2025年高考数学一轮复习课时作业-导数与函数的极值、最值【含解析】

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这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-导数与函数的极值、最值【含解析】，共10页。

1.(5分)已知函数f(x)=x3-3x2-9x(-2A.f(x)的极大值为5,无极小值
B.f(x)的极小值为-27,无极大值
C.f(x)的极大值为5,极小值为-27
D.f(x)的极大值为5,极小值为-11
2.(5分)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )
3.(5分)已知函数f(x)=x2-8x+6ln x+1,则f(x)的极大值为( )
A.10B.-6C.-7D.0
4.(5分)函数f(x)=exx2-3在[2,+∞)上的最小值为( )
A.e36B.e2C.e34D.2e
5.(5分)(多选题)(2023·怀化模拟)下列函数中,存在极值点的是( )
A.y=x-1xB.y=2|x|
C.y=-2x3-xD.y=xln x
6.(5分)已知函数f(x)=(x+1)2+cs (x+1)+a的最小值是4,则a=( )
A.3B.4C.5D.6
7.(5分)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为百万件.
8.(5分)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则a= .
9.(5分)(2023·苏州模拟)函数f(x)=-13x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是 .
10.(10分)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
11.(10分)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
【解析】f'(x)=(x+1-a)ex.
(1)当a=2时,f'(x)=(x-1)ex.
所以f(0)=-2,f'(0)=-1,
所以所求切线方程为y+2=-x,即x+y+2=0.
(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.
【能力提升练】
12.(5分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x12+x22等于( )
A.23B.43C.83D.163
13.(5分)(多选题)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)=x2+x-1ex,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=5e2,则t的最小值为2
14.(10分)(2023·沧州模拟)已知函数f(x)=excs x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
2025年高考数学一轮复习课时作业-导数与函数的极值、最值【解析版】(时间:45分钟分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)已知函数f(x)=x3-3x2-9x(-2A.f(x)的极大值为5,无极小值
B.f(x)的极小值为-27,无极大值
C.f(x)的极大值为5,极小值为-27
D.f(x)的极大值为5,极小值为-11
【解析】选A.f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),由f'(x)>0,得-22.(5分)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知,f'(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,
但是在原点附近的导数值恒大于零,
故x=0不是函数f(x)的极值点.
其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,
故极大值点有2个.
3.(5分)已知函数f(x)=x2-8x+6ln x+1,则f(x)的极大值为( )
A.10B.-6C.-7D.0
【解析】选B.因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-8+6x=2(x-1)(x-3)x,令f'(x)=0,解得x=1或x=3,
故列表如下:
所以f(x)的极大值为f(1)=-6.
4.(5分)函数f(x)=exx2-3在[2,+∞)上的最小值为( )
A.e36B.e2C.e34D.2e
【解析】选A.依题意f'(x)=ex(x2-3)2(x2-2x-3)=ex(x2-3)2(x-3)(x+1),
故函数在(2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故函数在x=3处取得极小值也是最小值,且最小值为f(3)=e332-3=e36.
5.(5分)(多选题)(2023·怀化模拟)下列函数中,存在极值点的是( )
A.y=x-1xB.y=2|x|
C.y=-2x3-xD.y=xln x
【解析】选BD.由题意,对于A,函数y=x-1x,
则y'=1+1x2>0,所以函数y=x-1x在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,没有极值点;对于B,函数y=2|x|=2x,x≥0,2-x,x<0,则当x<0时,函数y=2|x|单调递减,当x>0时,函数y=2|x|单调递增,所以函数y=2|x|在x=0处取得极小值;对于C,函数y=-2x3-x,则y'=-6x2-1<0,所以函数y=-2x3-x在R上单调递减,没有极值点;对于D,函数y=xln x,y'=ln x+1,则当x∈(0,1e)时,y'<0,函数单调递减,当x∈(1e,+∞)时,y'>0,函数单调递增,当x=1e时,函数取得极小值.
6.(5分)已知函数f(x)=(x+1)2+cs (x+1)+a的最小值是4,则a=( )
A.3B.4C.5D.6
【解析】选A.令x+1=t,则f(x)=g(t)=t2+cs t+a,g'(t)=2t-sin t,(2t-sin t)'=2-cs t>0,g'(t)在R上单调递增,而g'(0)=0,故t∈(-∞,0)时,g'(t)<0,g(t)单调递减,t∈(0,+∞)时,g'(t)>0,g(t)单调递增,故g(t)min=g(0)=1+a=4,解得a=3.
7.(5分)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为百万件.
【解析】y'=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),
当00;当x>3时,y'<0.
故当x=3时,该商品的年利润最大.
答案:3
8.(5分)设函数f(x)=exx+a,若f(x)的极小值为e,则a= .
【解析】由已知得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)2(x≠-a),令f'(x)=0,有x=1-a,
则f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(1-a)=e1-a=e,
即1-a=12,得a=12.
答案:12
9.(5分)(2023·苏州模拟)函数f(x)=-13x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是 .
【解析】由于f'(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,故若函数f(x)在(a,10-a2)上存在最大值,
则a<1,10-a2>1,f(1)≥f(a),即-2≤a<1.
答案:[-2,1)
10.(10分)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a,b的值;
【解析】(1)由题设知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(-1)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
【解析】(2)由(1)知f(x)=x3-3x,
则g'(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),
所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2.
即函数g(x)的极值点只可能是1或-2,
当x<-2时,g'(x)<0,当-20,
当x>1时,g'(x)>0,
所以-2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.
综上所述,g(x)的极值点为-2.
11.(10分)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
【解析】f'(x)=(x+1-a)ex.
(1)当a=2时,f'(x)=(x-1)ex.
所以f(0)=-2,f'(0)=-1,
所以所求切线方程为y+2=-x,即x+y+2=0.
(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.
【解析】f'(x)=(x+1-a)ex.
(2)令f'(x)=0,得x=a-1.
①若a-1≤1,则a≤2.
当x∈[1,2]时,f'(x)≥0,则f(x)在[1,2]上单调递增.
所以f(x)min=f(1)=(1-a)e;
②若a-1≥2,则a≥3.
x∈[1,2]时,f'(x)≤0,则f(x)在[1,2]上单调递减.
所以f(x)min=f(2)=(2-a)e2;
③若1f'(x),f(x)随x的变化情况如表:
所以f(x)的单调递减区间为[1,a-1),单调递增区间为(a-1,2],
所以f(x)min=f(a-1)=-ea-1.
综上可知,当a≤2时,f(x)min=(1-a)e;
当a≥3时,f(x)min=(2-a)e2;
当2【能力提升练】
12.(5分)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x12+x22等于( )
A.23B.43C.83D.163
【解析】选C.由题图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点,
所以1+b+c=0,8+4b+2c=0,
解得b=-3,c=2,
所以f(x)=x3-3x2+2x,
所以f'(x)=3x2-6x+2,
x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,
所以x1+x2=2,x1·x2=23,
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×23=83.
13.(5分)(多选题)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)=x2+x-1ex,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=5e2,则t的最小值为2
【解析】选ABC.由f(x)=0,得x2+x-1=0,
所以x=-1±52,故A正确;
f'(x)=-x2-x-2ex=-(x+1)(x-2)ex,
当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f'(x)<0,
当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,
所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,故B正确;
又f(-1)=-e,f(2)=5e2,且当x→-∞时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→0,
所以f(x)的图象大致如图所示,
由图知C正确,D不正确.
14.(10分)(2023·沧州模拟)已知函数f(x)=excs x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
【解析】(1)因为f(x)=excs x-x,
所以f(0)=1,
f'(x)=ex(cs x-sin x)-1,
所以f'(0)=0,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
【解析】(2)f'(x)=ex(cs x-sin x)-1,
令g(x)=f'(x),
则g'(x)=-2exsin x≤0在[0,π2]上恒成立,且仅在x=0处等号成立,
所以g(x)在[0,π2]上单调递减,
所以g(x)≤g(0)=0,
所以f'(x)≤0且仅在x=0处等号成立,
所以f(x)在[0,π2]上单调递减,
所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(π2)=-π2.
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
-6
单调递减
-14+6ln 3
单调递增
x
[1,a-1)
a-1
(a-1,2]
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增