榆次区第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份榆次区第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,集合,则集合( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知a为非零实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．设某中学的女生体重y（单位：）与身高x（单位：）具有线性相关关系,根据一组样本数据（）,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该中学某女生身高为,则可断定其体重必为
D.若该中学某女生身高增加,则其体重约增加
5．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．五一国际劳动节,学校团委举办“我劳动,我快乐”的演讲比赛.某班有甲、乙、丙等6名同学参加,抽签确定出场顺序,在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下,学生甲、乙相邻出场的概率为( )
A.B.C.D.
7．函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
8．设函数定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,,则下列结论错误的是( )
A.B.为奇函数
C.在上是减函数D.方程仅有6个实数解
二、多项选择题
9．已知实数,则( )
A.B.
C.D.
10．下列说法中正确的有( )
A.函数 的递增区间是
B. 使得,若命题p为真命题,则
C.若对任意实数a,b都有成立,则是奇函数
D.已知,则的解析式为
11．某校为了了解学生的身体素质,对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计,结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示,则( )
A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占70%
B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多
C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D.相比于2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数,2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
三、填空题
12．函数,则_________________.
13．二项式的展开式中常数项为______________.（用数字作答）
14．定义在R上的函数满足,且当时,,,对,,使得,则实数a的取值范围为_____________.
四、解答题
15．已知集合,集合.
(1)当时,求,;
(2)设,若“”是“”的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
16．化简求值：
(1);
(2).
17．某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元.该工厂打算购进一批智能机器人（每购进一台机器人，将有一名职工下岗）.据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工（机器人视为机器，不作为职工看待）在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴.若购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润万元（x为机器人台数，且）.
（1）写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数x的函数关系.
（2）为获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？（参考数据：）
18．函数是定义在上的奇函数,且.
(1)确定的解析式;
(2)判断在上的单调性,并证明你的结论;
(3)解关于t的不等式.
19．《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批,由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件,是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体,是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先,坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果,发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布,并把质量差在内的产品为优等品,质量差在内的产品为一等品,其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件,测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据频率分布直方图,求样本平均数
(2)根据大量的产品检测数据,检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值,求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布,则：,,].
(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中,质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验,记摸出三件产品中优等品球的件数为X,求X的分布列以及期望值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,
,
又因为,所以,
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：命题“,”的否定是,,
故选：D.
3．答案：A
解析：由，即，即，
解得或，
所以由可以推出，故充分性成立，
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为回归直线方程为,所以y与x具有正线性相关关系,故A正确;
又回归直线必过样本点的中心,故B正确;
当时,
即若该中学某女生身高为,则其体重约为,故C错误;
因为回归直线方程为,所以若该中学某女生身高增加,
则其体重约增加,故D正确;
故选：C.
5．答案：B
解析：因为,又,在上单调递减,
所以,所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：设“学生甲、乙相邻出场”为事件A,“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件B,
依题意共有种情况,学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种,
所以,
甲乙同学按出场顺序一定,且相邻出场的情况共有种,
所以,
则,
故选：B.
7．答案：A
解析：变形为,定义域为,
,故为偶函数,关于y轴对称.
当时,,时,,排除BC,
又时,,故排除D,A正确.
故选：A.
8．答案：C
解析：因为为奇函数,所以,则关于对称,即,
又为偶函数,所以,则关于对称,即,
所以,则,故,
所以,即,故,
所以的周期为8,
又当时,,
所以,故A正确;
由周期性知：,
所以,从而为奇函数,故B正确;
由题意,在与上单调性相同,而上递增,
关于对称知：上递增,故上递增,
所以在上是增函数,故C错误;
的根等价于与交点横坐标,
根据、对数函数性质得：,,
所以如图示函数图象：函数共有6个交点,故方程仅有6个实数解,故D正确.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：A：,则,正确;
B：,则,正确;
C：当时,,错误;
D：由（注意等号取不到）,则,正确.
故选：ABD
10．答案：BC
解析：对于A,因为函数在内的函数值反而比在的函数值小,所以函数的两个递增区间之间用和连接,不能用并集符号,所以A错误;
对于B,若命题p为真命题,则a小于等于函数在上的最大值,所以,所以B正确;
对于C,令,则,所以,令,则,所以,所以是奇函数,所以C正确;
对于D,由题意可知函数的定义域为,没注明定义域,所以D错误,
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为,A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了10%,假设2022届初三学生人数为,则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为0.2a,2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为,B正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内,2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内,C错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占,2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占,D正确.
12．答案：2
解析：因为,所以.
故答案为：2.
13．答案：
解析：由题意,二项式的展开式的通项为：
,（且）,
令,得,
可得,即展开式的常数项是180.
故答案为：180.
14．答案：
解析：当时,,
由于为对称轴为开口向下的二次函数,
,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递增,
可得在上单调递减,在上单调递增,,,,
在上的值域为,在上的值域为,
在上的值域为,
,,
故当,,
在上的值域为,
当时,为增函数,在上的值域为,
,解得,故a的范围是;
当时,为单调递减函数,在上的值域为,
,解得故a的范围是,
综上可知故a的范围是.
15．答案：(1),;
(2).
解析：(1)当时,,,
所以,.
(2)因为,则,由(1)知,,
因为“”是“”的必要不充分条件,于是得,则有,解得,
所以实数a的取值范围是.
16．答案：(1)10
(2)
解析：(1)
.
(2)
.
17．答案：（1）
（2）工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时工厂的最大年利润为8205万元
解析：（1）当购进智能机器人台数时，
工厂的年利润，
所以
（2）由（1）知，当时，，
当时，；
当时，为增函数，
所以.
综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时工厂的最大年利润为8205万元.
18．答案：(1)
(2)增函数,证明见解析
(3)
解析：(1)是定义在上的奇函数,
,
,
又由,
.
,
奇函数,
故,符合题意,为所求解.
(2)在区间上为增函数.
证明：设.
而,
由,
得,,
,
即,
.
故函数在上为增函数.
(3)由函数为奇函数且在上为增函数知：
,
,
解得：.
故不等式的解集为.
19．答案：(1)70
(2)0.8186
(3)分布列见解析,1
解析：(1)由频率分布直方图可知,
.
(2)由题意可知,样本方差,故,所以,
该厂生产的产品为正品的概率：
.
(3)X所有可能值为0,1,2,3.
,
,
,
.
所以X的分布列为
数学期望.
X
0
1
2
3
P