2025年高考数学一轮复习-第十章-第八节 二项分布与超几何分布-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十章-第八节 二项分布与超几何分布-课时作业【含解析】，共13页。
1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（ ）
A.25 B.35 C.18125 D.54125
2.一批产品共50件，次品率为4％，从中任取2件，则抽到1件次品的概率为（ ）
8
3.（2024·江西宜春）某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）
A.512625 B.256625
C.64625 D.64125
4.（2024·云南昆明）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值为（ ）
A.1 B.32 C.2 D.52
5.一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分.从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（ ）
A.1335 B.1435 C.1835 D.2235
6.（多选）掷一个质地不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为23，恰好出现k次正面的概率记为Pk，则下列说法正确的是（ ）
A.P1＝P5
B.P1＜P5
C.∑k=16Pk＝1
D.P0，P1，P2，…，P6中最大值为P4
7.（多选）（2024·河北张家口）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ）
A.X～B4，23 B.P（X＝2）＝881
C.E（X）＝83 D.D（X）＝89
8.（多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（ ）
A.答对0题和答对3题的概率相同，都为18
B.答对1题的概率为38
C.答对2题的概率为512
D.合格的概率为12
9.（多选）（2024·山东青岛）某渔业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长（单位：毫米），将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95，100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是（ ）
A.m＝250
B.鱼苗体长在[90，100]上的频率为0.16
C.鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90）内
D.从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90）上的次数的期望为30
10.在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成每道题的概率为23，且每道题完成与否互不影响.记甲能答对的题数为Y，则Y的数学期望为 .
11.（2024·四川遂宁）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”.（结果四舍五入法保留整数）
12.某公司为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示.规定评分不低于80分为满意，否则为不满意.
（1）求这20个会员对售后服务满意的频率.
（2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员.
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的数学期望与标准差（标准差的结果精确到0.1）.
[B组 能力提升练]
13.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2024年春节前，兴趣小组的2个成员将模型随机抛出，希望能抛出龙的图案朝上（即龙的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A.112 B.143144 C.1172 D.23144
14.（多选）一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X2，则下列说法正确的是（ ）
A.E（X1）＜E（X2） B.E（X1）＝E（X2）
C.D（X1）＜D（X2） D.D（X1）＞D（X2）
15.（2024·陕西西安）9粒种子分别种在3个坑内，每个坑种3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假设每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种费用，则X的数学期望为 .
16.不透明的盒中有大小、形状完全相同的5＋m个球，其中m个红球，2个绿球，3个黄球，若从盒中任取3个球，其中至多有一个红球的概率为57，则m＝ ；记X为取出的3个球中的红球的个数，则随机变量X的数学期望E（X）＝ .
17.（2024·吉林长春）在高三的一个班中，有34的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数X～B10，34，则PX＝k取最大值时k＝ .
18.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515].由此得到样本的频率分布直方图（如图）.
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
19.（2024·广东佛山）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望.
（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
2025年高考数学一轮复习-第十章-第八节 二项分布与超几何分布-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（ ）
A.25 B.35 C.18125 D.54125
答案：D
解析：∵每次取到黄球的概率为35，
∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为C32352·1－35＝54125.
2.一批产品共50件，次品率为4％，从中任取2件，则抽到1件次品的概率为（ ）
8
答案：B
解析：依题意，共有2件次品，所以从中任取2件，抽到1件次品的概率为C21C481C502≈0.078.
3.（2024·江西宜春）某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（ ）
A.512625 B.256625
C.64625 D.64125
答案：A
解析：4次独立重复实验，故概率为C43453·15＋C44454＝512625.
4.（2024·云南昆明）同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值为（ ）
A.1 B.32 C.2 D.52
答案：A
解析：同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，每次两枚硬币均正面向上的概率p＝12×12＝14，
则X～B4，14，
X的均值为E（X）＝4×14＝1.
5.一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分.从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（ ）
A.1335 B.1435 C.1835 D.2235
答案：A
解析：记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，P（X＝7）＝C43C31C74＝1235；P（X＝8）＝C44C30C74＝135，所以P（X＞6）＝P（X＝7）＋P（X＝8）＝1235＋135＝1335.
6.（多选）掷一个质地不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为23，恰好出现k次正面的概率记为Pk，则下列说法正确的是（ ）
A.P1＝P5
B.P1＜P5
C.∑k=16Pk＝1
D.P0，P1，P2，…，P6中最大值为P4
答案：BD
解析：∵P1＝C61×23×1－235＝4243，
∴P5＝C65235×1－231＝64243，
P1＜P5，故A错误，B正确；又∑k=06Pk＝1，故C错误；
由二项分布概率公式可得P0＝1729，P1＝4243，P2＝20243，P3＝160729，P4＝80243，P5＝64243，P6＝64729，
最大值为P4，D正确.
7.（多选）（2024·河北张家口）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（ ）
A.X～B4，23 B.P（X＝2）＝881
C.E（X）＝83 D.D（X）＝89
答案：ACD
解析：从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～B4，23，故A正确；
P（X＝2）＝C42232132＝827，故B错误；
因为X～B4，23，
所以E（X）＝4×23＝83，故C正确；
D（X）＝4×23×13＝89，故D正确.
8.（多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（ ）
A.答对0题和答对3题的概率相同，都为18
B.答对1题的概率为38
C.答对2题的概率为512
D.合格的概率为12
答案：CD
解析：设此人答对题目的个数为X，
则X＝0，1，2，3，
P（X＝0）＝P（X＝3）＝C50C53C103＝112，
故选项A错误；
P（X＝1）＝C51C52C103＝512，故选项B错误；
P（X＝2）＝C52C51C103＝512，故选项C正确；
至少答对2题的概率为512＋112＝12，
故选项D正确.
9.（多选）（2024·山东青岛）某渔业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长（单位：毫米），将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95，100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是（ ）
A.m＝250
B.鱼苗体长在[90，100]上的频率为0.16
C.鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90）内
D.从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90）上的次数的期望为30
答案：ACD
解析：因为[95，100]分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95，100]分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1 000×0.05＝50，
则m＝1 000－100－100－350－150－50＝250，A正确；
鱼苗体长在[90，100]上的频率为150+501 000＝0.2，B错误；
因为鱼的总数为1 000，100＋100＋250＝450，100＋100＋250＋350＝800，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90）内，C正确；
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80，90）上的概率P＝250+3501 000＝0.6，
设所抽取鱼苗体长落在区间[80，90）上的次数为X，则X服从二项分布，即X～B（50，0.6），
则E（X）＝50×0.6＝30，D正确.
10.在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成每道题的概率为23，且每道题完成与否互不影响.记甲能答对的题数为Y，则Y的数学期望为 .
答案：2
解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B3，23，则E（Y）＝3×23＝2.
11.（2024·四川遂宁）为舒缓高考压力，射洪中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为“阳光小组”.（结果四舍五入法保留整数）
答案：410
解析：由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为C44×0.84＋C43×1－0.8×0.83＝0.819 2，
即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为0.819 2，且被评为“阳光小组”的盆数X服从二项分布X～B500，0.819 2，
所以500盆花苗中能被评为“阳光小组”的有500×0.819 2＝409.6≈410.
12.某公司为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示.规定评分不低于80分为满意，否则为不满意.
（1）求这20个会员对售后服务满意的频率.
（2）以（1）中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员.
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的数学期望与标准差（标准差的结果精确到0.1）.
解：（1）由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为1420＝0.7.
（2）①设“只有1个会员对售后服务不满意”为事件A，则P（A）＝C31×0.3×0.72＝0.441.
②因为X～B（3，0.7），
所以E（X）＝3×0.7＝2.1，D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63，D（X）≈0.8.
[B组 能力提升练]
13.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2024年春节前，兴趣小组的2个成员将模型随机抛出，希望能抛出龙的图案朝上（即龙的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ）
A.112 B.143144 C.1172 D.23144
答案：C
解析：因为1人抛一次抛出龙的图案朝上的概率是112，所以2人各抛一次，则恰好出现一次龙的图案朝上的概率P＝C21×112×1－112＝1172.
14.（多选）一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X2，则下列说法正确的是（ ）
A.E（X1）＜E（X2） B.E（X1）＝E（X2）
C.D（X1）＜D（X2） D.D（X1）＞D（X2）
答案：BD
解析：X1的可能取值为0，1，2，X1～B2，13，E（X1）＝2×13＝23，D（X1）＝2×13×23＝49；
X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝23×12＝13，P（X2＝1）＝23×12＋13×22＝23，∴E（X2）＝0×13＋1×23＝23，D（X2）＝0－232×13＋1－232×23＝29，
∴E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）.
15.（2024·陕西西安）9粒种子分别种在3个坑内，每个坑种3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假设每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种费用，则X的数学期望为 .
答案：154
解析：每个坑需要补种的概率是相等的，都是123＝18，所以此为3次独立重复试验模型，每次试验发生的概率都是18，所以需要补种的坑的个数的数学期望为3×18＝38，补种费用X的数学期望为10×38＝154.
16.不透明的盒中有大小、形状完全相同的5＋m个球，其中m个红球，2个绿球，3个黄球，若从盒中任取3个球，其中至多有一个红球的概率为57，则m＝ ；记X为取出的3个球中的红球的个数，则随机变量X的数学期望E（X）＝ .
答案：3 98
解析：从5＋m个球中任取3个球，共有Cm+53种情况，由题意得Cm1C52＋C53Cm+53＝57，所以m＝3，X的所有可能取值为0，1，2，3，所以P（X＝0）＝C53C83＝1056＝528，P（X＝1）＝C31C52C83＝3056＝1528，
P（X＝2）＝C32C51C83＝1556，P（X＝3）＝C33C83＝156，
所以E（X）＝0×528＋1×1528＋2×1556＋3×156＝98.
17.（2024·吉林长春）在高三的一个班中，有34的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数X～B10，34，则PX＝k取最大值时k＝ .
答案：8
解析：由数学成绩合格的学生人数X～B10，34，可得PX＝k＝C10k·34k·1－3410－k＝C10k·3k410，
则满足C10k·3k410≥C10k－1·3k－1410且C10k·3k410≥C10k+1·3k+1410，
解得294≤k≤334且k∈N*，所以k＝8，
所以PX＝k取最大值时，实数k的值为8.
18.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515].由此得到样本的频率分布直方图（如图）.
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
解：（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12（件）.
（2）质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
P（X＝0）＝C282C402＝63130，P（X＝1）＝C121C281C402＝2865，P（X＝2）＝C122C402＝11130，
所以X的分布列为
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B2，310，
P（Y＝k）＝C2k1－3102－k310k，k＝0，1，2.
所以P（Y＝0）＝C20·7102＝49100，
P（Y＝1）＝C21·310·710＝2150，
P（Y＝2）＝C22·3102＝9100，
所以Y的分布列为
19.（2024·广东佛山）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望.
（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
解：（1）设甲正确完成面试的题数为X，则X的可能取值为1，2，3.
P（X＝1）＝C41C22C63＝15；
P（X＝2）＝C42C21C63＝35；
P（X＝3）＝C43C20C63＝15.
应聘者甲正确完成题数X的分布列为
E（X）＝1×15＋2×35＋3×15＝2.
设乙正确完成面试的题数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3.
P（Y＝0）＝C301－233＝127；
P（Y＝1）＝C312311－232＝29；
P（Y＝2）＝C322321－23＝49；
P（Y＝3）＝C33233＝827.
应聘者乙正确完成题数Y的分布列为
E（Y）＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.
或因为Y～B3，23，所以E（Y）=3×23=2
（2）因为D（X）＝（1－2）2×15＋（2－2）2×35＋（3－2）2×15＝25，D（Y）＝3×23×13＝23，所以D（X）＜D（Y）.
综上所述，从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；
从至少完成2道题的概率来看，甲面试通过的可能性大.
分组
（单位：毫米）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
频数
100
100
m
350
150
n
分组
（单位：毫米）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
[95，100]
频数
100
100
m
350
150
n
X
0
1
2
P
63130
2865
11130
Y
0
1
2
P
49100
2150
9100
X
1
2
3
P
15
35
15
Y
0
1
2
3
P
127
29
49
827