2025年高考数学一轮复习-第四章-第五节 简单的三角恒等变换-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第四章-第五节 简单的三角恒等变换-课时作业【含解析】，共8页。
1.（2020·全国Ⅲ卷）已知2tan θ－tanθ＋π4＝7，则tan θ＝（ ）
A.－2B.－1C.1D.2
2.若cs α＝－45，α是第三象限角，则1+tanα21－tanα2等于（ ）
A.－12B.12C.2D.－2
3.化简2+cs2－sin21的结果是（ ）
A.－cs 1B.cs 1C.3cs 1D.－3cs 1
4.cs23°＋cs67°2sin68°＝（ ）
A.2B.3C.2D.1
5.（2024·河北邢台）已知tanα＋π4＝34，则cs2π4－α＝（ ）
A.725B.925C.1625D.2425
6.（多选）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，3），则（ ）
A.tan α＝－3B.sin 2α＝－32
C.tanα2＝2＋3D.cs 2α＝12
7.（多选）（2024·安徽合肥）下列计算结果正确的是（ ）
A.cs（－15°）＝6－24
B.sin 15°sin 30°sin 75°＝18
C.cs（α－35°）cs（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝－12
D.2sin 18°cs 36°＝12
8.（2024·河北石家庄）已知1+csθsinθ＝33，则tan θ2＝ .
9.（2024·湖南长沙）化简：2sin（π－α）＋sin2αcs2 α2＝ .
10.已知α∈0，π2，sin 2α＝12，则sinα＋π4＝ .
11.设α是第四象限角.若sin3αsinα＝135，则tan 2α＝ .
[B组 能力提升练]
12.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则mn2cs227°－1＝（ ）
A.8B.4C.2D.1
13.（2024·湖北黄冈）已知圆C：x2＋（y－1）2＝R2与函数y＝2sin x的图象有唯一交点，且交点的横坐标为a，则4cs2a2－a－2sin2a＝（ ）
A.－2B.2C.－3D.3
14.（多选）已知函数f（x）＝sin2x＋23sin xcs x－cs2x，x∈R，则（ ）
A.－2≤f（x）≤2
B.f（x）在区间（0，π）上只有1个零点
C.f（x）的最小正周期为π
D.x＝π3为f（x）图象的一条对称轴
15.（多选）已知sin αsinπ3－α＝3cs αsinα＋π6，则（ ）
A.tan α＝tanα＋π6B.tan α＝－3
C.tanα＋π6＝－33D.cs2α＋π3＝12
16.已知α，β均为锐角，sin5π6＋α＝－35，sinβ－π3＝513，则sin（α＋β）＝ ，cs（2α－β）＝ .
17.设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tanαcsβx＋sinβ＝1，则x＝ .
2025年高考数学一轮复习-第四章-第五节 简单的三角恒等变换-课时作业(解析版）
[A组 基础保分练]
1.（2020·全国Ⅲ卷）已知2tan θ－tanθ＋π4＝7，则tan θ＝（ ）
A.－2B.－1C.1D.2
答案：D
解析：2tan θ－tanθ＋π4＝2tan θ－1+tanθ1－tanθ＝7，解得tan θ＝2.
2.若cs α＝－45，α是第三象限角，则1+tanα21－tanα2等于（ ）
A.－12B.12C.2D.－2
答案：A
解析：∵α是第三象限角，cs α＝－45，
∴sin α＝－35，
∴1+tanα21－tanα2＝csα2＋sinα2csα2－sinα2＝csα2＋sinα2csα2－sinα2·csα2＋sinα2csα2＋sinα2＝1+sinαcsα＝1－35－45＝－12.
3.化简2+cs2－sin21的结果是（ ）
A.－cs 1B.cs 1C.3cs 1D.－3cs 1
答案：C
解析：原式＝2+1－2sin21－sin21＝3－3sin21＝3（1－sin21）＝3cs21＝3cs 1.
4.cs23°＋cs67°2sin68°＝（ ）
A.2B.3C.2D.1
答案：D
解析：原式＝cs23°＋sin23°2sin68°＝2sin（23°+45°）2sin68°＝1.
5.（2024·河北邢台）已知tanα＋π4＝34，则cs2π4－α＝（ ）
A.725B.925C.1625D.2425
答案：B
解析：∵tanα＋π4＝34，∴1+tanα1－tanα＝34，∴tan α＝－17，∴cs2π4－α＝1+csπ2－2α2＝1+sin2α2＝（sinα＋csα）22（sin2α＋cs2α）＝（tanα+1）22（tan2α+1）＝925.
6.（多选）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，3），则（ ）
A.tan α＝－3B.sin 2α＝－32
C.tanα2＝2＋3D.cs 2α＝12
答案：BCD
解析：因为角α的终边经过点P（－3，3），
所以sin α＝12，cs α＝－32，tan α＝－33，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝－32，
tanα2＝1－csαsinα＝1+3212＝2＋3，
cs 2α＝2cs2α－1＝2×－322－1＝12.
7.（多选）（2024·安徽合肥）下列计算结果正确的是（ ）
A.cs（－15°）＝6－24
B.sin 15°sin 30°sin 75°＝18
C.cs（α－35°）cs（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝－12
D.2sin 18°cs 36°＝12
答案：BD
解析：对于A，cs（－15°）＝cs 15°＝cs（45°－30°）
＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋24，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°cs 15°＝12sin 15°cs 15°＝14sin 30°＝18，所以B正确；
对于C，cs（α－35°）cs（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝cs[（α－35°）－（25°＋α）]＝cs（－60°）＝cs 60°＝12，所以C错误；
对于D，2sin 18°cs 36°＝2cs 72°cs 36°＝2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°＝sin36°2sin36°＝12，所以D正确.
8.（2024·河北石家庄）已知1+csθsinθ＝33，则tan θ2＝ .
答案：3
解析：因为1+csθsinθ＝2cs2θ22sinθ2csθ2＝csθ2sinθ2＝1tanθ2，且1+csθsinθ＝33，所以tanθ2＝3.
9.（2024·湖南长沙）化简：2sin（π－α）＋sin2αcs2 α2＝ .
答案：4sin α
解析：2sin（π－α）＋sin2αcs2 α2
＝2sinα+2sinα·csα12（1+csα）＝2sinα（1+csα）12（1+csα）＝4sin α.
10.已知α∈0，π2，sin 2α＝12，则sinα＋π4＝ .
答案：32
解析：因为1－2sin2α＋π4＝cs2α＋π2＝－sin 2α，
所以sin2α＋π4＝34.
因为α∈0，π2，所以α＋π4∈π4，3π4，
所以sinα＋π4＝32.
11.设α是第四象限角.若sin3αsinα＝135，则tan 2α＝ .
答案：－34
解析：sin3αsinα＝sin（α+2α）sinα＝sinαcs2α＋csαsin2αsinα＝cs 2α＋2cs2α＝4cs2α－1＝135，解得cs2α＝910.
因为α是第四象限角，所以cs α＝31010，
sin α＝－1010，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝－35，cs 2α＝2cs2α－1＝45，
所以tan 2α＝－34.
[B组 能力提升练]
12.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则mn2cs227°－1＝（ ）
A.8B.4C.2D.1
答案：C
解析：由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4（1－sin218°）＝4cs218°，mn2cs227°－1＝2sin18°4cs218°2cs227°－1＝2·（2sin18°cs18°）cs54°＝2sin36°sin36°＝2.
13.（2024·湖北黄冈）已知圆C：x2＋（y－1）2＝R2与函数y＝2sin x的图象有唯一交点，且交点的横坐标为a，则4cs2a2－a－2sin2a＝（ ）
A.－2B.2C.－3D.3
答案：B
解析：设圆C与y＝2sin x图象的唯一交点为A（a，2sin a），则过点A的y＝2sin x图象的切线的斜率k＝2cs a.连接AC（图略），则过点A和圆心C（0，1）的直线的斜率为2sina－1a.因为圆C在点A处的切线和直线AC垂直，所以2sina－1a×2cs a＝－1，整理得2cs a－a＝2sin 2a，所以4cs2 a2－a－2sin2a＝22cs2a2－1－asin2a＝2csa－asin2a＝2.
14.（多选）已知函数f（x）＝sin2x＋23sin xcs x－cs2x，x∈R，则（ ）
A.－2≤f（x）≤2
B.f（x）在区间（0，π）上只有1个零点
C.f（x）的最小正周期为π
D.x＝π3为f（x）图象的一条对称轴
答案：ACD
解析：已知函数f（x）＝sin2x＋23sin xcs x－cs2x＝3sin 2x－cs 2x＝2sin2x－π6，x∈R，
对于A：－2≤f（x）≤2，A正确；
对于B：令2x－π6＝kπ，k∈Z，
得x＝kπ2＋π12，k∈Z，
所以f（x）在区间（0，π）上有2个零点，B错误；
对于C：f（x）的最小正周期为π，C正确；
对于D：将x＝π3代入函数f（x）＝2sin2x－π6，x∈R，得fπ3＝2sin2×π3－π6＝2，
所以x＝π3为f（x）图象的一条对称轴，D正确.
15.（多选）已知sin αsinπ3－α＝3cs αsinα＋π6，则（ ）
A.tan α＝tanα＋π6B.tan α＝－3
C.tanα＋π6＝－33D.cs2α＋π3＝12
答案：BCD
解析：sin αsinπ3－α＝sin αsinπ2－α＋π6＝sin αcsα＋π6＝3cs αsinα＋π6，
所以tan α＝3tanα＋π6，所以A错误；
又tan α＝3×tanα＋tanπ61－tanαtanπ6＝3tanα＋31－33tanα，
所以tan2α＋23tan α＋3＝0， 则tan α＝－3，故tanα＋π6＝－33，所以B，C正确；
由cs2α＋π3＝cs2α＋π6－sin2α＋π6cs2α＋π6＋sin2α＋π6
＝1－tan2α＋π61+tan2α＋π6＝12，D正确.
16.已知α，β均为锐角，sin5π6＋α＝－35，sinβ－π3＝513，则sin（α＋β）＝ ，cs（2α－β）＝ .
答案：3365 204325
解析：因为sin5π6＋α＝csα＋π3＝－35，
sinβ－π3＝513，
所以α＋π3为第二象限角，β－π3为第一象限角，
所以sinα＋π3＝1－cs2α＋π3＝45，
csβ－π3＝1－sin2β－π3＝1213，
所以sin（α＋β）＝sinα＋π3＋β－π3
＝sinα＋π3csβ－π3＋csα＋π3·sinβ－π3＝3365.
cs（2α－β）＝－cs（2α－β＋π）
＝－cs2α＋π3－β－π3
＝－cs2α＋π3csβ－π3＋sin2α＋π3sinβ－π3
＝－1213cs 2α＋π3－513sin 2α＋π3
＝－12132cs2α＋π3－1－1013·
sinα＋π3·csα＋π3＝204325.
17.设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tanαcsβx＋sinβ＝1，则x＝ .
答案：1
解析：∵α，β为锐角，且2α－β＝π2，tanαcsβx＋sinβ＝1，
∴x＝tan αcs β－sin β＝tanπ4＋β2·
cs β－sin β＝sinπ4＋β2csπ4＋β2·cs β－sin β
＝sin2π4＋β2sinπ4＋β2csπ4＋β2·cs β－sin β＝1－csπ2＋βsinπ2＋β·cs β－sin β＝1+sinβcsβ·cs β－sin β＝1.