江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

这是一份江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知f（x）＝x3，则＝（ ）
A．0B．﹣3C．2D．3
2．（5分）若关于x的不等式x2﹣2x﹣m＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞n}，则＝（ ）
A．70B．90C．180D．495
3．（5分）已知{an}是单调递增的等比数列，且a4+a5＝27，a3a6＝162，则公比q的值是（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）（σ＞0），则“m＝3”是“P（X≥m2）+P（X＞m﹣4）＝1”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（5分）已知sin（θ﹣）＝csθ，则tan2θ＝（ ）
A．B．2C．D．﹣
6．（5分）已知点A（4，0），圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1，若圆C上存在点P使得PA＝3，则实数a的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为T，f（）＝f（），若f（x）在区间[0，2]上恰有8个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[，4π）B．[4π，）C．（4π，]D．[，）
8．（5分）已知实数x，y满足+y|y|＝1，则x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，）B．（0，2]C．[0，]D．（0，]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
（多选）9．（6分）已知动点A，B分别在直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+10＝0上移动，则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（6分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，c＝5，csC＝，则（ ）
A．△ABC的外接圆半径为
B．sinA＝
C．b＝6
D．△ABC为锐角三角形
（多选）11．（6分）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P（A）和P（B），则（ ）
A．p1＞
B．当p1+p2＝1时，p2P（A）＝p1P（B）
C．当P（A）＝P（B）时，+p1p2+＞
D．存在p1，对任意的p2，都有P（A）＞P（B）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）（1﹣）2（x﹣1）4的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
13．（5分）已知等边△ABC的边长为1，若平面内一点M满足＝+，则与夹角的余弦值为 ．
14．（5分）一个顶点为P，底面中心为O的圆锥的体积为π，若正四棱锥O﹣ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，点A，B，C，D都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值是 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，•＝0．
（1）求C的离心率；
（2）若射线AF1交椭圆C于点B，且AB＝，求a的值．
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
（1）证明：AB1⊥平面A1BD；
（2）若二面角A﹣BC﹣D的余弦值为，求线段AC的长度．
17．（15分）设函数f（x）＝2x3﹣ax2+b，a，b∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a＞0，b∈R，使得f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣2且最大值为2？若存在，求实数a，b的值；若不存在，请说明理由．
18．（17分）已知数列{an}，{bn}，其中数列{an}是等差数列，且满足bn﹣an＝（﹣1）nn2，a1+b1＝1，
a2+b2＝8，n∈N*．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）设数列{bn}的前n项和为Tn，记集合A＝{n|n≤100且Tn≤100}，求集合A中所有元素的和S．
19．（17分）已知函数f（x）＝csx，且α，β∈（0，）．
（1）求f（α）+f（﹣α）的最大值；
（2）判断f（α）+sin（α+β）与f（β）的大小关系，并说明理由；
（3）判断f（α），f（β），sin（α+β）能否作为△ABC三边长？若能，给出证明，并探究△ABC的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知f（x）＝x3，则＝（ ）
A．0B．﹣3C．2D．3
【解答】解：由已知可得f′（x）＝3x2，则＝f′（1）＝3．
故选：D．
2．（5分）若关于x的不等式x2﹣2x﹣m＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞n}，则＝（ ）
A．70B．90C．180D．495
【解答】解：关于x的不等式x2﹣2x﹣m＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞n}，
则﹣2+n＝2，﹣2n＝﹣m，得n＝4，m＝8，
故＝70．
故选：A．
3．（5分）已知{an}是单调递增的等比数列，且a4+a5＝27，a3a6＝162，则公比q的值是（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【解答】解：由{an}是单调递增的等比数列且a4+a5＝27，a4a5＝a3a6＝162，
得a4＝9，a5＝18，
故q＝2．
故选：C．
4．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（4，σ2）（σ＞0），则“m＝3”是“P（X≥m2）+P（X＞m﹣4）＝1”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解答】解：随机变量X服从正态分布N（4，σ2）（σ＞0），则该正态分布曲线的对称轴为μ＝4，
P（X≥m2）+P（X＞m﹣4）＝1即P（X≥m2）＝P（X≤m﹣4），故m2+m﹣4＝8，解得m＝3或﹣4，
则“m＝3”是“P（X≥m2）+P（X＞m﹣4）＝1”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）已知sin（θ﹣）＝csθ，则tan2θ＝（ ）
A．B．2C．D．﹣
【解答】解：由sin（θ﹣）＝csθ，得，
∴sinθ﹣csθ＝csθ，故tanθ＝2，
则tan2θ．
故选：D．
6．（5分）已知点A（4，0），圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1，若圆C上存在点P使得PA＝3，则实数a的最小值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【解答】解：根据题意，点A（4，0），若PA＝3，则点P的轨迹是以A为圆心，3为半径的圆，
设该圆为圆A，
圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1，若圆C上存在点P使得PA＝3，则圆C与圆A有公共点，
则2≤≤4，解得0≤a≤4，即a的取值范围为[0，4]，
故a的最小值为0．
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为T，f（）＝f（），若f（x）在区间[0，2]上恰有8个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[，4π）B．[4π，）C．（4π，]D．[，）
【解答】解：因为f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为T，f（）＝f（），
所以曲线f（x）的一条对称轴为x＝，
所以f（0）＝0，
设零点依次为x1，x2，…，x8，x9，…，其中x1＝0，x8＝T，x9＝4T，
有T≤2＜4T，即≤2＜，
所以ω的取值范围是[，4π）．
故选：A．
8．（5分）已知实数x，y满足+y|y|＝1，则x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，）B．（0，2]C．[0，]D．（0，]
【解答】解：根据题意，对于方程+y|y|＝1，
当x≥0，y≥0时，原方程为+y2＝1，为椭圆+y2＝1在第一象限的部分；
当x≥0，y＜0时，原方程为﹣y2＝1，为双曲线﹣y2＝1在第四象限的部分；
当x＜0，y≥0时，原方程为y2﹣＝1，为双曲线﹣y2＝1在第二象限的部分；
当x＜0，y＜0时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象，
记x+2y＝t，变形可得y＝﹣x+t，则t的几何意义是直线y＝﹣x+t纵截距的2倍，
由图知，t＞0，
当直线与四分之一椭圆相切时，t取最大值，
（+y）2＝+y2+xy，而xy≤+y2，当且仅当y＝2x时等号成立，
则有（+y）2＝+y2+xy≤2（+y2）＝2，变形可得+y≤，
则有x+2y≤2，当且仅当y＝2x时等号成立，
即t的取值范围为（0，2]．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
（多选）9．（6分）已知动点A，B分别在直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+10＝0上移动，则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵动点A，B分别在直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+10＝0上移动，
又线段AB的中点为P，
∴P在直线l：3x﹣4y+8＝0上运动，
∴O到直线l的距离d＝＝．
∴P到坐标原点O的距离大于等于．
故选：CD．
（多选）10．（6分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝4，c＝5，csC＝，则（ ）
A．△ABC的外接圆半径为
B．sinA＝
C．b＝6
D．△ABC为锐角三角形
【解答】解：因为csC＝，
所以sinC＝，2R＝＝＝，即R＝，A错误；
由正弦定理得，sinA＝＝，B正确；
由余弦定理得，25＝16+b2﹣8b•，解得b＝6（负值舍去），C正确；
因为a2+c2﹣b2＝16+25﹣36＞0，
所以B为锐角，且C为锐角，
又a＜c，
所以A＜C，即A也为锐角，△ABC为锐角三角形，D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（6分）围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P（A）和P（B），则（ ）
A．p1＞
B．当p1+p2＝1时，p2P（A）＝p1P（B）
C．当P（A）＝P（B）时，+p1p2+＞
D．存在p1，对任意的p2，都有P（A）＞P（B）
【解答】解：对于A，甲只赢乙一盘的概率为p1（1﹣p1）2，只赢乙两盘的概率为（1﹣p1），
则p1（1﹣p1）2＜（1﹣p1），
解得p1＞，∴，故A正确；
对于B，∵p1+p2＝1，∴p1＝1﹣p2，P（A）＝（1﹣p1）＝，P（B）＝，
∴当p1+p2＝1时，p2P（A）＝p1P（B），故B正确；
对于C，P（A）＝（1﹣p1），P（B）＝，
∵P（A）＝P（B），∴（1﹣p1）＝，
∴＝，即（p1+p2）（p1﹣p2）＝（p1﹣p2）（+p1p2+），
由题意及A知0＜p2＜＜p1＜1，
∴+p1p2+＝p1+p2＜，故C错误；
对于D，结合C，存在p1，对任意的p2，都有P（A）＞P（B），即（p1+p2）﹣（+p1p2+）＞0，
即+（p1﹣1）p2+﹣p1＜0，
设h（p2）＝+（p1﹣1）p2+﹣p1，
有h（0）＝﹣p1＝p1（p1﹣1）＜0，h（）＝﹣p1﹣，取p1＝，则h（）＜0，
于是h（p2）＜0（p2∈（0，）），
∴存在p1，对任意的p2，都有P（A）＞P（B），故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）（1﹣）2（x﹣1）4的展开式中x3的系数是 ﹣8 ．（用数字作答）
【解答】解：∵（x﹣1）4＝x4﹣x3+x2﹣x+1，
（1﹣）2＝1﹣+，
∴（1﹣）2（x﹣1）4的展开式中x3的系数是﹣﹣4＝﹣8．
故答案为：﹣8．
13．（5分）已知等边△ABC的边长为1，若平面内一点M满足＝+，则与夹角的余弦值为 ．
【解答】解：＝，
＝，
则．
故答案为：．
14．（5分）一个顶点为P，底面中心为O的圆锥的体积为π，若正四棱锥O﹣ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，点A，B，C，D都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值是 ．
【解答】解：如图，设OP交平面ABCD于Q，QA＝QC＝r，OW＝R，PQ＝h，
由△PAQ∽△PWO，得＝，故OP＝，
由πR2•OP＝πR2•＝π，得h＝．
又正方形ABCD的面积为2r2，
正四棱锥O﹣ABCD的体积为：
V＝•2r2•OQ＝r2（﹣h）＝r2（﹣）＝﹣，
令t＝∈（0，1），则V＝2t2（1﹣t），
V'＝4t﹣6t2＝2t（2﹣3t），
∴当t∈（0，）时，V'＞0，V单调递增；
当t∈（，1）时，V'＜0，V单调递减，
∴当t＝时V取最大值，Vmax＝．
故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，•＝0．
（1）求C的离心率；
（2）若射线AF1交椭圆C于点B，且AB＝，求a的值．
【解答】解：（1）令，依题意可得上顶点A（0，b），左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以，，
又，
所以，即b2＝c2，即a2﹣c2＝c2，
所以a2＝2c2，
所以离心率；
（2）由（1）可得b＝c，，则椭圆方程为，
直线AF1的方程为，
联立，整理可得3x2+4cx＝0，
解得x＝0或，
则，即，
所以，所以，
解得，所以a＝1．
16．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝，AB⊥AC，D为A1C1的中点．
（1）证明：AB1⊥平面A1BD；
（2）若二面角A﹣BC﹣D的余弦值为，求线段AC的长度．
【解答】（1）证明：由题意知AA1⊥平面ABC，又AB，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，
因为四边形AA1B1B是平行四边形，且AB＝AA1，
所以四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，
因为AA1⊥AC，AB⊥AC，AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面AA1B1B，
所以AC⊥平面AA1B1B．
又AB1⊂平面AA1B1B，所以AC⊥AB1，
因为A1D∥AC，所以AB1⊥A1D，
又因为A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D⊂平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD．
（2）解：以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设AC＝a（a＞0），则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，a，0），D（0，a，），
所以＝（0，a，0），＝（﹣，a，0），＝（0，﹣a，），
所以平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面BCD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，取z＝a，则y＝，x＝a，所以＝（a，，a），
设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，
则|csθ|＝|cs＜，＞|＝＝＝，解得a＝6，
所以线段AC的长为6．
17．（15分）设函数f（x）＝2x3﹣ax2+b，a，b∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a＞0，b∈R，使得f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣2且最大值为2？若存在，求实数a，b的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对f（x）＝2x3﹣ax2+b求导得f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣），
令f′（x）＝0，解得x＝0或．
对a分类讨论：
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＜或x＞0；令f′（x）＜0，解得＜x＜0．
∴f（x）在区间（﹣∞，）上单调递增，区间（，0）上单调递减，区间（0，+∞）上单调递增；
当a＝0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增；
同理可得：当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．
（2）若f（x）在区间[0，1]有最大值2和最小值﹣2，
由a＞0知，f（x）在区间[0，]上单调递减，[，+∞）上单调递增．
若a≥3，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，f（x）max＝f（0），f（x）min＝f（1），
∴
解得
若a＜3，则f（x）在区间[0，]上单调递减，[，1]上单调递增．
∴f（x）的最小值为f（）＝b﹣，f（x）的最大值为f（0）和f（1）中较大的值．
当f（1）＜f（0），即2﹣a+b＜b，即2＜a＜3时
即解得a＝3，b＝2，舍去；
当f（1）≥f（0），即2﹣a+b≥b，即0＜a≤2时，
即即＝a+6，无解．
综上可得a＝6，b＝2．
18．（17分）已知数列{an}，{bn}，其中数列{an}是等差数列，且满足bn﹣an＝（﹣1）nn2，a1+b1＝1，
a2+b2＝8，n∈N*．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）设数列{bn}的前n项和为Tn，记集合A＝{n|n≤100且Tn≤100}，求集合A中所有元素的和S．
【解答】解：（1）因为bn＝an+（﹣1）nn2，所以b1﹣a1＝﹣1，b2﹣a2＝4，
因为a1+b1＝1，a2+b2＝8，所以a1＝1，b1＝0，
a2＝2，b2＝6，
又数列{an}是等差数列，所以{an}的公差d＝a2﹣a1＝1，
故数列{an}的通项公式an＝1+（n﹣1）＝n，
所以bn＝an+（﹣1）nn2＝n+（﹣1）nn2，
即{bn}的通项公式bn＝n+（﹣1）nn2．
（2）由（1）知cn＝＝﹣，
则Sn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
（3）由（1）知bn＝n+（﹣1）nn2，
当n为偶数时，bn﹣1+bn＝n﹣1﹣（n﹣1）2+n+n2＝2n﹣1+2n﹣1＝4n﹣2，
故Tn＝b1+b2+b3+b4+…+bn﹣1+bn＝4（2+4+…+n）﹣2×＝4××n（2+n）﹣n＝n2+n＝n（n+1），
此时，由n（n+1）≤100，解得n≤9，即2，4，6，8∈A．
当n为奇数时，Tn＝Tn+1﹣bn+1＝（n+1）（n+2）﹣[（n+1+（n+1）2]＝0，
此时1，3，5，…，99∈A．
综上，S＝（1+3+…+99）+（2+4+6+8）＝+20＝2520．
19．（17分）已知函数f（x）＝csx，且α，β∈（0，）．
（1）求f（α）+f（﹣α）的最大值；
（2）判断f（α）+sin（α+β）与f（β）的大小关系，并说明理由；
（3）判断f（α），f（β），sin（α+β）能否作为△ABC三边长？若能，给出证明，并探究△ABC的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）因为f（x）＝csx，且α，β∈（0，）．
所以f（α）+f（﹣α）＝csα+cs（﹣α）＝sinα+csα＝（csα+sinα）＝sin（α+），
因为0＜α＜，所以＜α+＜，故当α＝时，f（α）+f（﹣α）取得最大值．
（2）f（α）+sin（α+β）＞f（β），证明如下：
由题意可知，f（α）+sin（α+β）＞0，f（β）＝csβ＞0，α，β∈（0，），
又由（1）可知sin（α+）＞1，又因为1+csβ＞sinβ＞0，所以＞1，
则＝＝csα+＞sinα+csα＝sin（α+），
又＜α+＜，sin（α+）＞1，所以f（α）+sin（α+β）＞f（β）．
（3）f（α），f（β），f（α+β）能作为△ABC三边长，证明如下：
由（2）知，f（α）+sin（α+β）＞f（β），同理f（β）+sin（α+β）＞f（α），
又f（α）+f（β）＝csα+csβ＞sinαcsβ+sinβcsα＝sin（α+β），
即任意两边之和大于第三边，f（α），f（β），f（α+β）能作为△ABC三边长．
设sin（α+β）当作边时所对的角为θ，
则csθ＝
＝＝
＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝cs（α+β），
又因为sinθ＞0，sin（α+β）＞0，所以sinθ＝sin（α+β），
由正弦定理可得，△ABC的外接圆的直径为2R＝＝＝1，即R＝为定值．