数列
D.数列{Sn＋1}是等比数列
答案：AC
解析：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，所以a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；a5＝－1×24＝－16，故A正确；Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误.
7.（多选）（2024·安徽池州）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝－n+32，n为奇数，n2，n为偶数，则下列判断正确的是（ ）
A.a10＝－11
B.当n为奇数时，an＝－n－1
C.当n为偶数时，an＝n＋1
D.数列1anan+1的前n项和等于－n2n+2
答案：BCD
解析：由Sn＝－n+32，n为奇数，n2，n为偶数.可得a1＝S1＝－2，a2＝3，
当n为奇数且n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝－n+32－n－12＝－n－1，其中a1符合，
所以当n为奇数时，an＝－n－1，所以B正确；
当n为偶数时，an＝Sn－Sn－1＝n2－－n－1+32＝n＋1，所以A错误，C正确；
又由anan＋1＝－n+1n+2，1anan+1＝－1n+1n+2
＝－1n+1－1n+2，
所以数列1anan+1的前n项和为Tn＝
－12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n+1－1n+2
＝－12＋1n+2＝－n2n+2，所以D正确.
8.（多选）（2024·重庆）已知数列{an}满足a1＝－2，anan－1＝2nn－1（n≥2，n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A.a2＝－8
B.an＝－2n·n
C.S3＝－30
D.Sn＝（1－n）·2n＋1－2
答案：ABD
解析：由题意可得，a2a1＝2×21，a3a2＝2×32，a4a3＝2×43，…，anan－1＝2nn－1（n≥2，n∈N*），以上式子左、右两边分别相乘得ana1＝2n－1·n（n≥2，n∈N*），把a1＝－2代入，得an＝－2n·n（n≥2，n∈N*），又a1＝－2符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝－2n·n（n∈N*），a2＝－8，故A，B正确；Sn＝－（1×2＋2×22＋…＋n·2n），则2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1]，两式相减，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝（1－n）·2n＋1－2（n∈N*），故S3＝－34，故C错误，D正确.
9.（2024·北京）已知数列an的前n项和为Sn，且an＋2＝2an，S2＝3a1＝3，则a5＝ ；若Sm＞30，则m的最小值为 .
答案：4 8
解析：∵S2＝3a1＝3，∴a1＝1，a2＝2.
∵an＋2＝2an，∴an的奇数与偶数项分别成等比数列，a5＝a1·22＝4，an各项均为正，
因此Sn是递增数列，数列an的前几项依次为：1，2，2，4，4，8，8，16，16，
S7＝1＋2＋2＋4＋4＋8＋8＝29，S8＝S7＋a8＝29＋16＝45＞30，
∴m的最小值是8.
10.已知数列{an}满足a1＝1，且an+1＋an＝n－1 009（n∈N*），则其前2 023项之和S2 023＝ .
答案：3 034
解析：S2 023＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a2 022＋a2 023），
又an+1＋an＝n－1 009（n∈N*）， 且a1＝1，
∴S2 023＝1＋（2－1 009）＋（4－1 009）＋…＋（2 022－1 009）
＝1＋（2＋4＋6＋…＋2 022）－1 009×1 011
＝1＋2+2 0222×1 011－1 009×1 011＝3 034.
11.（2024·重庆）已知等差数列an的前n项和为 Sn，且满足a3＝5，S3＝a5.
（1）求数列an的通项公式；
（2）若数列bn满足bn＝an＋2an， 求数列bn的前n项和Tn.
解：（1）设等差数列an的公差为d，则a1+2d=5，3a1+3d＝a1+4d，
解得a1=1，d=2，故an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
（2）由（1）可得bn＝an＋2an＝2n－1＋12·4nn∈N*，
故Tn＝[1＋3＋5＋…＋（2n－1）]＋12（4＋42＋…＋4n）
＝n（1+2n－1）2＋12·4×1－4n1－4＝n2＋234n－1.
12.（2024·山东聊城）已知等差数列an满足a2＋a5＋a8＝15，S5＝15.
（1）求an的通项公式；
（2）已知求数列bn＝an2an，求bn的前n项和Sn.
解：（1）an为等差数列，设公差为d，
因为a2＋a5＋a8＝3a5＝15，所以a5＝5.
因为S5＝15，所以5a1＋a52＝5a3＝15，所以a3＝3，
所以2d＝5－3＝2，所以d＝1，
所以an＝a3＋n－3d＝3＋n－3＝n.
（2）由（1）知an＝n，所以bn＝n2n，
所以Sn＝121＋222＋323＋…＋n2n，
12Sn＝122＋223＋324＋…＋n－12n＋n2n+1，
所以Sn－12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n+1，
所以12Sn＝121－12n1－12－n2n+1＝1－12n－n2n+1，所以Sn＝2－22n－n2n＝2－2+n2n.
[B组 能力提升练]
13.已知数列{an}满足对任意的正整数n，都有a1＋a2＋…＋an－an+1＝0，其中a1＝3，则数列{an}的前2 024项和是（ ）
A.3×22 024－3 B.3×22 023＋1
C.3×22 023 D.3×22 023＋2
答案：C
解析：法一：由a1＋a2＋…＋an－an+1＝0，①
得a1＋a2＋…＋an－1－an＝0（n≥2），②
①－②，得2an－an+1＝0，
即an+1＝2an（n≥2）.
又a1－a2＝0，a1＝3，所以a2＝3，
又a1＋a2－a3＝0，所以a3＝6，
所以数列{an}从第2项起构成以3为首项，以2为公比的等比数列，
所以数列{an}的前2 024项和
S2 024＝3＋3（1－22 023）1－2＝3×22 023.
法二：设数列{an}的前n项和为Sn，
则由a1＋a2＋…＋an－an+1＝0，
得Sn－an+1＝0，
所以Sn－（Sn+1－Sn）＝0，则Sn+1＝2Sn，
所以数列{Sn}是首项为S1＝a1＝3，公比为2的等比数列，
所以Sn＝3×2n－1，所以S2 024＝3×22 023.
14.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上往下数最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（ ）
A.an＋1－an＝n
B.S5＝35
C.Sn－Sn－1＝n（n+1）2，n≥2
D.1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a2 023＝2 0231 012
答案：BCD
解析：因为a1＝1，
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
……
an－an－1＝n，
以上n个式子累加可得：an＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n+1）2，
所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋3＋6＋10＋15＝35，故选项B正确；
由递推关系可知：an＋1－an＝n＋1，故选项A不正确；
当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝n（n+1）2，故选项C正确；
因为1an＝2n（n+1）＝21n－1n+1，
所以1a1＋1a2＋…＋1a2 023＝21－12＋212－13＋…＋212 023－12 024＝21－12 024＝2 0231 012，故选项D正确.
15.（多选）已知数列{an}的前n项和为Sn， an＝2n－13，1≤n≤6，(−3）n－7－1，n>6，若Sk＝－32，则k可能为（ ）
A.4 B.8
C.9 D.12
答案：AC
解析：a1＝－11，当1≤k≤6时，由Sk＝－11+2k－132×k＝k2－12k＝－32，
解得k＝4或k＝8（舍去），所以A选项正确.S6＝62－12×6＝－36，
a7＝（－3）0－1＝0，a8＝（－3）1－1＝－4，S8＝－36＋0＋（－4）＝－40，所以B选项错误.
a9＝（－3）2－1＝8，S9＝－40＋8＝－32，所以C选项正确.
a10＝（－3）3－1＝－28，a11＝（－3）4－1＝80，a12＝（－3）5－1＝－244，
所以S12＝－32－28＋80－244＝－224，所以D选项错误.
16.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋n，则数列4anan+1的前8项的和为 .
答案：89
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
当n＝1时，a1＝2也符合上式，
∴an＝2n（n∈N*），
∴4anan+1＝42n（2n+2）＝1n（n+1）＝1n－1n+1，
∴数列4anan+1的前8项的和为11－12＋12－13＋…＋18－19＝89.
17.若f（x）＋f（1－x）＝2，an＝f（0）＋f1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f（1），则数列{an}的通项an＝ .
答案：n＋1
解析：∵an＝f（0）＋f1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f（1），
∴an＝f（1）＋fn－1n＋…＋f2n＋f1n＋f（0）.
两式相加，得2an＝[f（0）＋f（1）]＋f1n＋fn－1n＋…＋fn－1n＋
f1n＋[f（1）＋f（0）]，
∴2an＝2（n＋1），∴an＝n＋1.
18.已知正项数列an满足a1＝1，且an－an＋1＝2anan＋1.
（1）求数列an的通项公式；
（2）记bn＝an2n+1，求数列bn的前n项和为Sn，求证：13≤Sn＜12.
（1）解：在数列an中，an＞0，由an－an＋1＝2anan＋1，
可得1an+1－1an＝2，又1a1＝11＝1，
则数列1an是首项为1公差为2的等差数列，
所以1an＝1＋2（n－1）＝2n－1，
则数列an的通项公式为an＝12n－1.
（2）证明：由（1）知an＝12n－1，则
bn＝an2n+1＝1（2n－1)(2n+1）＝1212n－1－12n+1，
则数列bn的前n项和Sn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n+1
＝121－12n+1.
∵n∈N*，∴2n＋1≥3，
∴0＜12n+1≤13，
∴－13≤－12n+1＜0，
∴23≤1－12n+1＜1，∴13≤Sn＜12.