陕西省咸阳市永寿县豆家中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份陕西省咸阳市永寿县豆家中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将第一部分的答案填写在题后相应的答题栏内．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（）
A. 腰是底2倍B. 底是腰的2倍C. 顶角是D. 底角是或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，一元一次方程实际问题．根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分两种情况解答即可得到本题答案．
解：∵等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍
∴①设等腰三角形底角为，顶角为，
∴，解得，
则底角为，
②设等腰三角形底角，顶角为，
∴，解得：，
则顶角为，
A和B选项根据本题所给条件无法得出，
故选：D．
2. 乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过米．若用（米）表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则满足的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出不等式即可求解．
解：∵乌鞘岭主主峰海拔超过米．
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，理解题意是解题的关键．
3. 数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，下面的图形是用一些数学家的名字命名的，其中是中心对称图形的是（）
A. 斐波那契螺旋线B. 阿基米德三角形
C. 赵爽弦图D. 笛卡尔心形线
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解是把几个多项式的和化为几个整式的积的形式来求解．
解：A. ，分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 小肖同学和小洁同学周日约好去图书馆看书，小肖家和小洁家分别距离图书馆1500米和1200米，小肖同学骑车去图书馆，小洁同学步行去图书馆，两人同时出发，小肖同学的速度是小洁同学的1.5倍，小肖同学比小洁同学早到4分钟，问两位同学的速度分别为多少？设小洁同学的速度为米/分钟，则可列方程（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程．设小洁同学的速度为米/分钟，则小肖同学的速度为米/分钟，根据“小肖同学比小洁同学早到4分钟”列分式方程即可．
解：设小洁同学的速度为米/分钟，则小肖同学的速度为米/分钟，
依题意得，
故选：C．
6. 如图，中，D、E分别是、的中点，平分，交于点F，若，则的长为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键.
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据线段中点的定义解答即可.
D、E分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
平分，
，
，
，
D是的中点，
，
．
故选：B
7. 一艘轮船以的速度从甲港驶往远的乙港，后，一艘快艇以的速度也从甲港驶往乙港，轮船行驶的路程和快艇行驶的路程与时间的图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A. 4小时前，B. 5小时前，
C. 4小时后，D. 5小时后，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，从图像中获取信息是解题的关键；由图像知，当时，，当时，，当时，，由此即可作出判断．
解：由图像知，当时，；
由于轮船先于快艇出发，故当时，，即A正确；当时，，故C正确；自然5小时后，，即D正确；所以错误的是B选项；
故选：B．
8. 如图，在周长为的平行四边形中，，对角线、相交于点，交于点，则的周长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线性质以及三角形周长等知识，由四边形是平行四边形，得，，，又平行四边形的周长为，可得，再通过证明是线段的垂直平分线，从而由垂直平分线的性质求出的周长，熟练掌握知识点的应用解题的关键．
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形周长为，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故选：．
第二部分（非选择题一共96分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，计15分）
9. 不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式．移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
解：，
移项，合并得，
系数化为1，得．
故答案为：．
10. 如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由平分，，可得，则，由平分，可得，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
11. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可．
解：∵正八边形的外角和为，
∴每个外角为，
∴每个内角为，
故答案为：．
12. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值了．
解：
方程两边都乘以，得：
∵方程有增根，
∴最简公分母，即增根是．
把代入整式方程，得：
解得，．
故答案为：3．
13. 已知可分解因式为，其中、均为整数，则_____.
【答案】．
【解析】
首先提取公因式3x﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a、b的值，从而可算出a+3b的值：
∵，
∴a=－7，b=－8．∴．
三、解答题（本大题共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 解一元一次不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则可得该不等式组的解集．
解：，
解不等式①，可得，
解不等式②，可得
所以，该不等式组的解集为．
15. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解．
原式
16. 解分式方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握去分母是解分式方程的关键．
解：，
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解．
17. 已知：如图，在中，，，点在的延长线上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，由等腰三角形的性质证明，由平行线的性质证明，从而可得结论．
证明：，，
．
，
，．
．
．
18. 如图；在中，点、分别在、的延长线上，且，分别与、交于点、．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质和找到条件，证明，即可得到结论．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴．
19. 雨伞是我们常用的雨具，如图是一把非折叠式雨伞，已知伞的轴杆AB=40cm，龙骨BF=32cm，支撑杆DC=14cm，支撑点D、E在龙骨的中点，C点在轴杆上滑动，当雨伞撑开时，AC=28cm，求此时雨伞的宽度．（撑开时龙骨的弯曲忽略）
【答案】
【解析】
【分析】连接DE交BC于H，在中，根据勾股定理求得DH，DE，再根据DE是的中位线即可求得雨伞的宽度．
解：连接DE交BC于H，连接FG，如图，
根据对称可得：点D和点E关于AB对称，
∴，
∵点D是BF的中点，
∴，
设BH=x cm，在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
∴，
∴，
∵点D，点E分别是BF，BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴（cm）
所以，此时雨伞的宽度是 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，三角形的中位线，抓住DH是和的公共边，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，请你从中选取适当的数代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则进行计算，再代入一个使分式有意义的的值，进行求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
解：原式
，
∵，
∴，
∴当时，原式
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度后，得到，画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出绕点按顺时针方向旋转后，得到的，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换、平移变换
（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1】
解：如图所示，△即所求．
由图可得，点．
【小问2】
解：如图所示，即为所求．
由图可得，点．
22. 如图，在四边形，，平分交于点，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得，则，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（）先证明为等边三角形，由性质得，最后由平行四边形的性质即可求证；
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
【小问1】
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2】
由（）得：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（）得四边形是平行四边形，
∴，
∴．
23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号的“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则乙型号“文房四宝”的购买方案有几种？
【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）乙型号“文房四宝”的购买方案有5种
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键．
（1）根据“每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套型号共用元”得出方程，解方程即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
【小问1】
设每套甲型号“文府四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
∴．
∴每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
【小问2】
设需购进乙型号“文房四宝”套，则需购进甲型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又∵为正整数，
∴可以取85，86，87，88，89．
∴乙型号“文房四宝”的购买方案有5种．
24. 已知：如图，中，A是边上一点，，若．．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质可证∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，由，可得∠E =∠F，可证FC=EC即可；
（2）由（1）得∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，，可证AB=FB，AD=ED，由，可证四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形性质可得AB=CD=FB=，AD=BC=DE=即可．
（1）证明：∵
∴∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，
∵，
∴∠E =∠F，
∴FC=EC，
∴△EFC是等腰三角形；
（2）解：由（1）得∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，，
∴∠FEB=∠F，∠EAD=∠E，
∴AB=FB，AD=ED，
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=FB=，AD=BC=DE=，
∴EC+FC=ED+DC+FB+BC=2AB+2AD=．
【点睛】本题考查平行线性质，等式性质，等腰三角形判定，平行四边形判定与性质，掌握平行线性质，等式性质，等腰三角形判定，平行四边形判定与性质是解题关键．
25. 北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生级地震．“一方有难，八方支援”，我市某中学响应号召，积极捐款，共募集资金16500元．其中9000元用来购买矿泉水，余下的钱购买了大米．已知购得的矿泉水数量是大米数量的2倍，且一袋大米比一箱矿泉水贵20元．
（1）求矿泉水和大米的数量各是多少？
（2）现计划租用甲、乙两种型号货车共5辆，一次性将这批矿泉水和大米全部运往灾区．已知每辆甲型货车最多可装矿泉水80箱和大米30袋，每辆乙型货车最多可装矿泉水50箱和大米40袋．问：安排甲、乙两种货车时共有哪几种方案？（备注：两种车型都要有）请你帮助设计出来．
【答案】（1）购得大米150袋，矿泉水300箱
（2）方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设购得大米袋，则购得矿泉水箱，根据一袋大米比一箱矿泉水贵20元列出方程求解即可；
（2）设甲型号货车辆，则乙型号货车辆，根据两辆车装的大米数要大于等于150，矿泉水数要大于等于300列出不等式组求解即可．
【小问1】
解：设购得大米袋，则购得矿泉水箱，
根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴（箱）
答：购得大米150袋，矿泉水300箱．
【小问2】
解：设甲型号货车辆，则乙型号货车辆．
根据题意得：，
解得：，
∵为整数，且两种车型都要有，
∴或3或4，
∴方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆
26. 如图1，在中，，连接，，点E，F分别在边上，分别交于点G，H．将，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上．
（1）【尝试初探】求证：；
（2）【深入探究】如图2，若点，恰好分别与点H，G重合，求n的值；
（3）【拓展延伸】若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质及平行四边形的性质利用全等三角形的判定证明即可；
（2）设，则，再由勾股定理得出，利用折叠的性质及勾股定理得出，根据等腰三角形的性质求解即可；
（3）由（2）得，，，设，则，，再由等腰三角形的判定和性质得出，结合图形，利用各线段间的数量关系求解即可．
【小问1】
证明：∵，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上，
∴，
∴，
∵，
∴，AB=CD，
∴，
∴；
【小问2】
由（1）得，
∴，
∵，设，
∴，
∴，
∵，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上，点，恰好分别与点H，G重合，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3】
由（2）得，，，
∴设，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
同理为等腰直角三角形，，
∴
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，折叠的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形的性质，理解题意，结合图形，找准线段间的数量关系是解题关键．