福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷(含答案)

这是一份福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．对于x,y两个变量,有四组样本数据,分别算出它们的线性相关系数r（如下）：,,,,则线性相关性最强的是( )
A.C.
2．在空间直角坐标系中,点关于x轴的对称点坐标是( )
A.B.C.D.
3．已知,则( )
A.-1B.0C.1D.2
4．3个男生2个女生站成一排,其中女生相邻的排法个数是( )
A.24B.48C.96D.120
5．已知函数,那么的值是( )
A.B.C.2D.4
6．已知随机变量X,Y满足：,,,则( )
A.B.C.D.
7．给出下列四个命题,其中真命题是( )
A.若向量与向量,共面,则存在实数x,y,使
B.若存在实数x,y,使,则点P,M,A,B共面
C.直线a的方向向量为,平面的法向量为,则
D.若平面经过三点,,,向量是平面的法向量,则
8．若函数有两个极值点,,且,则下列结论中不正确的是( )
A.B.
C.a的范围是D.
二、多项选择题
9．,分别为随机事件A,B的对立事件,下列命题正确的是( )
A.
B.若,,则
C.若,则A与B独立
D.
10．已知函数,下列选项正确的是( )
A.若在区间上单调递减,则a的取值范围为
B.若在区间上有极小值,则a的取值范围为
C.当时,若经过点可以作出曲线的三条切线,则实数m的取值范围为
D.若曲线的对称中心为,则
11．在棱长为1的正方体中,点F在底面ABCD内运动（含边界）,点E是棱的中点,则( )
A.若F在棱AD上时,存在点F使
B.若F是棱AD的中点,则平面
C.若平面,则F是AC上靠近C的四等分点
D.若F在棱AB上运动,则点F到直线的距离最小值为
三、填空题
12．平面过点,其法向量为,则点到平面的距离为__________.
13．从集合的子集中选出2个不同的子集A,B,且,则一共有_______________种选法.
14．现有甲、乙两个盒子,甲盒有2个红球和1个白球,乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒,再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”,事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”,则________________,_____________.
四、解答题
15．为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性,随机调查了某中学的100名学生,整理得到如下,左表数据：
(1)求a,b的值,并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？
(2)经调查,学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系,统计数据见下表,求y关于x的线性回归方程.
附：（1）
（2）,
16．已知（,）的展开式中,第2,3,4项的二项式系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)求的近似值（精确到0.01）;
(3)求的二项展开式中系数最大的项.
17．如图,所有棱长均为2的正四棱锥,点M,N分别是,上靠近P,B的三等分点.
(1)求证：;
(2)求二面角的余弦值.
18．某校举行投篮趣味比赛,甲、乙两位选手进入决赛,每位选手各投篮4次,选手在连续投篮时,第一次投进得1分,并规定：若某次投进,则下一次投进的得分比本次得分多1分;若某次未投进,则该次得0分,且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为,乙同学每次投进的概率为,且甲、乙每次投篮相互独立.
(1)求甲最后得3分的概率;
(2)记甲最后得分为X,求X的概率分布和数学期望;
(3)记事件B为“甲、乙总分之和为7”,求.
19．定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称,则称函数和具有“伙伴”关系.
(1)判断函数与是否具有“伙伴”关系;
(2)已知函数,,,.
①若两函数具有“伙伴”关系,求a的取值范围;
②若两函数不具有“伙伴”关系,求证：,其中n为正整数.
参考答案
1．答案：A
解析：线性相关系数的绝对值越接近1,线性相关性越强,则线性相关性最强的是.
故选：A.
2．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,点关于x轴的对称点坐标为.
故选：C.
3．答案：B
解析：令,则,即.
故选：B.
4．答案：B
解析：根据捆绑法,“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排,有种,
女生再排有种,则女生相邻的排法个数是：.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为,则,
所以.
故选：D.
6．答案：D
解析：若,,则,解得,
故,则,故A错误,
而,故,
可得,故B错误,
而,故C错误,
由题意得,故D正确.
故选：D.
7．答案：B
解析：对于A,如果为非零向量,且与不共线,而与共线,
则不成立,故A错误;
对于B,运用四点共面定理推论可知B正确;
对于C,,则,则,故C错误;
对于D,向量是平面的法向量,则,,
即,,又,,
得且,解得,,则,故D错误.
故选：B.
8．答案：B
解析：对于AC,,有两个极值点,且,
所以,有两个零点,,且在,各自两边异号,
所以与有两个交点,,
记,则,
易知：时,时,
所以在上递增,在上递减,
所以有最大值,且时,时,
又当x趋向于正无穷时,趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率,所以趋向于0,且,
由上可得的图象如下,
所以当且仅当时与有两个交点,且,故A,C正确;
对于B,又,
所以,即,故B错误.
对于D,令,则,所以,则,,
所以要证,只需证,
只需证,
令,则,
所以在上单调递减,即时,不等式得证,故D正确.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：A选项,由对立事件性质可知,A正确;
B选项,若,,则,B错误;
C选项,若,则,
故,A与B独立,C正确;
D选项,,D正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：令
若在区间上单调递减,
则在区间上小于或者等于零恒成立,
即恒成立,
即,又在区间单调递增,
则
所以a的取值范围为,故选项A错误.
若在区间上有极小值,
则在区间上有零点,且在零点左端小于零,在零点右端大于零,
则,,
解得a的取值范围为.故选项B正确.
当时,,设经过点作出曲线的三条切线切点为,则切线斜率为
切线为又切线经过点,
则有三解,即有三解,
令,,
则当,时函数取极值,,,
则实数m的取值范围为,故选项C正确.
若曲线的对称中心为,则即
解得.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：A.如图建立空间直角坐标系,,,,
,,
,
整理为,解得：或,都舍去,
所以不存在点F使,故A错误;
B.
如图,取的中点M,连结,,因为点M,F是,的中点,
所以,平面,平面,
所以平面,
同理,且,所以,平面,平面,
所以平面,
且,,平面,
所以平面平面,平面,
所以平面
C. 若F是AC上靠近C的四等分点,则,,,,
所以,,,
,,
所以,,且,平面,
所以平面,且过点E只有1条直线和平面垂直,
则点F是唯一的,点F是上靠近C的四等分点,故C正确;
D.若点F在棱上运动,设,,
,,
则点F到的距离,
当时,d的最小值为,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：根据点到面的距离公式,且,,
可得点到平面的距离.
故答案为：.
13．答案：65
解析：从集合的子集中选出2个不同的子集A,B,且,
当A为空集时,B可以包含1,2,3,4个元素,
所以共有种选法;
当A只含有1个元素时,B可以包含2,3,4个元素,
所以共有种选法;
当A只含有2个元素时,B可以包含3,4个元素,
所以共有种选法;
当A只含有3个元素时,B包含4个元素,所以共有种选法.
故共有种选法.
故答案为：65.
14．答案：;
解析：第一空：,,
第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球,
乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.
则
故答案为：;.
15．答案：(1),,有
(2)
解析：(1)依题意,得,,解得,,
假设：认为学生的性别与是否喜欢运动无关联,
,
所以根据的独立性检验,认为不成立,
即有的把握认为学生的性别与喜欢运动有关联;
(2)由题意得,,,,
,,
所以回归方程为.
16．答案：(1)7
(2)128.45
(3)
解析：(1)展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列,
,整理得,解得,,
又,
(2)
(3),,
依题意得,,即,
解之,,
又,
故展开式中系数最大得项为
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接交于O,建立如图所示的空间直角坐标系
则,,,,,,,
,,
,
.
(2),,
设平面的法向量为,
则,
取.
取平面的法向量为,
所以,,,
设二面角的平面角为,
.
由图可知二面角的余弦值为
18．答案：(1)
(2)分布列见解析,
(3)
解析：(1)记事件A为“甲得3分”,分析3分是,不可能是,
所以在这四次投篮中,连续两次投中,另两次没中,记甲得3分,
所以
(2)X的取值为0,1,2,3,4,6,10,
(3)记Y为乙最后得分,则事件B为“甲1分,乙6分”,“甲3分,乙4分”,
“甲4分,乙3分”,“甲6分,乙1分”
故
19．答案：(1)函数与具有“伙伴”关系
(2)①②证明见解析
解析：(1)函数与具有“伙伴”关系,理由如下：
根据定义,若与具有“伙伴”关系,则在与的定义域的交集上存在x,
使得.
所以,即,解得,所以与具有“伙伴”关系.
(2)函数,,,,
令,,,
①两函数具有“伙伴”关系,则函数在上有零点.
当时,,所以在上递减,所以,此时函数无零点,不符合题意.
当时,令,则,,则,故在上递增,在上递减,
且时,,
当时,函数的导函数,所以该函数在上递减,
所以,所以,从而,即
此时,
取
所以
从而,又函数图象在上连续不间断,由零点存在定理可得,函数在上存在唯一零点,即存在,使得
综上可得,若两函数具有“伙伴”关系,a的取值范围为
②由①可得若两函数不具有“伙伴”关系,a的取值范围为,
且当时,恒有成立,即在恒成立
所以当时,可得
同理,,……,
两边分别累加得：
即
即.
男学生
女学生
合计
喜欢运动
a
b
60
不喜欢运动
b
b
合计
60
100
x
2
3
4
5
6
y
2.5
3
3.5
5
6
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
4
6
10
P