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2025年高考物理一轮复习讲义学案 第五章 万有引力与宇宙航行 第一讲 万有引力定律及应用
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这是一份2025年高考物理一轮复习讲义学案 第五章 万有引力与宇宙航行 第一讲 万有引力定律及应用，共20页。
考点1 开普勒定律的理解与应用
（1）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如卫星绕地球的运动.
（2）利用微元法，在Δt1→0时，由开普勒第二定律可知12v1·Δt1·r1＝12v2·Δt1·r2，解得v1v2＝r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小.
（3）开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.且该定律只能用在绕同一中心天体运动的两星体之间.（关于k值：由GMma2＝m（2πT）2a，得a3T2＝GM4π2，故k＝GM4π2.）
开普勒有关行星的三个定律被称为“中世纪科学与近代科学的分水岭”.如图所示，判断下列说法的正误.
（1）开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律.（ ✕ ）
（2）地球绕太阳运行过程中，速率不变.（ ✕ ）
（3）在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等.（ ✕ ）
（4）火星绕太阳运行一周的时间比地球的长.（ √ ）
1.[开普勒第一定律的理解/多选]下列说法正确的是（ AB ）
A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D.太阳是静止不动的
解析 太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误.
2.[开普勒第二定律的应用]如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远.B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（ C ）
A.卫星在C点的速度最大
B.卫星在C点的加速度最大
C.卫星从A经D到C点的运动时间为T2
D.卫星从B经A到D点的运动时间为T2
解析 卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A错误；卫星在椭圆轨迹的各个点上都是引力产生加速度，有a＝GMr2，因A点到地球的距离最小，则卫星在A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知tADC＝tCBA＝T2，故C正确；卫星在近地点A附近速度较大，在远地点C附近速度较小，则tBAD＜T2，tDCB＞T2，故D错误.
3.[开普勒第三定律的应用]德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律.设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k1，土星的卫星绕土星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k2，地球的卫星绕地球做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k3.已知M太阳＞M土星＞M地球，则（ B ）
A.k1＝k2＝k3B.k1＞k2＞k3
C.k1＜k2＜k3D.k1＞k2＝k3
解析 由万有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T2r，则r3T2＝k＝GM4π2，式中的k只与中心天体的质量有关，由于M太阳＞M土星＞M地球，因此k1＞k2＞k3，故B正确.
考点2 万有引力定律的理解与应用
1.万有引力定律的理解及应用
（1）表达式：F＝[5] Gm1m2r2 ，其中G为引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2.
（2）适用条件：适用于相距很远，可以视为质点的物体之间的相互作用.质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离.
2.行星动力学规律
（1）天上：万有引力提供向心力，则GMmr2＝[6] ma ＝[7] mv2r ＝[8] mω2r ＝[9] m（2πT）2r .
（2）
地上不考虑自转：GMmR2＝mg⇒[10] GM＝gR2 考虑自转两极：GMmR2＝mg0赤道：GMmR2－FN＝mω2R，即GMmR2－mg赤＝mω2R一般位置：GMmR2等于mg与F向的矢量和越靠近两极，向心力越小，g越大
3.星体表面及上空的重力加速度
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝GMmR2，得g＝GMR2.
（2）地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g'：由mg'＝GMm（R＋h）2，得g'＝GM（R＋h）2，所以gg'＝（R＋h）2R2.
4.万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
推论2：均匀球体对球外质点的引力大小等于将均匀球体的全部质量集中在球心时，它与质点间的引力大小.
牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上经过研究得出了万有引力定律F＝Gm1m2r2，G为引力常量，判断下列说法的正误.
（1）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Gm1m2r2计算物体间的万有引力.（ ✕ ）
（2）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心.（ √ ）
（3）两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.（ ✕ ）
（4）引力常量G是一个与任何天体质量无关的常量.（ √ ）
（5）牛顿利用扭秤比较准确地测出了引力常量.（ ✕ ）
牛顿发现了万有引力定律一百多年后，英国物理学家卡文迪什在实验室里通过测量几个铅球之间的引力，从而测出了引力常量G.
（1）如图为卡文迪什的实验示意图，他巧妙地利用了 扭秤 装置；
（2）卡文迪什测量引力常量的基础原理式为G＝ Fr2mm' .
解析 （1）卡文迪什巧妙地利用了扭秤装置，成功地测量出引力常量G.
（2）根据题图中所示，m、m'之间的万有引力为F，距离为r，由万有引力定律有F＝Gmm'r2，解得G＝Fr2mm'.
命题点1 万有引力定律的理解和简单计算
4.[2023山东]牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F∝Mmr2.已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ C ）
A.30πrgB.30πgr
C.120πrgD.120πgr
解析 设地球质量为M，月球质量为m，地球半径为R，依题意有r＝60R，对月球绕地球做匀速圆周运动，有GMmr2＝m4π2T2r，对在地球表面附近的物体，有m0g＝GMm0R2，即GM＝gR2，解得月球绕地球公转的周期T＝120πrg，C正确.
命题点2 不同天体表面引力的比较与计算
5.[不同天体表面受力分析/2021山东]从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越.已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍.在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程.悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ B ）
A.9：1B.9：2
C.36：1D.72：1
解析 在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受着陆平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力大小，则F祝＝GM火m祝R火2，F玉＝GM月m玉R月2，其中M火M月＝91，R火R月＝21，m祝m玉＝21，代入数据解得F祝：F玉＝9：2， 故B正确，A、C、D错误.
命题点3 重力与万有引力的关系
6.[多选]由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（ BCD ）
A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C.地球的半径为（g0－g）T24π2
D.地球的密度为3πg0GT2（g0－g）
解析 因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，A错误；因在地球的两极有GMmR2＝mg0，则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F＝GMmR2＝mg0，B正确；在地球赤道上有GMmR2－mg＝m4π2T2R，联立解得R＝(g0-g)T24π2，C正确；地球的密度为ρ＝M43πR3，联立解得ρ＝3πg0GT2(g0-g)，D正确.
命题点4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
7.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ A ）
A.1－dRB.1＋dR
C.（R－dR）2D.（RR－d）2
思维引导
质量分布均匀的球体（模型）可以看成无数个球壳（模型）的组合.球体内部某一点的重力加速度，可以等效为以球心到该点为半径的球体（如图中阴影部分的球体）表面的重力加速度.
解析 物体在地面上时的重力加速度可由mg＝Gρ·43πR3mR2得出.根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，可知从地面到矿井底部的环形部分对矿井底部物体的引力为零，故对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的半径为R－d，矿井底部处重力加速度可由mg'＝Gρ·43 π(R-d)3m(R-d)2得出，故g'g＝R-dR，A正确.
命题拓展
命题条件不变，设置易错选项
[多选]若题设条件不变，下列有关物理过程说法正确的有（ AD ）
A.矿井底部和地面高h处的重力加速度大小之比为（R－d)(R＋h）2R3
B.从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做匀速直线运动
C.如果将小球放入地心，由万有引力定律公式计算引力巨大，会将小球拉碎
D.从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动
解析 地球的质量M＝ρV球＝ρ·43πR3，根据万有引力定律，可知在地面高h处有mg1＝GMm(R＋h)2，可得g1＝GM(R＋h)2.根据题意，可知在矿井底部，对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的质量为M1＝ρV'球＝ρ·43π(R－d)3，则有mg2＝GM1m(R-d)2，可得g2＝GM1(R-d)2，则有g2g1＝(R-d)(R＋h)2R3，A正确；靠近地心时重力加速度逐渐减小，所以从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动，B错误，D正确；万有引力定律公式成立的条件是两个物体可以看作质点，如果将小球放入地心，公式将不再成立，C错误.
考点3 中心天体质量和密度的估算
1798年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”.
（1）若已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，地球质量是 6×1024kg .（保留1位有效数字）
（2）若有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 64 倍.
解析 （1）根据万有引力等于重力，有GMmR2＝mg，则M＝gR2G＝9.8×（6.4×106）26.67×10－11kg＝6×1024kg.
（2）根据GM＝gR2，其中M＝ρ·43πR3，得g＝43ρGπR，该星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，星球的密度跟地球的密度相同，所以该星球的半径是地球的4倍，该星球的质量是地球质量的64倍.
命题点1 质量的估算
8.[2021广东]2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行.若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ D ）
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析 由于引力常量G已知，由地球对核心舱的万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r，若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地半径r，无法计算出地球质量，A错误；若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地周期T，无法计算出地球质量，B错误；若仅知道核心舱的绕地角速度ω和绕地周期T，绕地半径r未知，无法计算出地球质量，C错误；若仅知道核心舱的绕地线速度v和绕地半径r，可得地球质量M＝v2rG，D正确.
命题拓展
命题条件不变，一题多设问
[多选]题中条件不变，下列物理量能计算出地球质量的是（ AD ）
A.核心舱绕地球运行的角速度和半径
B.核心舱绕地球运行的周期和距地高度
C.地球的半径和核心舱的绕地周期
D.地表重力加速度和地球的半径
解析 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，可得M＝v2rG＝ω2r3G＝4π2r3GT2，G已知，知道角速度ω和半径r，可以求出地球质量M，因此A正确；知道周期T和距地高度h，不知道地球半径，则不能求出地球质量，B错误；知道地球半径R和周期T，不知道轨道距地高度，也不能求出地球质量，C错误；根据万有引力提供向心力有GMmR2＝mg，解得地球质量M＝gR2G，所以知道地表重力加速度和地球半径可以计算出地球质量，D正确.
命题点2 密度的估算
9.[2023辽宁]在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ D ）
A.k3（T1T2）2B.k3（T2T1）2
C.1k3（T1T2）2D.1k3（T2T1）2
解析
特别提醒
利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
区别天体半径R和卫星运动轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径.
热点4 万有引力的综合应用
受力分析、运动学和动力学知识在天体运动中同样适用，新高考地区对万有引力的综合应用考查也较多，要关注万有引力定律与相关力学知识的综合考查，一般会以选择题形式出现，另外，也可能结合动力学或功能知识以计算题形式考查，还可能结合电磁感应知识进行考查.
1.[万有引力与开普勒定律综合/2021全国甲]2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m.已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ C ）
A.6×105mB.6×106m
C.6×107mD.6×108m
解析 设火星的半径为R1、表面的重力加速度为g1，质量为m1的物体绕火星表面飞行的周期为T1，则有m14π2T12R1＝m1g1，设椭圆停泊轨道与火星表面的最近、最远距离分别为h1、h2，停泊轨道周期为T2，根据开普勒第三定律有R13T12＝(h1+2R1＋h22)3T22，代入数据解得h2＝32g1R12T22π2－2R1－h1≈6×107 m，故A、B、D错误，C正确.
2.[万有引力与受力分析综合/2022全国乙]2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课.通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ C ）
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
解析 航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，由万有引力定律公式F＝GMmr2可知，航天员所受地球引力大小不为零，A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，D错误.
3.[万有引力与参量分析综合/2023新课标]2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动.对接后，这批物资（ D ）
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
解析 质量是物体的一个基本属性，由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误；物资所受地球引力的大小F＝GMmr2，物资静止在地面时到地心的距离为地球半径，物资与空间站对接后，到地心的距离大于地球半径，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度一定大于地球自转角速度，D正确；物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式F＝mω2r可知，对接后物资所受合外力比静止在地面上时的大，B错误.
1.[万有引力定律的应用/2023上海]假设月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，月球到地心的距离为r，则月球的线速度v＝ 2πrT ；若已知月球的质量为m，则地球对月球的引力F＝ m4π2T2r .
解析 由于月球环绕地球做匀速圆周运动，则月球的线速度v＝2πrT，地球对月球的引力提供月球做圆周运动的向心力，则有F＝m4π2T2r.
2.[万有引力定律的应用/2023江苏]设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道.该卫星与月球相比，一定相等的是（ C ）
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
解析
3.[开普勒定律的应用/江苏高考]1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则（ B ）
A.v1＞v2，v1＝GMrB.v1＞v2，v1＞GMr
C.v1＜v2，v1＝GMrD.v1＜v2，v1＞GMr
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，在近地点的速度大于在远地点的速度，即v1＞v2.若卫星以近地点时的距离r为半径绕地球做圆周运动，则有GMmr2＝mv近2r，得运行速度v近＝GMr，由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞GMr，B正确.
一题多解 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v1＞v2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知GMmr2＜mv12r，解得v1＞GMr，B正确，A、C、D错误.
4.[物理量的估算/2021福建/多选]两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU（太阳到地球的距离为1AU），S2的运行周期约为16年.假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（ BCD ）
A.S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.S2在P点与Q点的速度大小之比
D.S2在P点与Q点的加速度大小之比
解析 设银河系中心超大质量的致密天体质量为M银心，恒星S2绕银河系中心(银心)运动的椭圆轨道半长轴为a、半焦距为c，根据题述，Q与O的距离约为120 AU，可得a－c＝120 AU，又有椭圆偏心率(离心率)约为0.87，即ca＝0.87，联立可以解得a和c，设想恒星S2绕银心做半径为a的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期不变，即TS2＝16年，因此有GM银心mS2a2＝mS2a(2πTS2)2，对地球围绕太阳的运动，有GM太阳m地r2＝m地r(2πT1)2，而a＝120r＋c，TS2＝16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，但不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误，B正确；由于远银心点和近银心点轨道的曲率半径相同，设为ρ，恒星S2在远银心点，由万有引力提供向心力有GM银心mS2a＋c2＝mS2vP2ρ，在近银心点，由万有引力提供向心力有GM银心mS2(a-c)2＝mS2vQ2ρ，联立可解得S2在P点与Q点的速度大小之比为vPvQ＝a-ca＋c，选项C正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律分别有GM银心mS2(a＋c)2＝mS2aP，GM银心mS2(a-c)2＝mS2aQ，联立可解得S2在P点与Q点的加速度大小之比为aPaQ＝(a-c)2(a＋c)2，选项D正确.
一题多解 选项C也可以利用开普勒第二定律解答.开普勒第二定律也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等.推广到银河系，根据开普勒第二定律有vP(a＋c)＝vQ(a－c)，可得S2在P点与Q点的速度大小之比为vPvQ＝a-ca＋c.
1.自远古以来，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了人们的注意.下列有关天体运动的说法中正确的是（ A ）
A.北半球的四季更替，秋冬季节比春夏天数少可以说明地球公转轨迹是椭圆
B.绕太阳运行的所有行星轨道的半长轴的二次方跟它自转周期的三次方的比值都相等
C.托勒密的日心说提出太阳是宇宙的中心，太阳是静止不动的
D.引力常量G是由科学家库仑根据扭秤实验测出的
解析 地球公转轨迹是椭圆，地球绕日运行时，对北半球的观察者而言，在冬至经过近日点，夏至经过远日点，则由开普勒第二定律可知，地球在冬天比在夏天运行得快一些，所以秋冬季节比春夏天数少，故A正确；绕太阳运行的所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等，故B错误；托勒密提出的是地心说，哥白尼提出的是日心说，提出太阳是宇宙的中心，太阳是静止不动的，故C错误；引力常量G是由科学家卡文迪什根据扭秤实验测出的，故D错误.
2.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ C ）
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行的速度大小与木星绕太阳运行的速度大小始终相等
C.火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析 由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律（周期定律）知，对于同一中心天体，所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值都相等，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误.
3.截至2023年3月，“祝融号”火星车在火星表面已累计行驶1921m，向地球传回大量科学探究的数据.如果着陆前探测器近火星绕行的周期为100min.已知地球平均密度为5.5×103kg/m3，地球近地卫星的周期为85min.估算火星的平均密度约为（ B ）
A.3.8×103kg/m3B.4.0×103kg/m3
C.4.2×103kg/m3D.4.5×103kg/m3
解析 卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得GMmR2＝m4π2T2R，设行星密度为ρ，则有M＝ρ·4π3R3，联立可得ρ＝3πGT2，则有ρ火ρ地＝T地2T火2，解得火星的平均密度约为ρ火＝T地2T火2ρ地＝8521002×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B正确，A、C、D错误.
4.[最新航天成就/2024陕西榆林三校联考]2023年5月30日，神舟十六号载人飞船进入太空并成功与天和核心舱对接.若天和核心舱做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，天和核心舱与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G.下列说法正确的是（ B ）
A.天和核心舱的环绕周期为S0πk2R2
B.地球的质量为4S02GkR
C.天和核心舱处的重力加速度大小为4πS02k3R3
D.地球的密度为3S02πGR4
解析 由几何关系得S0＝1Tπ(kR)2，所以天和核心舱的环绕周期T＝πk2R2S0，选项A错误；由万有引力提供向心力得GMm(kR)2＝m4π2T2kR，解得地球的质量M＝4S02GkR，选项B正确；由万有引力等于重力得GMm(kR)2＝mg，所以天和核心舱处的重力加速度大小g＝4S02k3R3，选项C错误；由ρ＝MV、V＝43πR3可得地球的密度ρ＝3S02πkGR4，选项D错误.
5.如图是某农家院内打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为（ B ）
A.R－dRB.（R2－d2)(R＋d）R3
C.R2－d2RD.（R2－d2)(R＋d）R2
解析 根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝GMR2，设离地面高度为d处的重力加速度为g'，由万有引力定律有g'＝GM(R＋d)2，两式联立得g'＝R2g(R＋d)2.对于在地面上质量为m的物体，根据万有引力定律有GMmR2＝mg，从而得g＝G·ρ·43πR3R2＝G·ρ·43πR，根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝GM'(R-d)2＝G·ρ·43π(R－d)，式中M'＝ρ·43π(R－d)3，则有g″＝R-dRg，所以g″g'＝(R2-d2)(R＋d)R3，选项B正确.
6.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示.科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞.这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖.若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ B ）
A.4×104MB.4×106M
C.4×108MD.4×1010M
解析 可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由1994年到2002年间恒星S2的观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T2＝16年，半长轴为a＝1 000 AU，设黑洞的质量为M黑，恒星S2的质量为m2，由万有引力提供向心力可得GM黑m2a2＝m2(2πT2)2a；设地球的质量为m1，地球绕太阳运行的轨道半径为r＝1 AU，周期T1＝1年，由万有引力提供向心力可得GMm1r2＝m1(2πT1)2r，联立解得黑洞质量M黑＝4×106M，B正确.
7.[传统文化/2024四川眉山模拟]北京冬奥会开幕式采用二十四节气倒计时，最后定格于立春节气，惊艳全球，二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置.如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处的四个位置，分别对应我国的四个节气，以下说法正确的是（ D ）
A.地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针方向
B.地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C.地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D.冬至时地球公转速率最大
解析 二十四节气中，夏至在春分后，秋分在夏至后，地球绕太阳运行方向（正对纸面）是逆时针方向，A错误；由开普勒第一定律知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，由开普勒第二定律知，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故地球绕太阳做非匀速率椭圆轨道运动，地球在近日点比远日点速率大，地球从夏至至秋分的时间大于地球公转周期的四分之一，B、C错误；由开普勒第二定律知，近日点公转速率最大，即冬至时地球公转速率最大，D正确.
8.[2024江西名校联考/多选]如图，神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接前经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，飞船在A点时对地球的张角（在同一平面内，从A点向地球作两条切线，这两条切线的夹角就是飞船在A点对地球的张角）为2α，在B点时对地球的张角为2β，飞船在轨道Ⅰ上A点加速度为a1、运动周期为T1，在轨道Ⅱ上B点加速度为a2、运动周期为T2，下列关系正确的是（ AC ）
A.a1：a2＝sin2α：sin2β
B.a1：a2＝sin2β：sin2α
C.T1T2＝（sinα＋sinβ）38sin3α
D.T1T2＝8sin3α（sinα＋sinβ）3
解析 根据题意，设地球的半径为R，A点到地心距离为r1，B点到地心距离为r2，由几何关系有r1＝Rsinα，r2＝Rsinβ，由万有引力提供向心力有GMmr2＝Ma，解得a＝GMr2，则a1：a2＝ sin 2α： sin 2β，故A正确，B错误；根据题意，由开普勒第三定律可得T1T2＝[12(r1＋r2)]3r23，解得T1T2＝(sinα＋sinβ)38sin3α，故C正确，D错误.
9.[“模拟登火星”/2024安徽滁州开学考/多选]为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃正与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动.已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，自转周期基本相同.地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是（ ABC ）
A.王跃以相同的初速度在火星上起跳时，跳起的最大高度是9h4
B.火星表面的重力加速度是49g
C.火星的平均密度是地球平均密度的89
D.王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的29
解析 根据万有引力定律F＝GMmR2，知F火F地＝M火R地2M地R火2＝19×22＝49，王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的49，选项D错误.根据GMmR2＝mg，可得g火g地＝M火R地2M地R火2＝19×22＝49，则火星表面重力加速度为49g，故B正确.根据ρ＝M43πR3，可得ρ火ρ地＝M火R地3M地R火3＝19×23＝89，故C正确.因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的49，根据h＝v022g知，火星上跳起的高度是地球上跳起高度的94倍，为94h，故A正确.
10.万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性.
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.
a.若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1F0的表达式，并就h＝1.0％R的情形算出具体数值（计算结果保留2位有效数字）.
b.若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2F0的表达式.
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0％，而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长.
答案 （1）a.F1F0＝R2（R＋h）2 0.98 b.F2F0＝1－4π2R3GMT2
（2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
解析 （1）设小物体的质量为m
a.在地球北极地面有GMmR2＝F0
在北极上空高出地面h处有GMm（R＋h）2＝F1
解得F1F0＝R2（R＋h）2
当h＝1.0％R时，得F1F0＝11.012＝0.98
b.在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有GMmR2－F2＝m4π2T2R
解得F2F0＝1－4π2R3GMT2
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力作用.设太阳质量为MS，地球公转周期为TE，有
GMSMr2＝M4π2TE2r
解得TE＝4π2r3GMS＝3πGρ（rRS）3
其中ρ为太阳的密度.由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关.因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同.
11.[新信息问题/2024山东济宁高三月考]宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍.设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样.已知以恒星为球心、以r为半径的球面上，单位面积单位时间接收到的辐射能量满足E＝E04πr2（E0为恒星单位时间辐射的总能量），则地球在“流浪”后的公转周期与绕太阳公转周期的比值为（ A ）
A.42B.4C.22D.2
解析 设地球绕太阳的公转半径为r1，在新轨道上的公转半径为r2，由地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样可知E014πr12＝16E014πr22，解得r2＝4r1，又根据GMmr2＝m4π2T2r得T＝4π2r3GM，地球在“流浪”后的公转周期与绕太阳公转周期的比值为T2T1＝42，选项A正确，选项B、C、D均错误.
12.[新情境问题/多选]地球和月球在长期相互作用过程中，形成了“潮汐锁定”.月球总是一面正对地球，另一面背离地球，月球绕地球的运动可看成匀速圆周运动.以下说法正确的是（ AC ）
A.月球的公转周期与自转周期相同
B.地球对月球的引力大于月球对地球的引力
C.月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度
D.若测得月球公转的周期和半径可估测月球质量
解析 “潮汐锁定”下月球总是一面正对地球，另一面背离地球，分析可知，月球的公转周期与自转周期相同，故A正确；根据牛顿第三定律，可知地球对月球的引力等于月球对地球的引力，故B错误；由于月球总是一面正对地球，所以月球上远地端与近地端角速度相同，根据公式a＝ω2r可知，半径大的向心加速度大，即月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度，故C正确；若测得月球公转的周期和半径可估测地球的质量，月球质量被约去，不可估测月球质量，故D错误.课标要求
核心考点
五年考情
核心素养对接
1.通过史实，了解万有引力定律的发现过程.
2.知道万有引力定律.认识发现万有引力定律的重要意义.
3.认识科学定律对人类探索未知世界的作用.
开普勒定律的理解与应用
2021：全国甲T18；
2019：江苏T4
1.物理观念：从运动的视角认识开普勒定律，从力的视角探究行星运动的原因，强化运动与相互作用观念.
2.科学思维：理解万有引力定律的推导过程，会用万有引力定律解决简单的引力计算问题.
3.科学探究：学习引力常量的测量方法，体会猜想、假设及实验验证在发现海王星过程中的重要科学作用.
4.科学态度与责任：从人类认识天体运动的进程中体会物理学家的贡献，明确坚持实事求是科学研究的基本态度和社会责任.
万有引力定律的理解与应用
2023：新课标T17，山东T3，江苏T4，北京T20，上海T14；
2022：全国乙T14；
2021：山东T5，重庆T8，福建T13，全国甲T18；
2020：山东T7，全国ⅠT15；
2019：全国ⅡT14
中心天体质量和密度的估算
2023：辽宁T7；
2021：广东T2，福建T8，全国乙T18
命题分析预测
每年必考，主要以选择题形式考查，涉及开普勒定律、万有引力定律的应用，物理量的估算等.近几年有结合运动学、动力学、能量等综合考查的趋势，以选择题或计算题形式出现.
定律
内容
图示
开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个[1] 焦点 上
开普勒第二定律（面积定律）
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的[2] 面积
开普勒第三定律（周期定律）
所有行星绕太阳运动的轨道的[3] 半长轴 （a）的三次方跟它的[4] 公转周期 （T）的二次方的比都相等（即a3T2＝k）
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量
的计算
利用运行天体（天体环绕法）
r、T
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
只能得到中心天体的质量
r、v
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
v、T
GMmr2＝mv2r
GMmr2＝mr4π2T2
M＝v3T2πG
利用天体表面重力加速度（重力加速度法）
g、R
mg＝GMmR2
M＝gR2G
“黄金代换”GM＝gR2
密度
的计算
利用运行天体（天体环绕法）
r、T、R
GMmr2＝mr4π2T2
M＝ρ·43πR3
ρ＝3πr3GT2R3，当r＝R时ρ＝3πGT2
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度（重力加速度法）
g、R
mg＝GMmR2
M＝ρ·43πR3
ρ＝3g4πGR
考点1 开普勒定律的理解与应用
（1）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如卫星绕地球的运动.
（2）利用微元法，在Δt1→0时，由开普勒第二定律可知12v1·Δt1·r1＝12v2·Δt1·r2，解得v1v2＝r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小.
（3）开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.且该定律只能用在绕同一中心天体运动的两星体之间.（关于k值：由GMma2＝m（2πT）2a，得a3T2＝GM4π2，故k＝GM4π2.）
开普勒有关行星的三个定律被称为“中世纪科学与近代科学的分水岭”.如图所示，判断下列说法的正误.
（1）开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律.（ ✕ ）
（2）地球绕太阳运行过程中，速率不变.（ ✕ ）
（3）在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等.（ ✕ ）
（4）火星绕太阳运行一周的时间比地球的长.（ √ ）
1.[开普勒第一定律的理解/多选]下列说法正确的是（ AB ）
A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D.太阳是静止不动的
解析 太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误.
2.[开普勒第二定律的应用]如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远.B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（ C ）
A.卫星在C点的速度最大
B.卫星在C点的加速度最大
C.卫星从A经D到C点的运动时间为T2
D.卫星从B经A到D点的运动时间为T2
解析 卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A错误；卫星在椭圆轨迹的各个点上都是引力产生加速度，有a＝GMr2，因A点到地球的距离最小，则卫星在A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知tADC＝tCBA＝T2，故C正确；卫星在近地点A附近速度较大，在远地点C附近速度较小，则tBAD＜T2，tDCB＞T2，故D错误.
3.[开普勒第三定律的应用]德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律.设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k1，土星的卫星绕土星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k2，地球的卫星绕地球做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k3.已知M太阳＞M土星＞M地球，则（ B ）
A.k1＝k2＝k3B.k1＞k2＞k3
C.k1＜k2＜k3D.k1＞k2＝k3
解析 由万有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T2r，则r3T2＝k＝GM4π2，式中的k只与中心天体的质量有关，由于M太阳＞M土星＞M地球，因此k1＞k2＞k3，故B正确.
考点2 万有引力定律的理解与应用
1.万有引力定律的理解及应用
（1）表达式：F＝[5] Gm1m2r2 ，其中G为引力常量，大小为6.67×10－11N·m2/kg2.
（2）适用条件：适用于相距很远，可以视为质点的物体之间的相互作用.质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r为两球心之间的距离.
2.行星动力学规律
（1）天上：万有引力提供向心力，则GMmr2＝[6] ma ＝[7] mv2r ＝[8] mω2r ＝[9] m（2πT）2r .
（2）
地上不考虑自转：GMmR2＝mg⇒[10] GM＝gR2 考虑自转两极：GMmR2＝mg0赤道：GMmR2－FN＝mω2R，即GMmR2－mg赤＝mω2R一般位置：GMmR2等于mg与F向的矢量和越靠近两极，向心力越小，g越大
3.星体表面及上空的重力加速度
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝GMmR2，得g＝GMR2.
（2）地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g'：由mg'＝GMm（R＋h）2，得g'＝GM（R＋h）2，所以gg'＝（R＋h）2R2.
4.万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
推论2：均匀球体对球外质点的引力大小等于将均匀球体的全部质量集中在球心时，它与质点间的引力大小.
牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上经过研究得出了万有引力定律F＝Gm1m2r2，G为引力常量，判断下列说法的正误.
（1）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Gm1m2r2计算物体间的万有引力.（ ✕ ）
（2）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心.（ √ ）
（3）两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.（ ✕ ）
（4）引力常量G是一个与任何天体质量无关的常量.（ √ ）
（5）牛顿利用扭秤比较准确地测出了引力常量.（ ✕ ）
牛顿发现了万有引力定律一百多年后，英国物理学家卡文迪什在实验室里通过测量几个铅球之间的引力，从而测出了引力常量G.
（1）如图为卡文迪什的实验示意图，他巧妙地利用了 扭秤 装置；
（2）卡文迪什测量引力常量的基础原理式为G＝ Fr2mm' .
解析 （1）卡文迪什巧妙地利用了扭秤装置，成功地测量出引力常量G.
（2）根据题图中所示，m、m'之间的万有引力为F，距离为r，由万有引力定律有F＝Gmm'r2，解得G＝Fr2mm'.
命题点1 万有引力定律的理解和简单计算
4.[2023山东]牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F∝Mmr2.已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（ C ）
A.30πrgB.30πgr
C.120πrgD.120πgr
解析 设地球质量为M，月球质量为m，地球半径为R，依题意有r＝60R，对月球绕地球做匀速圆周运动，有GMmr2＝m4π2T2r，对在地球表面附近的物体，有m0g＝GMm0R2，即GM＝gR2，解得月球绕地球公转的周期T＝120πrg，C正确.
命题点2 不同天体表面引力的比较与计算
5.[不同天体表面受力分析/2021山东]从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越.已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍.在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程.悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ B ）
A.9：1B.9：2
C.36：1D.72：1
解析 在悬停状态下，“祝融”和“玉兔”所受着陆平台的作用力大小可认为等于其所受到的万有引力大小，则F祝＝GM火m祝R火2，F玉＝GM月m玉R月2，其中M火M月＝91，R火R月＝21，m祝m玉＝21，代入数据解得F祝：F玉＝9：2， 故B正确，A、C、D错误.
命题点3 重力与万有引力的关系
6.[多选]由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（ BCD ）
A.质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B.质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C.地球的半径为（g0－g）T24π2
D.地球的密度为3πg0GT2（g0－g）
解析 因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，A错误；因在地球的两极有GMmR2＝mg0，则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F＝GMmR2＝mg0，B正确；在地球赤道上有GMmR2－mg＝m4π2T2R，联立解得R＝(g0-g)T24π2，C正确；地球的密度为ρ＝M43πR3，联立解得ρ＝3πg0GT2(g0-g)，D正确.
命题点4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
7.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ A ）
A.1－dRB.1＋dR
C.（R－dR）2D.（RR－d）2
思维引导
质量分布均匀的球体（模型）可以看成无数个球壳（模型）的组合.球体内部某一点的重力加速度，可以等效为以球心到该点为半径的球体（如图中阴影部分的球体）表面的重力加速度.
解析 物体在地面上时的重力加速度可由mg＝Gρ·43πR3mR2得出.根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，可知从地面到矿井底部的环形部分对矿井底部物体的引力为零，故对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的半径为R－d，矿井底部处重力加速度可由mg'＝Gρ·43 π(R-d)3m(R-d)2得出，故g'g＝R-dR，A正确.
命题拓展
命题条件不变，设置易错选项
[多选]若题设条件不变，下列有关物理过程说法正确的有（ AD ）
A.矿井底部和地面高h处的重力加速度大小之比为（R－d)(R＋h）2R3
B.从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做匀速直线运动
C.如果将小球放入地心，由万有引力定律公式计算引力巨大，会将小球拉碎
D.从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动
解析 地球的质量M＝ρV球＝ρ·43πR3，根据万有引力定律，可知在地面高h处有mg1＝GMm(R＋h)2，可得g1＝GM(R＋h)2.根据题意，可知在矿井底部，对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的质量为M1＝ρV'球＝ρ·43π(R－d)3，则有mg2＝GM1m(R-d)2，可得g2＝GM1(R-d)2，则有g2g1＝(R-d)(R＋h)2R3，A正确；靠近地心时重力加速度逐渐减小，所以从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动，B错误，D正确；万有引力定律公式成立的条件是两个物体可以看作质点，如果将小球放入地心，公式将不再成立，C错误.
考点3 中心天体质量和密度的估算
1798年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”.
（1）若已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，地球质量是 6×1024kg .（保留1位有效数字）
（2）若有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 64 倍.
解析 （1）根据万有引力等于重力，有GMmR2＝mg，则M＝gR2G＝9.8×（6.4×106）26.67×10－11kg＝6×1024kg.
（2）根据GM＝gR2，其中M＝ρ·43πR3，得g＝43ρGπR，该星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，星球的密度跟地球的密度相同，所以该星球的半径是地球的4倍，该星球的质量是地球质量的64倍.
命题点1 质量的估算
8.[2021广东]2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行.若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ D ）
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析 由于引力常量G已知，由地球对核心舱的万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r，若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地半径r，无法计算出地球质量，A错误；若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地周期T，无法计算出地球质量，B错误；若仅知道核心舱的绕地角速度ω和绕地周期T，绕地半径r未知，无法计算出地球质量，C错误；若仅知道核心舱的绕地线速度v和绕地半径r，可得地球质量M＝v2rG，D正确.
命题拓展
命题条件不变，一题多设问
[多选]题中条件不变，下列物理量能计算出地球质量的是（ AD ）
A.核心舱绕地球运行的角速度和半径
B.核心舱绕地球运行的周期和距地高度
C.地球的半径和核心舱的绕地周期
D.地表重力加速度和地球的半径
解析 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，可得M＝v2rG＝ω2r3G＝4π2r3GT2，G已知，知道角速度ω和半径r，可以求出地球质量M，因此A正确；知道周期T和距地高度h，不知道地球半径，则不能求出地球质量，B错误；知道地球半径R和周期T，不知道轨道距地高度，也不能求出地球质量，C错误；根据万有引力提供向心力有GMmR2＝mg，解得地球质量M＝gR2G，所以知道地表重力加速度和地球半径可以计算出地球质量，D正确.
命题点2 密度的估算
9.[2023辽宁]在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ D ）
A.k3（T1T2）2B.k3（T2T1）2
C.1k3（T1T2）2D.1k3（T2T1）2
解析
特别提醒
利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
区别天体半径R和卫星运动轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径.
热点4 万有引力的综合应用
受力分析、运动学和动力学知识在天体运动中同样适用，新高考地区对万有引力的综合应用考查也较多，要关注万有引力定律与相关力学知识的综合考查，一般会以选择题形式出现，另外，也可能结合动力学或功能知识以计算题形式考查，还可能结合电磁感应知识进行考查.
1.[万有引力与开普勒定律综合/2021全国甲]2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m.已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ C ）
A.6×105mB.6×106m
C.6×107mD.6×108m
解析 设火星的半径为R1、表面的重力加速度为g1，质量为m1的物体绕火星表面飞行的周期为T1，则有m14π2T12R1＝m1g1，设椭圆停泊轨道与火星表面的最近、最远距离分别为h1、h2，停泊轨道周期为T2，根据开普勒第三定律有R13T12＝(h1+2R1＋h22)3T22，代入数据解得h2＝32g1R12T22π2－2R1－h1≈6×107 m，故A、B、D错误，C正确.
2.[万有引力与受力分析综合/2022全国乙]2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课.通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ C ）
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
解析 航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，由万有引力定律公式F＝GMmr2可知，航天员所受地球引力大小不为零，A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，D错误.
3.[万有引力与参量分析综合/2023新课标]2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动.对接后，这批物资（ D ）
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
解析 质量是物体的一个基本属性，由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误；物资所受地球引力的大小F＝GMmr2，物资静止在地面时到地心的距离为地球半径，物资与空间站对接后，到地心的距离大于地球半径，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度一定大于地球自转角速度，D正确；物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式F＝mω2r可知，对接后物资所受合外力比静止在地面上时的大，B错误.
1.[万有引力定律的应用/2023上海]假设月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，月球到地心的距离为r，则月球的线速度v＝ 2πrT ；若已知月球的质量为m，则地球对月球的引力F＝ m4π2T2r .
解析 由于月球环绕地球做匀速圆周运动，则月球的线速度v＝2πrT，地球对月球的引力提供月球做圆周运动的向心力，则有F＝m4π2T2r.
2.[万有引力定律的应用/2023江苏]设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道.该卫星与月球相比，一定相等的是（ C ）
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
解析
3.[开普勒定律的应用/江苏高考]1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则（ B ）
A.v1＞v2，v1＝GMrB.v1＞v2，v1＞GMr
C.v1＜v2，v1＝GMrD.v1＜v2，v1＞GMr
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，在近地点的速度大于在远地点的速度，即v1＞v2.若卫星以近地点时的距离r为半径绕地球做圆周运动，则有GMmr2＝mv近2r，得运行速度v近＝GMr，由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞GMr，B正确.
一题多解 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v1＞v2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知GMmr2＜mv12r，解得v1＞GMr，B正确，A、C、D错误.
4.[物理量的估算/2021福建/多选]两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU（太阳到地球的距离为1AU），S2的运行周期约为16年.假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（ BCD ）
A.S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.S2在P点与Q点的速度大小之比
D.S2在P点与Q点的加速度大小之比
解析 设银河系中心超大质量的致密天体质量为M银心，恒星S2绕银河系中心(银心)运动的椭圆轨道半长轴为a、半焦距为c，根据题述，Q与O的距离约为120 AU，可得a－c＝120 AU，又有椭圆偏心率(离心率)约为0.87，即ca＝0.87，联立可以解得a和c，设想恒星S2绕银心做半径为a的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期不变，即TS2＝16年，因此有GM银心mS2a2＝mS2a(2πTS2)2，对地球围绕太阳的运动，有GM太阳m地r2＝m地r(2πT1)2，而a＝120r＋c，TS2＝16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，但不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误，B正确；由于远银心点和近银心点轨道的曲率半径相同，设为ρ，恒星S2在远银心点，由万有引力提供向心力有GM银心mS2a＋c2＝mS2vP2ρ，在近银心点，由万有引力提供向心力有GM银心mS2(a-c)2＝mS2vQ2ρ，联立可解得S2在P点与Q点的速度大小之比为vPvQ＝a-ca＋c，选项C正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律分别有GM银心mS2(a＋c)2＝mS2aP，GM银心mS2(a-c)2＝mS2aQ，联立可解得S2在P点与Q点的加速度大小之比为aPaQ＝(a-c)2(a＋c)2，选项D正确.
一题多解 选项C也可以利用开普勒第二定律解答.开普勒第二定律也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等.推广到银河系，根据开普勒第二定律有vP(a＋c)＝vQ(a－c)，可得S2在P点与Q点的速度大小之比为vPvQ＝a-ca＋c.
1.自远古以来，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了人们的注意.下列有关天体运动的说法中正确的是（ A ）
A.北半球的四季更替，秋冬季节比春夏天数少可以说明地球公转轨迹是椭圆
B.绕太阳运行的所有行星轨道的半长轴的二次方跟它自转周期的三次方的比值都相等
C.托勒密的日心说提出太阳是宇宙的中心，太阳是静止不动的
D.引力常量G是由科学家库仑根据扭秤实验测出的
解析 地球公转轨迹是椭圆，地球绕日运行时，对北半球的观察者而言，在冬至经过近日点，夏至经过远日点，则由开普勒第二定律可知，地球在冬天比在夏天运行得快一些，所以秋冬季节比春夏天数少，故A正确；绕太阳运行的所有行星轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方的比值都相等，故B错误；托勒密提出的是地心说，哥白尼提出的是日心说，提出太阳是宇宙的中心，太阳是静止不动的，故C错误；引力常量G是由科学家卡文迪什根据扭秤实验测出的，故D错误.
2.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ C ）
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星绕太阳运行的速度大小与木星绕太阳运行的速度大小始终相等
C.火星和木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析 由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律（周期定律）知，对于同一中心天体，所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值都相等，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D错误.
3.截至2023年3月，“祝融号”火星车在火星表面已累计行驶1921m，向地球传回大量科学探究的数据.如果着陆前探测器近火星绕行的周期为100min.已知地球平均密度为5.5×103kg/m3，地球近地卫星的周期为85min.估算火星的平均密度约为（ B ）
A.3.8×103kg/m3B.4.0×103kg/m3
C.4.2×103kg/m3D.4.5×103kg/m3
解析 卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得GMmR2＝m4π2T2R，设行星密度为ρ，则有M＝ρ·4π3R3，联立可得ρ＝3πGT2，则有ρ火ρ地＝T地2T火2，解得火星的平均密度约为ρ火＝T地2T火2ρ地＝8521002×5.5×103 kg/m3≈4.0×103 kg/m3，B正确，A、C、D错误.
4.[最新航天成就/2024陕西榆林三校联考]2023年5月30日，神舟十六号载人飞船进入太空并成功与天和核心舱对接.若天和核心舱做匀速圆周运动的轨道半径是地球半径的k倍，天和核心舱与地球中心的连线在单位时间内扫过的面积为S0，已知地球半径为R，引力常量为G.下列说法正确的是（ B ）
A.天和核心舱的环绕周期为S0πk2R2
B.地球的质量为4S02GkR
C.天和核心舱处的重力加速度大小为4πS02k3R3
D.地球的密度为3S02πGR4
解析 由几何关系得S0＝1Tπ(kR)2，所以天和核心舱的环绕周期T＝πk2R2S0，选项A错误；由万有引力提供向心力得GMm(kR)2＝m4π2T2kR，解得地球的质量M＝4S02GkR，选项B正确；由万有引力等于重力得GMm(kR)2＝mg，所以天和核心舱处的重力加速度大小g＝4S02k3R3，选项C错误；由ρ＝MV、V＝43πR3可得地球的密度ρ＝3S02πkGR4，选项D错误.
5.如图是某农家院内打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为（ B ）
A.R－dRB.（R2－d2)(R＋d）R3
C.R2－d2RD.（R2－d2)(R＋d）R2
解析 根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝GMR2，设离地面高度为d处的重力加速度为g'，由万有引力定律有g'＝GM(R＋d)2，两式联立得g'＝R2g(R＋d)2.对于在地面上质量为m的物体，根据万有引力定律有GMmR2＝mg，从而得g＝G·ρ·43πR3R2＝G·ρ·43πR，根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝GM'(R-d)2＝G·ρ·43π(R－d)，式中M'＝ρ·43π(R－d)3，则有g″＝R-dRg，所以g″g'＝(R2-d2)(R＋d)R3，选项B正确.
6.科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示.科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞.这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖.若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ B ）
A.4×104MB.4×106M
C.4×108MD.4×1010M
解析 可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由1994年到2002年间恒星S2的观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T2＝16年，半长轴为a＝1 000 AU，设黑洞的质量为M黑，恒星S2的质量为m2，由万有引力提供向心力可得GM黑m2a2＝m2(2πT2)2a；设地球的质量为m1，地球绕太阳运行的轨道半径为r＝1 AU，周期T1＝1年，由万有引力提供向心力可得GMm1r2＝m1(2πT1)2r，联立解得黑洞质量M黑＝4×106M，B正确.
7.[传统文化/2024四川眉山模拟]北京冬奥会开幕式采用二十四节气倒计时，最后定格于立春节气，惊艳全球，二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置.如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处的四个位置，分别对应我国的四个节气，以下说法正确的是（ D ）
A.地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针方向
B.地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
C.地球从夏至至秋分的时间小于地球公转周期的四分之一
D.冬至时地球公转速率最大
解析 二十四节气中，夏至在春分后，秋分在夏至后，地球绕太阳运行方向（正对纸面）是逆时针方向，A错误；由开普勒第一定律知，地球绕太阳运行的轨道是椭圆，由开普勒第二定律知，地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故地球绕太阳做非匀速率椭圆轨道运动，地球在近日点比远日点速率大，地球从夏至至秋分的时间大于地球公转周期的四分之一，B、C错误；由开普勒第二定律知，近日点公转速率最大，即冬至时地球公转速率最大，D正确.
8.[2024江西名校联考/多选]如图，神舟十六号载人飞船与天和核心舱对接前经B点由椭圆轨道Ⅰ变轨至圆形轨道Ⅱ，A、B两点分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，飞船在A点时对地球的张角（在同一平面内，从A点向地球作两条切线，这两条切线的夹角就是飞船在A点对地球的张角）为2α，在B点时对地球的张角为2β，飞船在轨道Ⅰ上A点加速度为a1、运动周期为T1，在轨道Ⅱ上B点加速度为a2、运动周期为T2，下列关系正确的是（ AC ）
A.a1：a2＝sin2α：sin2β
B.a1：a2＝sin2β：sin2α
C.T1T2＝（sinα＋sinβ）38sin3α
D.T1T2＝8sin3α（sinα＋sinβ）3
解析 根据题意，设地球的半径为R，A点到地心距离为r1，B点到地心距离为r2，由几何关系有r1＝Rsinα，r2＝Rsinβ，由万有引力提供向心力有GMmr2＝Ma，解得a＝GMr2，则a1：a2＝ sin 2α： sin 2β，故A正确，B错误；根据题意，由开普勒第三定律可得T1T2＝[12(r1＋r2)]3r23，解得T1T2＝(sinα＋sinβ)38sin3α，故C正确，D错误.
9.[“模拟登火星”/2024安徽滁州开学考/多选]为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃正与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动.已知火星半径是地球半径的12，质量是地球质量的19，自转周期基本相同.地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是（ ABC ）
A.王跃以相同的初速度在火星上起跳时，跳起的最大高度是9h4
B.火星表面的重力加速度是49g
C.火星的平均密度是地球平均密度的89
D.王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的29
解析 根据万有引力定律F＝GMmR2，知F火F地＝M火R地2M地R火2＝19×22＝49，王跃在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的49，选项D错误.根据GMmR2＝mg，可得g火g地＝M火R地2M地R火2＝19×22＝49，则火星表面重力加速度为49g，故B正确.根据ρ＝M43πR3，可得ρ火ρ地＝M火R地3M地R火3＝19×23＝89，故C正确.因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的49，根据h＝v022g知，火星上跳起的高度是地球上跳起高度的94倍，为94h，故A正确.
10.万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性.
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.
a.若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1F0的表达式，并就h＝1.0％R的情形算出具体数值（计算结果保留2位有效数字）.
b.若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2F0的表达式.
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0％，而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长.
答案 （1）a.F1F0＝R2（R＋h）2 0.98 b.F2F0＝1－4π2R3GMT2
（2）“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
解析 （1）设小物体的质量为m
a.在地球北极地面有GMmR2＝F0
在北极上空高出地面h处有GMm（R＋h）2＝F1
解得F1F0＝R2（R＋h）2
当h＝1.0％R时，得F1F0＝11.012＝0.98
b.在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有GMmR2－F2＝m4π2T2R
解得F2F0＝1－4π2R3GMT2
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力作用.设太阳质量为MS，地球公转周期为TE，有
GMSMr2＝M4π2TE2r
解得TE＝4π2r3GMS＝3πGρ（rRS）3
其中ρ为太阳的密度.由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关.因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同.
11.[新信息问题/2024山东济宁高三月考]宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍.设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样.已知以恒星为球心、以r为半径的球面上，单位面积单位时间接收到的辐射能量满足E＝E04πr2（E0为恒星单位时间辐射的总能量），则地球在“流浪”后的公转周期与绕太阳公转周期的比值为（ A ）
A.42B.4C.22D.2
解析 设地球绕太阳的公转半径为r1，在新轨道上的公转半径为r2，由地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样可知E014πr12＝16E014πr22，解得r2＝4r1，又根据GMmr2＝m4π2T2r得T＝4π2r3GM，地球在“流浪”后的公转周期与绕太阳公转周期的比值为T2T1＝42，选项A正确，选项B、C、D均错误.
12.[新情境问题/多选]地球和月球在长期相互作用过程中，形成了“潮汐锁定”.月球总是一面正对地球，另一面背离地球，月球绕地球的运动可看成匀速圆周运动.以下说法正确的是（ AC ）
A.月球的公转周期与自转周期相同
B.地球对月球的引力大于月球对地球的引力
C.月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度
D.若测得月球公转的周期和半径可估测月球质量
解析 “潮汐锁定”下月球总是一面正对地球，另一面背离地球，分析可知，月球的公转周期与自转周期相同，故A正确；根据牛顿第三定律，可知地球对月球的引力等于月球对地球的引力，故B错误；由于月球总是一面正对地球，所以月球上远地端与近地端角速度相同，根据公式a＝ω2r可知，半径大的向心加速度大，即月球上远地端的向心加速度大于近地端的向心加速度，故C正确；若测得月球公转的周期和半径可估测地球的质量，月球质量被约去，不可估测月球质量，故D错误.课标要求
核心考点
五年考情
核心素养对接
1.通过史实，了解万有引力定律的发现过程.
2.知道万有引力定律.认识发现万有引力定律的重要意义.
3.认识科学定律对人类探索未知世界的作用.
开普勒定律的理解与应用
2021：全国甲T18；
2019：江苏T4
1.物理观念：从运动的视角认识开普勒定律，从力的视角探究行星运动的原因，强化运动与相互作用观念.
2.科学思维：理解万有引力定律的推导过程，会用万有引力定律解决简单的引力计算问题.
3.科学探究：学习引力常量的测量方法，体会猜想、假设及实验验证在发现海王星过程中的重要科学作用.
4.科学态度与责任：从人类认识天体运动的进程中体会物理学家的贡献，明确坚持实事求是科学研究的基本态度和社会责任.
万有引力定律的理解与应用
2023：新课标T17，山东T3，江苏T4，北京T20，上海T14；
2022：全国乙T14；
2021：山东T5，重庆T8，福建T13，全国甲T18；
2020：山东T7，全国ⅠT15；
2019：全国ⅡT14
中心天体质量和密度的估算
2023：辽宁T7；
2021：广东T2，福建T8，全国乙T18
命题分析预测
每年必考，主要以选择题形式考查，涉及开普勒定律、万有引力定律的应用，物理量的估算等.近几年有结合运动学、动力学、能量等综合考查的趋势，以选择题或计算题形式出现.
定律
内容
图示
开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个[1] 焦点 上
开普勒第二定律（面积定律）
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的[2] 面积
开普勒第三定律（周期定律）
所有行星绕太阳运动的轨道的[3] 半长轴 （a）的三次方跟它的[4] 公转周期 （T）的二次方的比都相等（即a3T2＝k）
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量
的计算
利用运行天体（天体环绕法）
r、T
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
只能得到中心天体的质量
r、v
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
v、T
GMmr2＝mv2r
GMmr2＝mr4π2T2
M＝v3T2πG
利用天体表面重力加速度（重力加速度法）
g、R
mg＝GMmR2
M＝gR2G
“黄金代换”GM＝gR2
密度
的计算
利用运行天体（天体环绕法）
r、T、R
GMmr2＝mr4π2T2
M＝ρ·43πR3
ρ＝3πr3GT2R3，当r＝R时ρ＝3πGT2
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度（重力加速度法）
g、R
mg＝GMmR2
M＝ρ·43πR3
ρ＝3g4πGR
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