重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（原卷及解析版）

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（原卷及解析版），文件包含重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题原卷版docx、重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

命题：刘静 栾盈磊 审核：张记 打印：栾盈磊 校对：刘静
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D坐标为（ ）．
A. B. C. D.
2. 若，则复数z的虚部为（ ）．
A. B. 0C. 1D. 2
3. 在中，，则中最小的边长为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量与夹角为，若，，则（ ）．
A. 1B. C. D. 2
5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）．
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
7. 若函数部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O为坐标原点，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
8. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为复数，下列说法正确是（ ）．
A. B.
C. 若，则D. 若是实数，则为纯虚数
10. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（ ）
A. B. 面积的最大值为
C. D. 边上的高的最大值为
11. 在正四棱台中，，下列说法正确的是（ ）．
A. 若侧棱长为，则该棱台的体积为
B. 若正四棱台的各顶点均在一个半径为的球面上，则该棱台的体积为
C. 若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为
D. 若侧棱长为，Q为棱的中点，过直线且与直线平行的平面将棱台分割成体积不等的两部分，则其中较小部分的体积为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则__________．
13. 一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为__________．
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为__________；设，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，BC的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）求二面角的正弦值．
16. 已知，．
（1）若且，求在方向上的投影向量；
（2）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调区间；
（2）若，，求的值．
18. 如图1，在平面四边形ABCD中，，，，，，将沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥，且．
（1）证明：平面ABD；
（2）在三棱锥中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD中点，设平面CEF与平面ADC的交线为l．
①证明：∥；
②若Q为l上的动点，求直线CF与平面QGE所成角的正弦值的最大值．
19. 在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c．若，，P是内任一点，过点P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
（1）求A；
（2）若P为的内心且，求线段PD的长度；
（3）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．借助三维分式型柯西不等式：若，，，则，当且仅当时等号成立．求的最小值．