2025年高考数学一轮复习-第四章-第七节 三角函数的周期性、奇偶性、对称性-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第四章-第七节 三角函数的周期性、奇偶性、对称性-课时作业【含解析】，共11页。
1.（2024·上海）函数y＝1－2sin2x的最小正周期为（ ）
A.π2B.πC.2πD.4π
2.函数f（x）＝2｜sin x｜的最小正周期为（ ）
A.2πB.3π2C.πD.π2
3.（2024·陕西商洛）曲线y＝sin2πx－π3的一条对称轴方程为（ ）
A.x＝112B.x＝512C.x＝56D.x＝16
4.已知函数f（x）＝sinωx＋π3（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ）
A.关于点π3，0对称
B.关于直线x＝π4对称
C.关于点π4，0对称
D.关于直线x＝π3对称
5.若函数f（x）＝sinx＋φ3（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（ ）
A.π2B.2π3C.3π2D.5π3
6. （多选）下列关于函数y＝tan2x＋π3的说法正确的是（ ）
A. 在区间－5π12，π12上单调递增
B. 最小正周期是π
C. 图象关于点π12，0对称
D. 图象关于直线x＝－5π12对称
7.（多选）设函数f（x）＝sinx－π4，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.f（x）的图象关于直线x＝π4对称
C.f（x）的图象关于点－π4，0对称
8.（2024·安徽六安）已知函数f（x）＝sinωx＋π4ω>0在区间0，π恰有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A.74，134B.54，94
C.54，94D.74，114
9.（2024·山东青岛）函数fx＝sin2ωx＋π6
ω>0的最小正周期为π，则ω＝ .
10.（2024·黑龙江齐齐哈尔）函数fx＝sinx＋π4＋1的图象的对称轴方程为 ，对称中心为 .
11.奇函数f（x）满足fx＋π2＝f（x），当x∈－π4，0时，f（x）＝3cs x，则f－17π6的值为 .
12.（2024·湖南株洲）已知函数f（x）＝4sin ωx·csωx＋π6＋1（ω＞0）.
（1） 若f（x）的最小正周期为π，求ω的值及f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈0，π3，f（x）＝3恰有三个解，求ω的取值范围.
[B组 能力提升练]
13.（2024·北京）已知函数fx＝sinx＋φ.则“f0＝1”是“fx为偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
14.若函数f（x）＝3sin（2x＋θ）＋cs（2x＋θ）为奇函数，且在－π4，0上单调递减，则θ的一个值为（ ）
A.－π3B.－π6
C.2π3D.5π6
15.若函数fx＝2sin2x＋φ的图象关于y轴对称，则φ的值可能为（ ）
A.π3B.π
C.－π2D.π6
16.（多选）关于函数f（x）＝x＋sin x，下列说法正确的是（ ）
A.f（x）是奇函数
B.f（x）是周期函数
C.f（x）有零点
D.f（x）在0，π2上单调递增
17.（多选）设函数f（x）＝sin ωx＋3cs ωx，x∈R，其中ω＞0，在曲线y＝f（x）与直线y＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则（ ）
A.f（x）的最大值为1
B.ω＝2
C.f（x）图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z
D.f（x）的一个单调递增区间为－5π12，π12
18.（2024·江苏徐州）若函数fx＝sinωx＋φ
ω>0，φ＜π2的最小正周期为3π，fπ2＝－f0，则fx的图象的一条对称轴方程为 .
19.若函数f（x）（f（x）的值不恒为常数）满足以下两个条件：①f（x）为偶函数；②对于任意的x∈R，都有fπ3－x＝fπ3＋x，则其解析式可以是 .（写出一个满足条件的解析式即可）
20.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）ω>0,|φ｜＜π2的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：条件①：f（x）的图象关于点π3，0对称；条件②：f（x）的图象关于直线x＝π12对称.
（1）请写出你选择的条件，并求f（x）的解析式；
（2）当x∈－π4，m时，若（1）中所求函数f（x）的值域为[－1，2]，求出m的一个合适数值.
2025年高考数学一轮复习-第四章-第七节 三角函数的周期性、奇偶性、对称性-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2024·上海）函数y＝1－2sin2x的最小正周期为（ ）
A.π2B.πC.2πD.4π
答案：B
解析：因为y＝1－2sin2x＝cs 2x，
所以该函数的最小正周期T＝2πω＝2π2＝π.
2.函数f（x）＝2｜sin x｜的最小正周期为（ ）
A.2πB.3π2C.πD.π2
答案：C
解析：∵sin（x＋π）＝－sin x，｜sin x｜＝｜－sin x｜，
∴f（x＋π）＝f（x），∴函数f（x）＝2｜sin x｜的最小正周期为π.
3.（2024·陕西商洛）曲线y＝sin2πx－π3的一条对称轴方程为（ ）
A.x＝112B.x＝512C.x＝56D.x＝16
答案：B
解析：由2πx－π3＝π2＋kπk∈Z，得x＝512＋k2k∈Z.
4.已知函数f（x）＝sinωx＋π3（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ ）
A.关于点π3，0对称
B.关于直线x＝π4对称
C.关于点π4，0对称
D.关于直线x＝π3对称
答案：A
解析：由T＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝sin2x＋π3.该函数图象关于点π3，0对称.
5.若函数f（x）＝sinx＋φ3（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（ ）
A.π2B.2π3C.3π2D.5π3
答案：C
解析：因为f（x）是偶函数，所以φ3＝π2＋kπ（k∈Z），所以φ＝3π2＋3kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.
6. （多选）下列关于函数y＝tan2x＋π3的说法正确的是（ ）
A. 在区间－5π12，π12上单调递增
B. 最小正周期是π
C. 图象关于点π12，0对称
D. 图象关于直线x＝－5π12对称
答案：AC
解析：对于A，当x∈－5π12，π12时，2x＋π3∈－π2，π2，所以函数在－5π12，π12上单调递增，故A正确；对于B，函数的最小正周期为T＝π2，故B错误；对于C，当x＝π12时，2x＋π3＝π2，所以函数的图象关于点π12，0对称，故C正确；对于D，正切型函数的图象没有对称轴，故D错误.
7.（多选）设函数f（x）＝sinx－π4，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的一个周期为－2π
B.f（x）的图象关于直线x＝π4对称
C.f（x）的图象关于点－π4，0对称
D.f（x）在区间π4，π2上单调递增
答案：AD
解析：A项，函数的最小正周期为T＝2π｜ω｜＝2π，所以－2π是函数f（x）的一个周期，故A正确；
B项，当x＝π4时，fπ4＝sinπ4－π4＝0，该函数值不是函数的最值，故B错误；
C项，当x＝－π4时，f－π4＝sin－π4－π4＝－1≠0，故C错误；
D项，当x∈π4，π2时，x－π4∈0，π4，所以函数f（x）＝sinx－π4在π4，π2上单调递增，故D正确.
8.（2024·安徽六安）已知函数f（x）＝sinωx＋π4ω>0在区间0，π恰有两条对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A.74，134B.54，94
C.54，94D.74，114
答案：B
解析：因为0≤x≤π，所以π4≤ωx＋π4≤π4＋ωπ.
因为函数fx＝sinωx＋π4ω>0在区间0，π恰有两条对称轴，
所以3π2≤π4＋ωπ＜5π2，解得54≤ω＜94.
9.（2024·山东青岛）函数fx＝sin2ωx＋π6
ω>0的最小正周期为π，则ω＝ .
答案：1
解析：函数fx＝sin2ωx＋π6ω>0的最小正周期为π，则2π2ω＝π，解得ω＝1.
10.（2024·黑龙江齐齐哈尔）函数fx＝sinx＋π4＋1的图象的对称轴方程为 ，对称中心为 .
答案：x＝π4＋kπk∈Z kπ－π4，1k∈Z
解析：由x＋π4＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π4＋kπ，k∈Z，
所以函数fx的对称轴方程为x＝π4＋kπk∈Z.
令x＋π4＝kπ，k∈Z，得x＝－π4＋kπ，k∈Z，
所以函数fx的对称中心为kπ－π4，1k∈Z.
11.奇函数f（x）满足fx＋π2＝f（x），当x∈－π4，0时，f（x）＝3cs x，则f－17π6的值为 .
答案：－32
解析：由fx＋π2＝f（x）可知T＝π2，
∴f－17π6＝f－3π＋π6＝fπ6.
又f（x）为奇函数，且当x∈－π4，0时，
f（x）＝3cs x，
∴fπ6＝－f－π6＝－3cs－π6＝－32.
12.（2024·湖南株洲）已知函数f（x）＝4sin ωx·csωx＋π6＋1（ω＞0）.
（1） 若f（x）的最小正周期为π，求ω的值及f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈0，π3，f（x）＝3恰有三个解，求ω的取值范围.
解：（1）f（x）＝4sin ωx32csωx－12sinωx
＋1
＝3sin 2ωx＋cs 2ωx＝2sin2ωx＋π6.
因为T＝2π2ω＝π，所以ω＝1.
令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，
则kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，
所以f（x）的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3（k∈Z）.
（2）因为0＜x≤π3，
所以π6＜2ωx＋π6≤2πω3＋π6，
由题意得2π＋π3≤2πω3＋π6＜3π－π3，
解得134≤ω＜154，
所以ω的取值范围是134，154.
[B组 能力提升练]
13.（2024·北京）已知函数fx＝sinx＋φ.则“f0＝1”是“fx为偶函数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若f0＝1，则sin φ＝1，φ＝π2＋2kπ，k∈Z，
若fx为偶函数，则f0＝±1，得φ＝π2＋kπ，k∈Z，
因为φ｜φ＝π2+2kπ，k∈Z⫋
φ｜φ＝π2＋kπ，k∈Z，
所以“f0＝1”是“fx为偶函数”的充分不必要条件.
14.若函数f（x）＝3sin（2x＋θ）＋cs（2x＋θ）为奇函数，且在－π4，0上单调递减，则θ的一个值为（ ）
A.－π3B.－π6
C.2π3D.5π6
答案：D
解析：由题意得f（x）＝3sin（2x＋θ）＋cs（2x＋θ）＝2sin2x＋θ＋π6.因为函数f（x）为奇函数，所以θ＋π6＝kπ，k∈Z，故θ＝－π6＋kπ，k∈Z.当θ＝－π6时，f（x）＝2sin 2x，在－π4，0上单调递增，不合题意.当θ＝5π6时，f（x）＝－2sin 2x，在－π4，0上单调递减，符合题意.
15.若函数fx＝2sin2x＋φ的图象关于y轴对称，则φ的值可能为（ ）
A.π3B.π
C.－π2D.π6
答案：C
解析：因为函数fx＝2sin2x＋φ的图象关于y轴对称，
所以当x＝0时，fx取得最值，
所以2×0＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝π2＋kπ，k∈Z.
对于A，若φ＝π3，则π3＝π2＋kπ，解得k＝－16∉Z，不合题意；对于B，若φ＝π，则π＝π2＋kπ，解得k＝12∉Z，不合题意；对于C，若φ＝－π2，则－π2＝π2＋kπ，解得k＝－1∈Z，符合题意；对于D，若φ＝π6，则π6＝π2＋kπ，解得k＝－13∉Z，不合题意.
16.（多选）关于函数f（x）＝x＋sin x，下列说法正确的是（ ）
A.f（x）是奇函数
B.f（x）是周期函数
C.f（x）有零点
D.f（x）在0，π2上单调递增
答案：ACD
解析：函数f（x）的定义域为R，f（－x）＝－x－sin x＝－f（x），则f（x）为奇函数，故A正确；根据周期函数的定义，可知函数f（x）一定不是周期函数，故B错误；因为f（0）＝0，所以函数f（x）有零点，故C正确；当x∈0，π2时，函数y＝x与y＝sin x均为增函数，所以函数f（x）也为增函数，故D正确.
17.（多选）设函数f（x）＝sin ωx＋3cs ωx，x∈R，其中ω＞0，在曲线y＝f（x）与直线y＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则（ ）
A.f（x）的最大值为1
B.ω＝2
C.f（x）图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z
D.f（x）的一个单调递增区间为－5π12，π12
答案：BCD
解析：由题意可得f（x）＝sin ωx＋3cs ωx＝212sinωx＋32csωx＝2sinωx＋π3，易知f（x）的最大值为2，A错误；由2sinωx＋π3＝3，可得sinωx＋π3＝32，得到ωx＋π3＝2kπ＋π3或ωx＋π3＝2kπ＋2π3（k∈Z），令k＝0，可得x1＝0，x2＝π3ω，由｜x1－x2｜＝π6可得π3ω＝π6，解得ω＝2，B正确；f（x）＝2sin2x＋π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，C正确；令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，可得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，令k＝0，得到－5π12≤x≤π12，D正确.
18.（2024·江苏徐州）若函数fx＝sinωx＋φ
ω>0，φ＜π2的最小正周期为3π，fπ2＝－f0，则fx的图象的一条对称轴方程为 .
答案：x＝π（答案不唯一）
解析：因为函数fx＝sinωx＋φ
ω>0，φ＜π2的最小正周期为3π，所以3π＝2πω⇒ω＝23，即fx＝sin 23x＋φ.
因为fπ2＝－f0，
所以sin23×π2＋φ＝－sin φ⇒sinπ3＋φ＝－sin φ⇒32cs φ＋12sin φ＝－sin φ
⇒32cs φ＋32sin φ＝0⇒3sin φ＋π6＝0⇒φ＋π6＝kπk∈Z，
得φ＝kπ－π6k∈Z.因为φ＜π2，所以令k＝0，φ＝－π6，
即fx＝sin23x－π6，
令23x－π6＝mπ＋π2m∈Z⇒x＝3mπ2＋πm∈Z，令m＝0，得x＝π.
19.若函数f（x）（f（x）的值不恒为常数）满足以下两个条件：①f（x）为偶函数；②对于任意的x∈R，都有fπ3－x＝fπ3＋x，则其解析式可以是 .（写出一个满足条件的解析式即可）
答案：f（x）＝cs 3x（答案不唯一）
解析：因为对于任意的x∈R ，都有fπ3－x＝fπ3＋x，所以函数的图象关于直线x＝π3对称.又函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f（x）＝cs 3x.
20.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）ω>0,|φ｜＜π2的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：条件①：f（x）的图象关于点π3，0对称；条件②：f（x）的图象关于直线x＝π12对称.
（1）请写出你选择的条件，并求f（x）的解析式；
（2）当x∈－π4，m时，若（1）中所求函数f（x）的值域为[－1，2]，求出m的一个合适数值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）因为f（x）＝2sin（ωx＋φ）ω>0,|φ｜＜π2的最小正周期为π，
所以2πω＝π，得ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.
若选①，因为f（x）的图象关于点π3，0对称，
则fπ3＝0，
所以fπ3＝2sin2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－2π3，k∈Z.
因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π3，
所以f（x）＝2sin2x＋π3.
若选②，因为f（x）的图象关于直线x＝π12对称，
所以fπ12＝±2，即fπ12＝2sinπ6＋φ
＝±2，
所以π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得φ＝π3＋kπ，k∈Z.
因为｜φ｜＜π2，所以φ＝π3，
所以f（x）＝2sin2x＋π3.
（2）因为x∈－π4，m，所以－π6≤2x＋π3≤2m＋π3.
因为当x∈－π4，m时，函数f（x）的值域为[－1，2]，
所以π2≤2m＋π3≤7π6，得π12≤m≤5π12，
所以m的一个值可以为π3（答案不唯一）.