四川省南充市2023-2024学年高二下学期7月期末学业质量监测数学试卷(含答案)

这是一份四川省南充市2023-2024学年高二下学期7月期末学业质量监测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是( )
A.5B.6C.8D.9
2．在等差数列中，，，则( )
A.4B.5C.6D.7
3．已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是( )
A.B.C.D.
5．二项式的展开式中常数项为( )
A.6B.12C.15D.30
6．袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为( )
A.B.C.D.
7．为了研究某校学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为.已知，，，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为( )
A.162B.164C.168D.170
8．定义在的函数满足，且当时，.设在上的最大值为，其数列的前n项积为，则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为X，则下列结论中正确的是( )
A.X服从超几何分布B.X服从二项分布
C.D.若，则
10．已知，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函数，则下列结论中正确的是( )
A.当时，恒成立
B.若，使得成立，则实数a的取值范围为
C.若，则必有两个不同的零点
D.若有两个不同的零点，，则
三、填空题
12．已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则________.
13．已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”.设，则在区间上的“新不动点”为________.
14．某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有种________.
四、解答题
15．已知数列是等差数列，且，，是数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，求证：.
16．已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值.
17．已知是数列的前n项和，且满足.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
18．为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：
（1）依据的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？
（2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.
①用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差；
②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率.
附：.其中.
独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：
19．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降.但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性.函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设在区间D上连续，如果对D上任意两点，恒有，则称在区间D上的图形是凹的如图1所示，区间D为凹的区间；
设在区间D上连续，如果对D上任意两点，恒有，
则称在区间D上的图形是凸的，如图2所示，.区间D为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间D上连续，在区间D上具有一阶和二阶导数，那么
①如果在D上恒有，则在区间D上的图象是凹的；如果在区间D上的图象是凹的，则在D上恒有；
②如果在D上恒有，则在区间D上的图象是凸的；如果在区间D上的图象是凸的，则在D上恒有
其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数.
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数的凹的区间和凸的区间；
（2）若在区间上图象是凹的，求实数a的取值范围；
（3）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意从A村经B村再去C村，不同路线的条数是条.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为是等差数列，
所以，所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：因为随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于对称，
.
故选：A.
4．答案：C
解析：由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第3个图中的点比第1个图中的点分布更为集中，
所以，
第2，4图表示的负相关，且第4个图中的点比第2个图中的点分布更为集中，
所以，，，所以，
综上所述，.
故选：C.
5．答案：C
解析：二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为，
故选:C.
6．答案：D
解析：记第一次摸到白球为事件A，第二次摸到黑球为事件B，
则，，
故.
故选：D.
7．答案：A
解析：，，所以，解得.
所以回归方程为，当时，.
故选：A.
8．答案：B
解析：由题意，定义在的函数满足，即，
因为当时，，
所以当，函数，
则当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为，
所以，可得，
当时，可得，所以
当时，，可得；当时，，可得，
当时，，可得；
当，时，由指数函数的性质，可得，所以，
即，
所以的最大值为.
故选：B.
9．答案：BD
解析：对于AB，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为，
所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量X服从二项分布，所以A错误，B正确，
对于C，因为，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，
所以，所以D正确，
故选：BD
10．答案：ABD
解析：因为，
所以，，，，，.
又，，
，
所以ABD正确，C错误；
故选：ABD
11．答案：ACD
解析：对于A，当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以A正确，
对于B，，使得成立，则，使成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，所以，所以B错误，
对于C，由，得，
令，由选项B可知在上递增，在上递减，，
当时，，当时，，
所以的大致图象如图所示，
由图可知当时，与的图象有两个不同的交点，
则有两个不相等的零点，所以C正确，
对于D，不妨设，因为有两个不同的零点，，
所以，即，
所以，
要证，只要证，即证，
所以只要证，即，
令，则，
所以只要证，
令，则，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，
所以，所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
12．答案：
解析：因为a，b，c三个数成等比数列，所以，
即.
故答案为：.
13．答案：/
解析：由，得，
由，得，
，得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
所以在区间上的“新不动点”为.
故答案为：
14．答案：150
解析：当甲乙两位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为，
当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为，
当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为，
则不同的分配方案种数共有.
故答案为：150.
15．答案：（1）；
（2）答案见解析
解析：（1）由于，，则，
则，因此，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
则，即.
，
由于，则，故成立.
16．答案：（1）；
（2）最大值是，最小值是.
解析：（1），故切点是，
由得，
故切线方程是：，即
（2），
令，解得：或2，
x，，的变化如下：
而，，，，
故函数的最大值是，最小值是.
17．答案：（1）证明见详解；
（2）
解析：（1），
当时，，解得，
当时，，，
两式相减得，，
所以，
故是首项为，公比为3的等比数列.
（2）由（1）可知，，
所以，
，
则，
两式相减得，
，
所以.
18．答案：（1）有关，理由见解析；
（2）①分布列见解析，，；②
解析：（1）零假设为：该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关.
根据列联表中数据，经计数得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）①由等比例的分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人.
X的可能取值为0，1，2.
，，，
则X的分布列为
数学期望.
方差；
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()，
“这2名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”
则，，
，，
据全概率公式得：.
所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为.
19．答案：（1）函数的凹的区间是和，凸的区间是；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1），，，，
令，解得或；令，解得.
因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
（2），，
在区间上图象是凹的，，，即.
所以，，即.
令，，
即函数在上单调递减.
所以，
因此，实数a的取值范围是.
（3），
构造函数，，，
令，解得，
易知函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因此，，，当且仅当时取等号.
构造函数，，，
令，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，，当且仅当时取等号.
综上，
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理错题
40
20
60
不经常整理错题
20
20
40
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
2
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
X
0
1
2
P