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2025年高考数学一轮复习-第十章-第七节 离散型随机变量及其分布列、数字特征-课时作业【含解析】
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这是一份2025年高考数学一轮复习-第十章-第七节 离散型随机变量及其分布列、数字特征-课时作业【含解析】，共4页。
1.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙两班）进行经典美文诵读比赛的决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.
（1）求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
（2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列.
2.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回地依次取出三个球.规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金.其他不中奖，没有奖金.
（1）求员工A中二等奖的概率；
（2）设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；
（3）员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望.
[B组 能力提升练]
3.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、均值及方差.
4.（2024·江苏徐州模拟）在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮.方案乙：始终在B点投篮.每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为34，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为45，投中一次得2分，没有投中得0分.用随机变量X表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果X的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次.
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后X的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
2025年高考数学一轮复习-第十章-第七节 离散型随机变量及其分布列、数字特征-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙两班）进行经典美文诵读比赛的决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.
（1）求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
（2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列.
解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P（A）＝A22×A44A66＝115，
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
P（X＝0）＝A22×A55A66＝13，P（X＝1）＝4×A22×A44A66＝415，P（X＝2）＝A42×A22×A33A66＝15，P（X＝3）＝A43×A22×A22A66＝215，P（X＝4）＝A44×A22A66＝115.
所以随机变量X的分布列为
2.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回地依次取出三个球.规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金.其他不中奖，没有奖金.
（1）求员工A中二等奖的概率；
（2）设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；
（3）员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望.
解：（1）记事件“员工A中二等奖”为M，有放回，依次取三个球的取法有103种.中二等奖取法有两类：一类是前两次取到同一数字，从10个数字中取出2个，较大的数是前两次取出的数，较小的数是第3次取出的数，取法数为C102＝45；另一类是后两次取到同一数字，取法数同样是C102＝45.共90种取法，则P（M）＝90103＝0.09.
（2）X的可能取值为0，2 000，5 000，10 000.
P（X＝2 000）＝C103103＝0.12；P（X＝5 000）＝90103＝0.09；P（X＝10 000）＝10103＝0.01；P（X＝0）＝1－P（X＝2 000）－P（X＝5 000）－P（X＝10 000）＝0.78.
则X的分布列为
（3）由（2）可知A中奖奖金的期望E（X）＝10 000×0.01＋5 000×0.09＋2 000×0.12＋0×0.78＝790（元）.
员工B每次中奖奖金的期望和A一样，由题意可知员工B中奖奖金的期望是1 580元.
[B组 能力提升练]
3.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、均值及方差.
解：（1）当日需求量n≥16时，利润y＝80；
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝10n－80，n<16，80，n≥16，n∈N.
（2）X的所有可能取值为60，70，80，
并且P（X＝60）＝0.1，P（X＝70）＝0.2，
P（X＝80）＝0.7.
则X的分布列为
故E（X）＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
D（X）＝（60－76）2×0.1＋（70－76）2×0.2＋（80－76）2×0.7＝44.
4.（2024·江苏徐州模拟）在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮.方案乙：始终在B点投篮.每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为34，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为45，投中一次得2分，没有投中得0分.用随机变量X表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果X的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次.
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后X的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
解：（1）在A点的一次投篮中，投中记作A，未投中记作A；在B点的一次投篮中，投中记作B，未投中记作B，
则P（A）＝34，P（A）＝1－34＝14，P（B）＝45，P（B）＝1－45＝15，X的所有可能取值为0，2，3，4，则
P（X＝0）＝P（ABB）＝P（A）P（B）P（B）＝14×15×15＝1100，
P（X＝2）＝P（ABB）＋P（ABB）＝2×14×15×45＝225，P（X＝3）＝P（A）＝34，
P（X＝4）＝P（ABB）＝P（A）P（B）P（B）＝14×45×45＝425.
所以X的分布列为
所以E（X）＝0×1100＋2×225＋3×34＋4×425＝3.05.
（2）选手选择方案甲，通过测试的概率P1＝P（X≥3）＝34＋425＝0.91，
选手选择方案乙，通过测试的概率
P2＝P（X≥3）＝2×15×45×45＋45×45＝112125＝0.896.
因为P2＜P1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大.
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
X
0
1
2
3
4
P
13
415
15
215
115
X
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5 000
2 000
0
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0.12
0.78
日需求量n
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频数
10
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16
15
13
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X
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P
0.1
0.2
0.7
X
0
2
3
4
P
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225
34
425
1.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙两班）进行经典美文诵读比赛的决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.
（1）求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
（2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列.
2.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回地依次取出三个球.规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金.其他不中奖，没有奖金.
（1）求员工A中二等奖的概率；
（2）设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；
（3）员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望.
[B组 能力提升练]
3.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、均值及方差.
4.（2024·江苏徐州模拟）在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮.方案乙：始终在B点投篮.每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为34，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为45，投中一次得2分，没有投中得0分.用随机变量X表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果X的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次.
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后X的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
2025年高考数学一轮复习-第十章-第七节 离散型随机变量及其分布列、数字特征-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班（含甲、乙两班）进行经典美文诵读比赛的决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.
（1）求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
（2）决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列.
解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P（A）＝A22×A44A66＝115，
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
P（X＝0）＝A22×A55A66＝13，P（X＝1）＝4×A22×A44A66＝415，P（X＝2）＝A42×A22×A33A66＝15，P（X＝3）＝A43×A22×A22A66＝215，P（X＝4）＝A44×A22A66＝115.
所以随机变量X的分布列为
2.某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回地依次取出三个球.规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖.中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金.其他不中奖，没有奖金.
（1）求员工A中二等奖的概率；
（2）设员工A中奖奖金为X，求X的分布列；
（3）员工B是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B中奖奖金的期望.
解：（1）记事件“员工A中二等奖”为M，有放回，依次取三个球的取法有103种.中二等奖取法有两类：一类是前两次取到同一数字，从10个数字中取出2个，较大的数是前两次取出的数，较小的数是第3次取出的数，取法数为C102＝45；另一类是后两次取到同一数字，取法数同样是C102＝45.共90种取法，则P（M）＝90103＝0.09.
（2）X的可能取值为0，2 000，5 000，10 000.
P（X＝2 000）＝C103103＝0.12；P（X＝5 000）＝90103＝0.09；P（X＝10 000）＝10103＝0.01；P（X＝0）＝1－P（X＝2 000）－P（X＝5 000）－P（X＝10 000）＝0.78.
则X的分布列为
（3）由（2）可知A中奖奖金的期望E（X）＝10 000×0.01＋5 000×0.09＋2 000×0.12＋0×0.78＝790（元）.
员工B每次中奖奖金的期望和A一样，由题意可知员工B中奖奖金的期望是1 580元.
[B组 能力提升练]
3.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、均值及方差.
解：（1）当日需求量n≥16时，利润y＝80；
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝10n－80，n<16，80，n≥16，n∈N.
（2）X的所有可能取值为60，70，80，
并且P（X＝60）＝0.1，P（X＝70）＝0.2，
P（X＝80）＝0.7.
则X的分布列为
故E（X）＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
D（X）＝（60－76）2×0.1＋（70－76）2×0.2＋（80－76）2×0.7＝44.
4.（2024·江苏徐州模拟）在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮.方案乙：始终在B点投篮.每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为34，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为45，投中一次得2分，没有投中得0分.用随机变量X表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果X的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次.
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后X的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
解：（1）在A点的一次投篮中，投中记作A，未投中记作A；在B点的一次投篮中，投中记作B，未投中记作B，
则P（A）＝34，P（A）＝1－34＝14，P（B）＝45，P（B）＝1－45＝15，X的所有可能取值为0，2，3，4，则
P（X＝0）＝P（ABB）＝P（A）P（B）P（B）＝14×15×15＝1100，
P（X＝2）＝P（ABB）＋P（ABB）＝2×14×15×45＝225，P（X＝3）＝P（A）＝34，
P（X＝4）＝P（ABB）＝P（A）P（B）P（B）＝14×45×45＝425.
所以X的分布列为
所以E（X）＝0×1100＋2×225＋3×34＋4×425＝3.05.
（2）选手选择方案甲，通过测试的概率P1＝P（X≥3）＝34＋425＝0.91，
选手选择方案乙，通过测试的概率
P2＝P（X≥3）＝2×15×45×45＋45×45＝112125＝0.896.
因为P2＜P1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大.
日需求量n
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频数
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日需求量n
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频数
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