2024福州九县（、区）一中高二下学期7月期末考试数学含答案

这是一份2024福州九县（、区）一中高二下学期7月期末考试数学含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
完卷时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．设集合，，若，则（ )
A．B．C．D．
2．已知实数a，b，c，d满足，则下列不等式一定正确的是（ )
A．B．
C．D．
3．命题p：，，则“”是“p为真命题”的（ )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某校联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若联考的学生有500人，则成绩超100过分的人数约为（ )
A．100B．120C．125D．150
5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ )
A．24B．25C．26D．27
6．的展开式中，常数项为（ )
A．B．C．141D．140
7．已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围为（ )
A．B．C．D．
8．已知函数定义域为R，且，下列结论成立的是（ )
A．为偶函数B．
C．在上单调递减D．有最大值
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对具有相关关系的两个变量x和)进行回归分析时，下列结论正确的是（ )
A．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强
B．若所有样本点都落在一-条斜率为非零实数的直线上，则决定系数的值为1
C．若样本点的经验回归方程为，则在样本点处的残差为0.3
D．以模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和2
10．已知事件A，B，且，，，则（ )
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ )
A．的图象关于对称
B．
C．
D．在区间上的极小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第一空2分，第二空3分
12．已知函数为奇函数，则实数a的值为______．
13．某快件从甲送到乙需要5个转运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种方式，第3，4两个环节各有b，c两种方式，第5个环节有d，e两种方式，则快件从甲送到乙，第一个环节使用a方式的送达方式有______种；从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有______种．
14．定义为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合M的所有非空子集依次记为、、…、，则______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分)对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查，市场占有率数据如下：
（1)从所有品牌手机中随机抽取2部，求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率；
（2)已知所有品牌手机中，甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为40%，30%，50%，从所有品牌手机中随机抽取1部，求该手机价位不超过4000元的概率．
16．（15分)某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后，（1)从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取50件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写如下列联表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为车间与优等品有关联？（结果精确到0.001)
，其中．
下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
（2)调查了近10个月的产量（单位：万个)和月销售额（单位：万元)，得到以下数据：，根据散点图认为y．关于x的经验回归方程为，试求经验回归方程．
参考公式：，其中
17．（15分)已知函数，
（1)讨论函数函数的的单调性；
（2)若函数有极值点，
（i)求实数a的取值范围；
（ii)判断的零点个数．
18．（17分)甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球．
（1)当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，；
（2)当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小；
（3)由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作．那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：)
19．（17分)已知函数．
（1)证明：恰有一个零点a，且；
（2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法"．任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交x轴于点；在点处作的切线，交x轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值．
（i)设，求的解析式；
（ii)证明：当，总有
甲品牌
乙品牌
其他品牌
市场占有率
50%
30%
20%
优等品
非优等品
总计
甲车间
乙车间
总计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2023-2024学年第二学期高3二九县（区、市)期末联考
高二年级（数学)评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第13题第-空2分，第二空3分．
12．0．13．16，1614．215
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共5大题，13分+15分+15分+17分+17分，共77分)
15．（1)解法1；随机抽取1部手机，是甲品牌的概率0.5，
抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率．
解法2：随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为，
抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率．
（2)解：从该地区所有品牌手机中随机抽取1部，
记事件，，分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”
记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”
则，，，
，，，
所以．
，
该手机价位不超过4000元的概率为0.39．
16．（1)
设：车间与优等品无关．
根据小概率值的独立性检验，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下，认为两车间的优等品有差异．
（2)解：依题意得：
，
又因为，，
故，
所以经验回归方程为
17．（1)解：函数的定义域为
，
①当时，恒成立，在上单调递减
②当时，令，得（舍去)
的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述：当时在定义域上单调递减；
当时的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2)解：（i)由（1)知
（ii)由（1)知的极大值为
当即时，，则无零点；
当即时，，则有1个零点：
当即时，
，
令，，，在上单调递减
，
有2个零点；
（注：当时的情况，没有给出函数值为负值的2个特殊点，直接得出2个零点，给1分)
综上所述：当时，无零点；，
当时，有1个零点；当时，有2个零点
18．（1)对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，
则
X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，则
，
或【】
（2)解：，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为：
又，
则．
（3)因为，
，
，即，
即，即，
由题意知，从而，
化简得，
解法1：
又，，令，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
【此处证单调性另解：
为对勾函数，，（当且仅当时取等)．所以在上单调递减，在上单调递增】
所以在处取得最小值，从而在时单调递增，
当时，，又，，
当时，符合题意
考虑到，都是整数，则N一定是5的正整数倍，
所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
解法2：
化简得，
或，
N为整数，或
，都是整数，则N一定是5的正整数倍，
所以N至少为195时，在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布．
19．（1)，定义城为，
所以，在上恒成立，所以函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点a，且；
（2)（i)由（1)知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
，即，
令得，
所以，切线与x轴的交点，即，
所以，；
证明：（ii)对任意的，由（i)知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令，
所以，，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i)知，，
且当时，
（若，则，故任意，显然矛盾)，
因为是的零点，所以，
因为为单调递增函数，所以，对任意的时，总有，
又因为，所以，对于任意，均有，所以，，，
所以，
综上，当，总有．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
A
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
BD
ABC
ABD
优等品
非优等品
总计
甲车间
40
10
50
乙车间
30
20
50
总计
70
30
100
x
+
0
-
递增
极大值
递减