2025年高考数学一轮复习-8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识体系构建，考点分类突破，微专题11隐圆问题，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 直线 y ＝ x ＋1与圆 x 2＋ y 2＝1的位置关系为（　　）
2. 圆 O 1： x 2＋ y 2－2 y ＝0与圆 O 2： x 2＋ y 2－4＝0的位置关系是（　　）
解析：　两圆方程可化为 x 2＋（ y －1）2＝1， x 2＋ y 2＝4.两圆圆 心分别为 O 1（0，1）， O 2（0，0），半径分别为 r 1＝1， r 2＝2.因 为｜ O 1 O 2｜＝1＝ r 2－ r 1，所以两圆内切.
4. 已知圆 C ： x 2＋ y 2＝9，过点 P （3，1）作圆 C 的切线，则切线方程 为 ⁠.
x ＝3或4 x ＋3 y －15＝0
1. 圆的切线方程常用结论（1）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2上一点 P （ x 0， y 0）的圆的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2；（2）过圆（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2上一点 P （ x 0， y 0） 的圆的切线方程为（ x 0－ a ）·（ x － a ）＋（ y 0－ b ）·（ y － b ）＝ r 2；（3）过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P （ x 0， y 0）作圆的两条切线，则两 切点所在直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2.
2. 两圆相交时公共弦的方程
设圆 C 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1＝0，　①
圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2＝0，　②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－② 所得，即：（ D 1－ D 2） x ＋（ E 1－ E 2） y ＋（ F 1－ F 2）＝0.
3. 圆系方程（1）同心圆系方程：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2（ r ＞0），其中 a ， b 是定值， r 是参数；
（2）过直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0与圆 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0交点的 圆系方程： x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋λ（ Ax ＋ By ＋ C ）＝0 （λ∈R）；
（3）过圆 C 1： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1＝0和圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2＝0交点的圆系方程： x 2＋ y 2＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1 ＋λ（ x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2）＝0（λ≠－1）（该圆系不 含圆 C 2，解题时，注意检验圆 C 2是否满足题意，以防漏解）.
1. 过点（2，2）作圆（ x －1）2＋ y 2＝5的切线，则切线方程为 （　　）
解析：　显然点（2，2）在圆上，由结论1可得（2－1）（ x － 1）＋（2－0） y ＝5，即 x ＋2 y －6＝0，故选C.
2. 圆 x 2＋ y 2－4＝0与圆 x 2＋ y 2－4 x ＋4 y －12＝0的公共弦长为 ⁠ ⁠.
3. 经过两圆 x 2＋ y 2＋6 x －4＝0和 x 2＋ y 2＋6 y －28＝0的交点，并且圆 心在直线 x － y －4＝0上的圆的方程为 ⁠.
x 2＋ y 2－ x ＋7 y －32＝0
精选考点 典例研析 技法重悟通
直线与圆的位置关系判断
1. “ a ＝3”是“直线 y ＝ x ＋4与圆（ x － a ）2＋（ y －3）2＝8相切” 的（　　）
2. （2024·衡水模拟）直线 l ： mx － y ＋1－ m ＝0与圆 C ： x 2＋（ y － 1）2＝5的位置关系是（　　）
3. （2024·武汉模拟）若直线 x － y ＋1＝0与圆（ x － a ）2＋ y 2＝2有公 共点，则实数 a 的取值范围是 ⁠.
练后悟通判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用 d 与 r 的关系判断；（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断；（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断 直线与圆相交.提醒　上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适 用于动直线问题.
考向1　圆的弦长问题【例1】　（1）（多选）已知圆 C ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝16，直 线 l ：（2 m －1） x ＋（ m －1） y －3 m ＋1＝0.下列说法正确的是（　）
解题技法直线被圆截得的弦长的两种求法
考向2　圆的切线问题【例2】　（1）已知点 M （3，1），圆 C ：（ x －1）2＋（ y －2）2＝ 4，则过点 M 的圆 C 的切线方程为 ；其切 线长 l ＝ ⁠.
x －3＝0或3 x －4 y －5＝0　
（2）由直线 x ＋2 y －7＝0上一点 P 引圆 x 2＋ y 2－2 x ＋4 y ＋2＝0的一 条切线，切点为 A ，则｜ PA ｜的最小值为 ⁠.
解题技法解决直线与圆相切问题的策略
1. （2024·北京高考9题）已知圆 C ： x 2＋ y 2＝4，直线 l ： y ＝ kx ＋ m ，当 k 变化时， l 截得圆 C 弦长的最小值为2，则 m ＝（　　）
2. （2024·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆 x 2＋ y 2－4 x －1＝0相 切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　）
3. 若圆 x 2＋ y 2＝ r 2（ r ＞0）上恒有4个点到直线 l ： x － y －2＝0的距 离为1，则实数 r 的取值范围是 ⁠.
（2）已知圆 C 1： x 2＋ y 2＋2 x ＋2 y －8＝0与圆 C 2： x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0相交于 A ， B 两点，则公共弦 AB 的长为 ，经过 A ， B 两点且面积最小的圆的方程为 ⁠ ⁠.
（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝
解题技法圆与圆位置关系相关问题的求解策略（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距 离与两圆半径之间的关系；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作 差消去 x 2， y 2项得到.
1. 已知圆 C 1：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝1与 C 2：（ x － a ）2＋（ y － a ＋3）2＝9恰好有4条公切线，则实数 a 的取值范围是（　　）
2. （2024·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆 x 2＋ y 2＝1和（ x －3）2＋（ y － 4）2＝16都相切的一条直线的方程 ⁠ ⁠.
x ＝－1或7 x －24 y －25＝0或3
x ＋4 y －5＝0（答案不唯一）
解析：法一　如图，因为圆 x 2＋ y 2＝1的圆心为 O （0，0），半径 r 1＝1，圆（ x －3）2＋（ y －4）2＝16的圆心为 A （3，4），半径 r 2＝4，所以｜ OA ｜＝5， r 1＋ r 2＝5，所以｜ OA ｜＝ r 1＋ r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线 l 1的方程为 x ＝－1.
法二　根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速 看出直线 x ＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.
　　隐圆问题是近几年新高考的热点，难度中等.所谓隐圆就是在题设 中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转 化，发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知识来解决问题.
一、利用圆的定义（动点到定点的距离为定值或垂直关系）确定隐圆
【例1】　（1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1： kx － y ＋2＝0与 直线 l 2： x ＋ ky －2＝0相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x － y －4＝0的距离的最大值为（　　）
（2）已知圆 O ： x 2＋ y 2＝1，圆 M ：（ x － a ）2＋（ y － a ＋4）2＝1. 若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A ， B ，使得∠ APB ＝60°，则实数 a 的取值范围为 ⁠ ⁠.
三、由两定点 A ， B ，动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2是定值确定隐圆【例3】　（1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：（ x ＋1）2＋ y 2＝2，点 A （2，0），若圆 C 上存在点 M ，满足｜ MA ｜2＋｜ MO ｜ 2≤10，则点 M 的纵坐标的取值范围是 ⁠；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － a ＋ 2）2＝1，点 A （0，2），若圆 C 上存在点 M ，满足｜ MA ｜2 ＋｜ MO ｜2＝10，则实数 a 的取值范围是 ⁠.
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （0，3），直线 l ： y ＝2 x －4. 设圆 C 的半径为1，圆心在 l 上.若圆 C 上存在点 M ，使｜ MA ｜ ＝2｜ MO ｜，则圆心 C 的横坐标的取值范围是 ⁠.
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1. （2024·合肥模拟）已知两圆方程分别为 x 2＋ y 2＝4和（ x －3）2＋ （ y －4）2＝9，则两圆的公切线有（　　）
2. （2024·新昌模拟）若直线 y ＝ x ＋ m 与圆（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝1 交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝2，则 m ＝（　　）
解析：　由圆的标准方程可知圆的圆心为（－1，－2），直径为 2，因为｜ AB ｜＝2，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线 方程，得－2＝－1＋ m ，解得 m ＝－1.故选A.
4. （多选）已知直线 l 与圆 C ： x 2＋ y 2＋2 x －4 y ＋ a ＝0相交于 A ， B 两点，弦 AB 的中点为 M （0，1），则下列结论正确的是（　　）
5. （多选）已知圆 O 1： x 2＋ y 2－2 x －3＝0和圆 O 2： x 2＋ y 2－2 y －1 ＝0的交点为 A ， B ，则（　　）
7. 若 A 为圆 C 1： x 2＋ y 2＝1上的动点， B 为圆 C 2：（ x －3）2＋（ y ＋ 4）2＝4上的动点，则线段 AB 长度的最大值是 ⁠.
解析：圆 C 1： x 2＋ y 2＝1的圆心为 C 1（0，0），半径 r 1＝1，圆 C 2：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4的圆心为 C 2（3，－4），半径 r 2＝ 2，所以｜ C 1 C 2｜＝5.又 A 为圆 C 1上的动点， B 为圆 C 2上的动点， 所以线段 AB 长度的最大值是｜ C 1 C 2｜＋ r 1＋ r 2＝5＋1＋2＝8.
8. 已知圆 C ：（ x －2）2＋（ y －3）2＝4外有一点 P （4，－1），过 点 P 作直线 l .
（1）当直线 l 与圆 C 相切时，求直线 l 的方程；
（2）当直线 l 的倾斜角为135°时，求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.
10. （多选）已知圆 M ：（ x －3 k ）2＋（ y －4 k －2）2＝1＋ k 2，则下 列四个命题中真命题有（　　）
11. （多选）（2024·新高考Ⅰ卷11题）已知点 P 在圆（ x －5）2＋（ y － 5）2＝16上，点 A （4，0）， B （0，2），则（　　）
12. （2024·新高考Ⅱ卷15题）设点 A （－2，3）， B （0， a ），若直 线 AB 关于 y ＝ a 对称的直线与圆（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝1有公共 点，则 a 的取值范围是 ⁠.
（2）圆 C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的 内切圆的半径.
16. 如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公 路 l ，湖上有桥 AB （ AB 是圆 O 的直径）.规划在公路 l 上选两个点 P ， Q ，并修建两段直线型道路 PB ， QA ，规划要求：线段 PB ， QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.已知点 A ， B 到 直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （ C ， D 为垂足），测得 AB ＝10， AC ＝6， BD ＝12（单位：百米）.（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；
解：如图，过 O 作 OH ⊥ l ，垂足为 H .以 O 为坐标原点，直线 OH 为 y 轴，建立平面直角坐标系.因为 BD ＝12， AC ＝6，所以 OH ＝9，直线 l 的方程为 y ＝9，点 A ， B 的 纵坐标分别为3，－3.因为 AB 为圆 O 的直径， AB ＝10，所以圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝25.
（2）在规划要求下， P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说 明理由；
（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百 米），求当 d 最小时， P ， Q 两点间的距离.
解：先讨论点 P 的位置.当∠ OBP ＜90°时，线段 PB 上存在点到点 O 的 距离小于圆 O 的半径，点 P 不符合规划要求；
当∠ OBP ≥90°时，对线段 PB 上任意一点 F ， OF ≥ OB ，即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径，点 P 符合规 划要求.当∠ OBP ＝90°时，设 P 1为 l 上一点，且 P 1 B ⊥ AB ，由（1）知， P 1 B ＝15，此时 P 1（－13，9）；当∠ OBP ＞90°时，在△ PP 1 B 中， PB ＞ P 1 B ＝15.由上可知， d ≥15.再讨论点 Q 的位置.